最優(yōu)化問題廣泛的存在于社會(huì)生產(chǎn)活動(dòng)當(dāng)中，我們一直努力尋求更高效、更準(zhǔn)確的解決方式來應(yīng)對這類問題。通常，最優(yōu)化問題可以表述為一種數(shù)學(xué)規(guī)劃的形式，對于變量在可行域中的不同組合進(jìn)行搜索，以得到目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值。在解決常規(guī)的最優(yōu)化問題時(shí)，有多種解決方案，如梯度下降法，拉格朗日乘數(shù)法等。然而，有一類最優(yōu)化問題卻是人類目前難以逾越的門檻，即NP完全問題（Non-deterministicPolynomial）。本文介紹了最優(yōu)化問題的常見應(yīng)用場景和求解方式，并重點(diǎn)對啟發(fā)式算法在求解NP問題的次優(yōu)解過程進(jìn)行了分析。最后通過模擬退火算法和蟻群算法尋求最優(yōu)化路徑的實(shí)例，實(shí)踐了通過啟發(fā)式算法來求解NP問題的次優(yōu)解，為我們在日常生產(chǎn)活動(dòng)中解決此類時(shí)間復(fù)雜度具有不確定性的最優(yōu)化問題提供一種成本可控，目標(biāo)效益更高的解決方案。

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引言

在日常生產(chǎn)活動(dòng)中，我們經(jīng)常會(huì)面臨諸如：超市的配貨卡車需要給不同的門店送去貨物，如何規(guī)劃卡車的配貨路線，使得每個(gè)門店均可接收到貨物，并且卡車配送所花時(shí)間和行駛里程最短；某視頻門戶網(wǎng)站需要在全國各地設(shè)立視頻資源存放服務(wù)器，一方面要保證服務(wù)器部署節(jié)點(diǎn)能夠覆蓋所有的用戶，并且要降低從用戶到服務(wù)器之間的鏈路成本，提高用戶請求視頻資源的響應(yīng)效率，另一方面要盡量減少服務(wù)器部署節(jié)點(diǎn)，以降低經(jīng)濟(jì)成本；這類路線規(guī)劃和資源配置問題均可歸類到最優(yōu)化問題的求解范疇。解決最優(yōu)化問題的方法被稱為最優(yōu)化方法，常見的最優(yōu)化方法有以下幾類：1）梯度下降法；2）牛頓法；3）共軛梯度法；4）拉格朗日乘數(shù)法；5）啟發(fā)式算法。這五類算法每一種都有自己適用的場景和其優(yōu)勢，因此在解決最優(yōu)化問題前，分析應(yīng)用場景，選取合適的最優(yōu)化方法是首要任務(wù)。 計(jì)算機(jī)科學(xué)的兩大基礎(chǔ)目標(biāo)是：發(fā)現(xiàn)可證明其執(zhí)行效率良好且可得到問題的最優(yōu)解或次優(yōu)解的算法。而在最優(yōu)化問題中，有這樣一類問題卻是目前人類難以逾越的門檻——NP完全問題，該問題也是世界七大數(shù)學(xué)難題之一（其中龐加萊猜想現(xiàn)已被俄羅斯數(shù)學(xué)家格里戈里·佩雷爾曼解決）。NP即多項(xiàng)式復(fù)雜程度的非確定性問題，所有的在非確定性多項(xiàng)式時(shí)間可解的判定問題構(gòu)成了NP類問題。在解決這類問題時(shí)，常規(guī)的確定性時(shí)間復(fù)雜度的算法不再適用，而啟發(fā)式算法這類非確定性時(shí)間復(fù)雜度的算法，卻能夠較好的尋找到該類問題的一個(gè)可以接受的次優(yōu)解。通常，啟發(fā)式算法搜索得到的問題的解不是最優(yōu)解，而是隨著算法的改進(jìn)和迭代無限接近最優(yōu)解的次優(yōu)解。因?yàn)槟壳?#xff0c;我們找不到一個(gè)更好的算法，能夠證明其執(zhí)行效率良好、穩(wěn)定，并且能得到問題最優(yōu)解的算法，所以啟發(fā)式算法是目前我們解決這類問題的一種較好手段。 常用的啟發(fā)式算法有模擬退火算法、遺傳算法、蟻群算法和人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等。以上這些算法我們都不能給出其確定的執(zhí)行時(shí)間復(fù)雜度，也不能證明其求解得到的解是否是問題的最優(yōu)解。而是能夠在大多數(shù)情況下，在“可接受”的時(shí)間開銷內(nèi)得到問題的一個(gè)“較好”的解。評(píng)價(jià)“可接受”的依據(jù)是能夠保證生產(chǎn)的基本時(shí)間開銷要求，評(píng)價(jià)“較好”的依據(jù)是，所得到的雖然不是最優(yōu)解，卻是一個(gè)能夠滿足生產(chǎn)活動(dòng)需求并且?guī)砀笮б娴慕狻Ｒ虼藢W(xué)習(xí)研究啟發(fā)式算法對于我們在日常生產(chǎn)活動(dòng)中解決某些最優(yōu)化問題有著重要作用和意義。啟發(fā)式算法領(lǐng)域也在近幾年得到了廣泛的應(yīng)用和研究，如人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用于機(jī)器學(xué)習(xí)等領(lǐng)域的研究。另外三種啟發(fā)式算法，均為仿自然界生物現(xiàn)象的算法。模擬退火算法來源于固體退火的過程，用于求解組合優(yōu)化類問題；遺傳算法模擬了達(dá)爾文生物進(jìn)化論的自然選擇和遺傳學(xué)機(jī)理的生物進(jìn)化過程，用于解決搜索類問題；蟻群算法模擬了螞蟻尋找食物過程中發(fā)現(xiàn)路徑的行為，用于解決路徑優(yōu)化問題，也是一種比較有趣的算法。 本文的主要工作是； 1）對最優(yōu)化問題及其常見的應(yīng)用場景和解決方法進(jìn)行了介紹和分析； 2）分析講解了P類問題，NP類問題和NP完全問題（NP-C問題）； 3）介紹了常見的啟發(fā)式算法及其應(yīng)用，并重點(diǎn)就模擬退火算法和蟻群算法為代表的啟發(fā)式算法解決NP類問題進(jìn)行了講解和實(shí)踐。

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常見最優(yōu)化問題及其解決方法

2.1下山最優(yōu)路徑問題與梯度下降法 如下圖2.1所示，假設(shè)有一座山，四周都是濃霧，看不清任何東西。如何在山頂?shù)腁點(diǎn)出發(fā)，找到一條去山腳的最快路徑，這就是一個(gè)最優(yōu)化問題。在解決這個(gè)問題時(shí)，我們把這座山看作可微分的函數(shù)，山的高度看作函數(shù)的目標(biāo)值，也就是要找到一條路徑，使得函數(shù)值下降得最快，就可以找到最快下山的路徑。

圖2.1. 梯度下降法 建立一個(gè)平面坐標(biāo)系后，將山上每個(gè)點(diǎn)的高度看作關(guān)于的函數(shù)：? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??(1) 站在A點(diǎn)的時(shí)候，通過求該點(diǎn)的梯度，梯度是一個(gè)向量，該向量的方向指向了函數(shù)值增長最快的方向。因此要下山最快，就沿著與梯度方向相反的方向走。當(dāng)函數(shù)是單變量時(shí)，梯度即為導(dǎo)數(shù)；當(dāng)函數(shù)為多變量時(shí)，梯度即為分別對每個(gè)自變量求偏導(dǎo)后構(gòu)成的一個(gè)向量。采用梯度下降的算法有SGD，Adam。 2.2非線性函數(shù)與X軸交點(diǎn)問題與牛頓法

圖2.2. 牛頓法 如圖2.2所示，牛頓法主要用于解決研究問題中的目標(biāo)值是關(guān)于變量的非線性函數(shù)，且在可行域中只有一個(gè)交點(diǎn)，但是通過數(shù)學(xué)計(jì)算方法無法求得精確的交點(diǎn)。牛頓法提供了一種通過迭代的方式無限逼近交點(diǎn)，其思想為從某一點(diǎn)出發(fā)，求得該點(diǎn)處函數(shù)的切線，得到切線與x軸的交點(diǎn)記作，再次求處的切線，得到下一個(gè)交點(diǎn)，就這樣無限的逼近函數(shù)與x軸的交點(diǎn)。 牛頓法能夠快速收斂于最優(yōu)值的原因是：當(dāng)函數(shù)任意階可導(dǎo)時(shí)，通過展開為泰勒級(jí)數(shù)，取泰勒級(jí)數(shù)一階展開式構(gòu)建的線性函數(shù)來代替曲線，因?yàn)閺奈⒂^的角度看，極小的區(qū)間內(nèi)，曲線就趨近于直線。而牛頓法需要求解函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的二階偏倒數(shù)，因此要求函數(shù)二階連續(xù)可微。LM算法即采用的牛頓法。 2.3牛頓法的改進(jìn)——擬牛頓法 從上面介紹的牛頓法可知，雖然收斂速度較快，但是需要計(jì)算目標(biāo)函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)來構(gòu)建線性函數(shù)，該過程計(jì)算復(fù)雜度較大，并且目標(biāo)函數(shù)的黑塞矩陣不是所有時(shí)候都保持正定，牛頓法在這種情況下就失效了。而擬牛頓法就是為了解決計(jì)算復(fù)雜度大，黑塞矩陣有時(shí)不是正定的問題而提出的。擬牛頓法的改進(jìn)思想是：不用二階偏導(dǎo)數(shù)近似的構(gòu)造黑塞矩陣（或其逆矩陣）的正定對稱陣。使用較多的擬牛頓算法有DFP，BFGS和L-BFGS。 以上介紹的三種最優(yōu)化算法是機(jī)器學(xué)習(xí)中最常用的三類迭代算法。表格2.1給出了三種算法的特點(diǎn)對比和常見應(yīng)用場景。 表2.1三種最優(yōu)化算法的特征對比

算法	迭代時(shí)間復(fù)雜度	算法收斂速度	初始值要求	應(yīng)用場景
梯度下降法	需計(jì)算一階導(dǎo)，復(fù)雜度為	收斂較慢	容易逃離鞍點(diǎn)（一階倒數(shù)為0）	特征維度較大的場景
牛頓法	需計(jì)算二階導(dǎo)，復(fù)雜度為	收斂快	有要求，非凸函數(shù)容易陷入鞍點(diǎn)	特征維度較小的場景
擬牛頓法	近似Hessian矩陣的逆矩陣，復(fù)雜度為	收斂快	無明顯要求	比較適合凸優(yōu)化問題

2.4拉格朗日乘數(shù)法 拉格朗日乘數(shù)法由法國著名數(shù)學(xué)家約瑟夫·拉格朗日提出，用于求解多元函數(shù)在變量受一個(gè)或多個(gè)限制條件約束下的極值問題。假設(shè)一個(gè)多元函數(shù)有個(gè)變量，需要求解個(gè)約束條件下的極值，拉格朗日乘數(shù)法通過將該最優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)有個(gè)變量的函數(shù)的極值問題。在這個(gè)轉(zhuǎn)化過程中，需要引入一個(gè)新的參數(shù)，即拉格朗日乘數(shù)：新構(gòu)建的方程組中，每個(gè)向量的系數(shù)。 下面我們看這樣一個(gè)最優(yōu)化問題的情境：有一個(gè)紡織工廠主想要盡可能的提高其工廠利潤，假設(shè)在廠房（足夠使用）等外部條件固定時(shí)，利潤函數(shù)與投入的紡織機(jī)數(shù)量和雇傭的工人數(shù)量有關(guān)，假設(shè)可表示為，因?yàn)榧徔棛C(jī)的數(shù)量和工人數(shù)量必須構(gòu)成一定的比例關(guān)系，才能不造成工人空閑或工人照看不了過多的紡織機(jī)，該比例關(guān)系表示為，由于工廠主的資金有限，最多能夠?yàn)榧徔棛C(jī)購置和工人雇傭支付的金額。因此需要滿足：，由于在廠房夠用的情況下，工廠主希望能夠以最大的資金投入，來獲取更多的回報(bào)，因此，可以得到。接著，將上面的收益函數(shù)在約束條件最大化表示為以下形式：? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

? ? ?(2)

此時(shí)引入兩個(gè)新的參數(shù)構(gòu)建方程：? ?????????????? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ?(3)

然后令函數(shù)對自變量分別求一階偏導(dǎo)數(shù)的值為0，可得到：? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ? (4)

通過求解上述方程組（4）即可得到工廠主的利潤函數(shù)z的極值，這里的極值有可能是最小值，也有可能是最大值。如果求得的極值點(diǎn)只有一個(gè)，那么該極值點(diǎn)就是問題的最優(yōu)解，因?yàn)椴豢赡苁亲钚≈?#xff08;不投入資金時(shí)候收益為0）。當(dāng)求得的極值點(diǎn)有多個(gè)時(shí)候，我們很容易把這幾個(gè)極值點(diǎn)代入到利潤函數(shù)z中去，通過比較計(jì)算得到的值，其中最大值對應(yīng)的極值點(diǎn)，就是問題的最優(yōu)解。 2.5啟發(fā)式算法 啟發(fā)式算法的定義是：一個(gè)基于直觀或經(jīng)驗(yàn)構(gòu)造的算法，在可接受的花費(fèi)（指計(jì)算時(shí)間和空間）下給出待解決組合優(yōu)化問題每一個(gè)實(shí)例的一個(gè)可行解，該可行解與最優(yōu)解的偏離程度一般不能被預(yù)計(jì)（來源于百度百科）。常見的啟發(fā)式算法有：模擬退火算法，遺傳算法，蟻群算法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，均為仿自然體的算法。 2.5.1模擬退火算法 模擬退火算法是是仿固體退火原理，當(dāng)固體被加溫時(shí)，內(nèi)能增大，粒子的動(dòng)能增大，處于無序狀態(tài)，而溫度逐漸降低過程中，粒子會(huì)逐漸趨于穩(wěn)定有序，內(nèi)能達(dá)到最低。在這一過程中，粒子的排列組合決定了內(nèi)能的大小，但固體最終會(huì)形成一種內(nèi)能最低的狀態(tài)。模擬退火算法就是模擬的這個(gè)隨著溫度下降，內(nèi)能降低的過程。通常可以用來解決復(fù)雜度較高的組合問題。

圖2.3. 模擬退火算法示意圖 在圖2.3中，固體初始溫度低，粒子排列較為緊密，但不是最緊密的狀態(tài)。此時(shí)將固體加熱，粒子由于吸熱內(nèi)能變大，熱運(yùn)動(dòng)變強(qiáng)烈，粒子間距離增大。隨著溫度逐漸降低，最終粒子會(huì)趨于平衡狀態(tài)，粒子排列最為緊密，內(nèi)能最低。這種粒子排列組合狀態(tài)，就是使得內(nèi)能最低的最優(yōu)狀態(tài)。 2.5.2遺傳算法 遺傳算法模擬的是達(dá)爾文的生物進(jìn)化理論，處理方法包括“選擇運(yùn)算”，“交叉算子”和“變異運(yùn)算”，評(píng)價(jià)和選擇指標(biāo)則是“適者生存”。因?yàn)閱l(fā)式算法主要用來解決搜索最優(yōu)解復(fù)雜度較高的問題，常規(guī)的“蠻力法”搜索通常極為耗費(fèi)資源，且不能在可接受的時(shí)間內(nèi)得到問題的解。那么，啟發(fā)式算法必須按照一種更“合理”的搜索方式來逼近問題的最優(yōu)解，遺傳算法就是按照生物進(jìn)化論的方式來搜索，將每次得到的個(gè)體（問題的一個(gè)可行解），通過一個(gè)適應(yīng)度來評(píng)價(jià)，適應(yīng)度越高，距離最優(yōu)解的距離也就越近。因此，在每次跌倒過程中，適應(yīng)度越高的個(gè)體，其基因遺傳下去的概率會(huì)更大，這就是“適者生存”。并且，個(gè)體基因遺傳下去的方式有：直接遺傳給下一代，或者與其他個(gè)體配對后遺傳（選擇運(yùn)算）；當(dāng)兩個(gè)個(gè)體配對時(shí)，必須按照一定的規(guī)則來繼承上一代的基因，這個(gè)規(guī)則就是“交叉算子”；在遺傳的過程中，個(gè)體的基因會(huì)有一定概率發(fā)生改變，基因改變的過程就是“變異運(yùn)算”。遺傳算法的過程可用圖2.4表示。

圖2.4. 遺傳算法 2.5.3蟻群算法 蟻群算法用于解決尋找最優(yōu)路徑的問題，模擬的是螞蟻找食物的過程，是一種比較有趣的算法。在自然現(xiàn)象中，我們可以觀測到這樣的現(xiàn)象：螞蟻找尋找到食物時(shí)，通常能夠走一條接近直線的路線到窩，如果直線上有障礙，也能夠找到最短的繞過路線。這一現(xiàn)象就說明，螞蟻尋找食物的過程，一定用一種機(jī)制來指導(dǎo)整個(gè)蟻群尋找到最優(yōu)的路徑。蟻群算法，就是對這一現(xiàn)象觀測研究，然后抽象簡化得到的尋找最優(yōu)路徑的算法。

圖2.5. 蟻群運(yùn)食物路線示意圖 螞蟻找食物最重要的兩個(gè)特征是多樣性和正反饋：多樣性，即螞蟻在選擇路徑時(shí)，有一定的概率隨機(jī)選擇任意的方向，以探索新的路徑；正反饋則是，螞蟻在選擇路徑時(shí)，較大的概率選擇較多螞蟻?zhàn)哌^的路徑。正是這兩種機(jī)制巧妙的結(jié)合在一起，才使得螞蟻能夠找到一條接近最優(yōu)的路徑。如果多樣性的影響過大，則會(huì)出現(xiàn)整個(gè)蟻群過于活躍，無法收斂到一條路徑上，如果正反饋影響過于大，則會(huì)出現(xiàn)蟻群出現(xiàn)僵化的現(xiàn)象，陷入一個(gè)區(qū)域無法出來。蟻群算法，對尋路過程抽象為以下幾個(gè)方面： 1）螞蟻的感知范圍：任何一只螞蟻只能感知以它為中心的一定半徑大小圓形區(qū)域的路徑。 2）信息素：有代表窩的信息素和代表食物的信息素，分別指導(dǎo)螞蟻找窩和食物。 3）遺留信息素：螞蟻尋找到窩時(shí)，會(huì)在附近遺留下最多窩的信息素，隨著距離窩越遠(yuǎn)，遺留的信息素越少。尋找到食物時(shí)，同理，距離食物越遠(yuǎn)遺留食物信息素越低。所有的信息素會(huì)以一定的速率揮發(fā)消失。 4）螞蟻尋路規(guī)則：如果周圍有信息素，則較大概率走信息素高的地方，否則按照慣性保持直線行走，有小概率會(huì)選擇其他的方向，并且能夠記住最近走過的點(diǎn)，不重復(fù)。 5）躲避障礙物：有信息素時(shí)候，選取信息素高的地方，否則隨機(jī)選擇其他方向。 2.5.4神經(jīng)網(wǎng)絡(luò) 這里所說的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)指的是人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（ArtificialNeural Network，ANN），是近年來人工智能領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)，模擬的是人腦神經(jīng)元之間的傳遞過程，通過構(gòu)建數(shù)學(xué)映射模型，在神經(jīng)元之間通過激勵(lì)函數(shù)來傳遞信息，從而從輸入映射到輸出。由于最開始構(gòu)建的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，沒有得到任何訓(xùn)練，從輸入映射得到的輸出可能相對于我們期望的輸出誤差較大，這時(shí)通過把誤差反向傳播，以調(diào)節(jié)中間神經(jīng)元之間的權(quán)值，經(jīng)過大量這種訓(xùn)練和反饋調(diào)節(jié)過程，最終神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)能夠得到準(zhǔn)確度較高的結(jié)果。

圖2.6. 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)示意圖 圖2.6中通過一個(gè)形象的例子來示意了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)工作的過程，將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)看做一個(gè)復(fù)雜的水管管道系統(tǒng)，每一層都有很多節(jié)點(diǎn)，每一個(gè)節(jié)點(diǎn)均與上下鄰近的所有節(jié)點(diǎn)相鄰，且位于節(jié)點(diǎn)上的開關(guān)可以控制流向下一層的每個(gè)節(jié)點(diǎn)的水量大小。現(xiàn)在希望神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能夠識(shí)別阿拉伯?dāng)?shù)字，在圖片庫中有很多寫有數(shù)字的照片，我們將照片的數(shù)據(jù)看做水流，從最上層流入最下層，該系統(tǒng)會(huì)將最下層接收到水流最多的桶上的數(shù)字判定為輸入照片的數(shù)字。最開始的時(shí)候，誤差比較大，經(jīng)常識(shí)別錯(cuò)誤，這時(shí)我們就調(diào)節(jié)中間層每一個(gè)開關(guān)，控制不同方向的流量。經(jīng)過大量這種訓(xùn)練調(diào)節(jié)過程，最終我們只要將寫有數(shù)字的卡片輸入，就能非常準(zhǔn)確的識(shí)別出對應(yīng)的數(shù)字。

3 NP類問題與啟發(fā)式算法

NP類問題與啟發(fā)式算法

3.1 P類問題、NP類問題和NP完全問題 在介紹這三類問題時(shí)，首先介紹一下多項(xiàng)式時(shí)間復(fù)雜度。當(dāng)我們說起冒泡排序算法，會(huì)將其時(shí)間復(fù)雜度表示為，而快速排序算法，時(shí)間復(fù)雜度表示為，這兩種算法均為多項(xiàng)式時(shí)間復(fù)雜度。通常，一個(gè)算法具有多項(xiàng)式時(shí)間復(fù)雜度時(shí)，均可表示為以下形式：

???(5)

P（Polynominal）類問題，即能夠在多項(xiàng)式時(shí)間復(fù)雜度內(nèi)得到該問題的解。而NP類問題（Non-DeterministicPolynomial Problems），從字面上翻譯為“非確定性多項(xiàng)式問題”，即不能在確定的多項(xiàng)式時(shí)間復(fù)雜度內(nèi)得到該問題的解。另一方面來定義，NP類問題指的是“能夠在多項(xiàng)式時(shí)間復(fù)雜度內(nèi)驗(yàn)證問題的一個(gè)解”。也就是說，雖然我們不知道是否存在一個(gè)算法能夠在多項(xiàng)式時(shí)間復(fù)雜度內(nèi)得到NP問題的解，但我們可以在多項(xiàng)式時(shí)間復(fù)雜度內(nèi)驗(yàn)證某個(gè)答案是否是NP問題的一個(gè)可行解。旅行商問題（TSP）是一個(gè)著名的NP問題，該問題描述了一個(gè)商人要去拜訪n個(gè)城市，要求途中經(jīng)過每個(gè)城市1次且僅1次，最后回到出發(fā)城市，如何找到最短的那條回路？該問題，如果用蠻力法來羅列所有的組合，復(fù)雜度為，這就不是多項(xiàng)式時(shí)間復(fù)雜度了。NP完全問題是NP問題的一個(gè)子集，如果任何一個(gè)NP問題，均可在多項(xiàng)式時(shí)間復(fù)雜度內(nèi)轉(zhuǎn)化為某個(gè)NP問題，那么就被稱為NP完全問題。進(jìn)而可以推得，如果中存在某個(gè)NP問題可以在多項(xiàng)式時(shí)間復(fù)雜度內(nèi)求解，那么任何一個(gè)NP問題都可以在多項(xiàng)式時(shí)間復(fù)雜度內(nèi)求解，即著名的難題“NP=P？”。 3.2 模擬退火算法求解TSP問題 模擬退火算法其實(shí)也是一種貪婪算法，只不過加入了隨機(jī)因素來接受一個(gè)比當(dāng)前解更差的解。由于普通的貪婪算法容易陷入局部最優(yōu)，因此，以一定概率接受更差的解可以跳出一些局部最優(yōu)。如下圖3.1所示，從A點(diǎn)開始出發(fā)搜索最低點(diǎn)，普通貪婪算法搜索到B點(diǎn)時(shí)即停止搜索，而B點(diǎn)是一個(gè)局部最優(yōu)解。模擬退火算法會(huì)以一個(gè)概率接受繼續(xù)向C點(diǎn)移動(dòng)，因此有可能會(huì)跨過C點(diǎn)，進(jìn)而到達(dá)問題的最優(yōu)解D。

圖 3.1. 模擬退火算法尋求最優(yōu)解示意圖 將模擬退火算法的執(zhí)行步驟，表示為如下偽代碼形式： 算法1：采用模擬退火算法求解組合優(yōu)化問題的執(zhí)行步驟 輸入：組合優(yōu)化問題的一個(gè)初始解，及目標(biāo)函數(shù)的值。 輸出：問題的解（可能為最優(yōu)解，也可能為次優(yōu)解） 01：產(chǎn)生問題的一個(gè)初始解，目標(biāo)函數(shù)值及初始溫度； 02：產(chǎn)生問題的一個(gè)新解，并計(jì)算其目標(biāo)函數(shù)值和衰減后的溫度； 03：當(dāng)時(shí)，接受解，否則，以概率接受解； 04：如果超過一定次數(shù)均沒有接受新解，結(jié)束當(dāng)前搜索，否則，重復(fù)02~03步驟。 算法1所示步驟為在一次溫度衰減下的搜索過程，通常會(huì)重復(fù)執(zhí)行算法1直到溫度衰減到某個(gè)較低的值，不斷迭代優(yōu)化當(dāng)前已經(jīng)找到的最優(yōu)解，然后從這些解中選擇使得目標(biāo)值最小的那個(gè)解為問題搜索得到的最優(yōu)解。

圖 3.2. 旅行商問題 在求解TSP問題時(shí)，需要在如圖3.2所示的無向圖中，尋求從某點(diǎn)出發(fā)并回到該點(diǎn)的一個(gè)哈密頓回路。每兩個(gè)點(diǎn)之間的路徑有一個(gè)權(quán)重，可看作路程里數(shù)，現(xiàn)在需要從A點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過圖中其他所有點(diǎn)1次回到A點(diǎn)的最短路徑。模擬退火算法的做法是，首先我們從一條可行的回路出發(fā)，如A—>B—>D—>E—>F—>C—>A，這條回路看做初始解，并將路徑長度24記為目標(biāo)函數(shù)初始值。然后將起點(diǎn)與終點(diǎn)之外的路徑做一個(gè)隨機(jī)的重排，比如隨機(jī)交換兩點(diǎn)的位置，得到問題的新的解，根據(jù)新的解對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值的大小判斷是否接受新的解，運(yùn)用算法1來循環(huán)執(zhí)行該優(yōu)化過程。

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啟發(fā)式算法在尋找最優(yōu)路徑中的應(yīng)用與實(shí)踐

本節(jié)介紹通過模擬退火算法實(shí)現(xiàn)求解TSP問題和蟻群算法模擬螞蟻找食物的仿真程序及其結(jié)果。程序通過C語言編寫，在VisualStudio2012中編譯通過。在通過圖形化界面動(dòng)態(tài)展現(xiàn)蟻群尋找食物過程時(shí)，用到了EasyX圖形庫。 4.1 模擬退火算法應(yīng)用于求解TSP問題的實(shí)踐 在該仿真中，解決一個(gè)有30個(gè)節(jié)點(diǎn)的全連通無向圖的TSP問題，該問題如果通過暴力求解法，需要判別的組合數(shù)量為30！，這是一個(gè)非常巨大的數(shù)字。程序首先通過一個(gè)函數(shù)生成了圖數(shù)據(jù)，寫入到txt文本中，如圖4.1和圖4.2所示。第一行表示圖中有30個(gè)節(jié)點(diǎn)，總共有435條邊數(shù)據(jù)。第二行開始，（x，y，m）表示從節(jié)點(diǎn)x到節(jié)點(diǎn)y的權(quán)重為m。圖4.3為模擬退火算法參數(shù)設(shè)定。

圖 4.1.圖數(shù)據(jù)

圖 4.2.圖數(shù)據(jù)

圖 4.3.模擬退火算法參數(shù) 首先生成一個(gè)初始解，并計(jì)算該解對應(yīng)的TSP回路的總代價(jià)，然后經(jīng)過模擬退火算法優(yōu)化，對比優(yōu)化后的解與初始解的總代價(jià)。圖4.4表示模擬退火過程連續(xù)拒絕接受更差解的次數(shù)為50，圖4.5表示連續(xù)拒絕更差解的次數(shù)為5000，即在一次溫度衰減時(shí)，嘗試更多次的搜索新解。可以看到，搜索次數(shù)更多時(shí)，能夠得到一個(gè)代價(jià)更低的TSP回路。

圖 4.4.模擬退火算法優(yōu)化結(jié)果（拒絕次數(shù)為50）

圖 4.5.模擬退火算法優(yōu)化結(jié)果（拒絕次數(shù)為5000）

4.2 蟻群算法應(yīng)用于求解最短路徑問題的實(shí)踐 在本節(jié)中，介紹通過C語言編寫蟻群算法模擬螞蟻找食物的過程，并通過EasyX圖形庫將蟻群的位置動(dòng)態(tài)的顯示出來。蟻群活動(dòng)的區(qū)域?yàn)橐粋€(gè)600x600像素點(diǎn)的區(qū)域，每個(gè)螞蟻每次可以移動(dòng)一個(gè)像素點(diǎn)，移動(dòng)的方向?yàn)橐运鼮橹行牡闹車?個(gè)方向，如下圖4.6所示。

圖 4.6.螞蟻移動(dòng)方向示意圖 蟻群在移動(dòng)時(shí)，初始化時(shí)去尋找食物，當(dāng)尋找到食物的時(shí)候，就會(huì)尋找窩，尋找窩和尋找食物的過程，均依據(jù)不同信息素來表征方向。在沒有信息素的時(shí)候，大概率直線移動(dòng)，但會(huì)以一定概率選取其他方向。圖4.7~圖4.10為蟻群算法在模擬螞蟻找食物過程的結(jié)果圖。

圖 4.7.蟻群算法仿真圖1

圖 4.8.蟻群算法仿真圖2

圖 4.9.蟻群算法仿真圖3

圖 4.10.蟻群算法仿真圖4 該次仿真結(jié)果得到了蟻群移動(dòng)區(qū)域收斂于食物（黃色圓點(diǎn)）和窩（紅色圓點(diǎn)）之間的路徑，但結(jié)果收斂的效果并不是特別理想。這是因?yàn)樾畔⑺氐膿p耗系數(shù)，螞蟻犯錯(cuò)的概率，已經(jīng)遺留信息素的多少，均影響了算法的結(jié)果。而在本次實(shí)驗(yàn)中，均根據(jù)估計(jì)設(shè)定的參數(shù)，另一方面算法實(shí)現(xiàn)本身還需進(jìn)一步優(yōu)化修正，因此，算法并沒有收斂于最優(yōu)的路徑。但從整個(gè)結(jié)果的趨勢可以看出，蟻群是能夠依靠信息素使得移動(dòng)區(qū)域收斂于食物和窩之間的路徑，并且接近于直線。

5.

總結(jié)

本文針對常見的最優(yōu)化問題及其應(yīng)用場景進(jìn)行了分析和實(shí)踐。首先，介紹了常用最優(yōu)化方法，包括方法的基本模型，使用步驟，算法特性等。然后，對比分析了P類問題，NP問題，NP完全問題，以及如何通過啟發(fā)式算法去解決優(yōu)化此類非確定性時(shí)間復(fù)雜度問題。最后，在仿真實(shí)踐部分，通過實(shí)現(xiàn)模擬退火算法解決具有NP難度的TSP問題，并得到了一條代價(jià)更低的路徑。通過實(shí)現(xiàn)蟻群算法，模擬了螞蟻找食物的過程，并得到了蟻群移動(dòng)區(qū)域收斂于食物和窩之間區(qū)域的結(jié)果。

【參考文獻(xiàn)】

[1] ThomasH.Cormen, Charles E.Leiserson, Ronald L.Rivest,CliffordStein著.算法導(dǎo)論[M].機(jī)械工業(yè)出版社,2012. [2] 馬學(xué)森,宮帥,朱建,唐昊.動(dòng)態(tài)凸包引導(dǎo)的偏優(yōu)規(guī)劃蟻群算法求解TSP問題[J].通信學(xué)報(bào),2018. [3]https://baike.baidu.com/item/NP%E5%AE%8C%E5%85%A8%E9%97%AE%E9%A2%98/4934286?fr=aladdin

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總結(jié)

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