爱琴海上的数学英雄
本文節(jié)選自廣西師大出版社《數(shù)學(xué)現(xiàn)場：另類世界史》！
湛藍(lán)湛藍(lán)的愛琴海，宛如一枚巨大的藍(lán)寶石。大大小小的島嶼星羅棋布，是灑在藍(lán)色沙盤里的綠色珍珠。這些珍珠星星點(diǎn)點(diǎn)，把歐亞大陸和希臘半島串聯(lián)在一起。靠近亞洲大陸的大島叫希俄斯，它的東南面，幾乎跟小亞細(xì)亞連在一起的，叫薩摩斯。愛琴海正中間有一串西北東南走向的群島，群島的最下端，有一個幾乎看不見的小黑點(diǎn)，那就是德洛斯。
幾艘大船正在鼓起白帆，自東向西航行，看樣子是朝著雅典去的。突然，礁石島后面躥出十幾條快船，飛快地排成一圈，把船隊(duì)包圍起來。眼看圈子越來越小，其中一艘大船加足馬力，企圖從包圍圈內(nèi)硬沖出去，小船放箭阻擋，大船上幾個水手中箭，“撲通撲通”跌落海中。
眨眼之間，海盜船上已經(jīng)投出繩梯，掛住了大船。衣衫襤褸的海盜們身手敏捷，像耗子一樣飛速躥上大船，手持大刀肆意砍殺甲板上四處奔逃的水手。海盜們赤裸的臂膀和胸脯上五彩斑斕的圖案在血光中時隱時現(xiàn)。
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白帆后面猛然跳出一個人來，頭戴青銅盔，胸掛青銅甲，一手持盾，一手持劍，英武異常，直朝海盜們撲去。幾個海盜被打倒在地，可是更多的海盜攀上船舷，把這位武士團(tuán)團(tuán)圍住。那個人臨危不懼，拼命搏斗，可是架不住對方人多，眼看著被逼到船舷，進(jìn)退不得。他猛砍數(shù)刀，逼退敵人，自己大吼一聲，縱身跳入大海。
這個人名叫希波克拉底（Hippocrates of Chios，約公元前470—約公元前410），本是希俄斯島上一位大富翁。這次海盜把他的貨物搶劫一空，同伴全部死于非命。希波克拉底能單身一人逃生，實(shí)在是太僥幸了。只是他一下子變成了窮光蛋，身無分文。以后的日子如何過下去？希波克拉底把自己關(guān)在房間里，冥思苦想了許久。終于有一天，他一跺腳，踢開房門，兩手空空橫渡愛琴海，去了雅典。
從此，茫茫人海少了一個商人，人類歷史上多了一位數(shù)學(xué)家。
希波克拉底在少年時代曾經(jīng)到離家鄉(xiāng)希俄斯島不遠(yuǎn)的薩摩斯島求學(xué)，受到那里的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的影響，對他們的自然科學(xué)研究印象深刻，也為自己打下了相當(dāng)堅實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。他來到雅典以后，潛心研究，兼收并蓄，不久便成就卓然。他寫了一本教科書《幾何原本》，這是古希臘四部有名的《原本》中最早的一部，書中系統(tǒng)地歸納了當(dāng)時所知的幾何學(xué)原理，是人類歷史上利用基本概念、方法和定理來建立數(shù)學(xué)理論體系的首次嘗試。一百多年后，歐幾里得（Euclid，大約生活在公元前4世紀(jì)至公元前3世紀(jì)）撰寫《幾何原本》的時候，很可能是以他之前的三部《原本》為基礎(chǔ)的。可惜他的這部手稿僅殘存于后人的書簡之中，而其他兩部則完全逸失了，只有歐幾里得的《原本》存留于世。
數(shù)海拾貝
古希臘人留下三大著名的幾何難題。二倍神壇只是其中之一，另外兩個難題，一個是化圓為方，一個是三等分銳角。按照原來的規(guī)矩，所有的問題都必須用簡單尺規(guī)作圖的方式完成。
所謂化圓為方，就是找到一個正方形，使它的面積跟給定的圓的面積相等。這實(shí)際上是尋找圓周率的平方根（下圖）。
三等分銳角的問題比較容易理解：
這三大難題乍看起來都非常簡單，但是嚴(yán)格按照尺規(guī)作圖的規(guī)定來解決卻極為困難，最終都被證明是不可能的。無數(shù)后人癡迷于這些難題，他們尋找答案的過程在很大程度上奠定了數(shù)學(xué)史的發(fā)展過程。
希波克拉底來到雅典的時候，那里剛剛經(jīng)歷了瘟疫的肆虐。他立刻投入到解決二倍神壇的研究浪潮中去，并且很快就意識到這個問題的難度非同尋常。經(jīng)過幾年的潛心鉆研，他發(fā)現(xiàn)這個問題實(shí)際上相當(dāng)于一個等值幾何比例的問題。
古希臘人是人類歷史上首先對幾何問題進(jìn)行系統(tǒng)抽象研究，并建立理論體系的部族。他們發(fā)現(xiàn)了很多定理。這些定理乍一看上去，似乎屬于“百無一用”之類的智力游戲，起碼對升官發(fā)財、娶妻生子沒有什么好處。可正是這樣的活動促進(jìn)了人類知識的發(fā)展，使我們逐漸有了現(xiàn)代的科學(xué)技術(shù)。
現(xiàn)在讓我們考慮一個任意直角三角形ABC（圖5），它的直角在C點(diǎn)的地方。如果從C點(diǎn)作一條直線，使它和線段AB垂直，并且交AB于D點(diǎn)，那么三角形ABC同三角形CBD以及三角形ACD相似，也就是說，它們的形狀是一樣的，不過大小不同。在這種情況下，它們對應(yīng)的各條邊的長度之間的比例相等，也就是說：
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（4） ? ? ? ? ? ?
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換句話說，點(diǎn)D把線段AB分成兩段AD和BD，它們同CD的關(guān)系是。古希臘人把這種關(guān)系稱為幾何比例。
花絮 1
古希臘人自稱為海倫的后代（Hellenes）。他們把自己的土地叫作Hellas，中文“希臘”就是從這個名字譯得的。古羅馬人把他們居住的島群稱為Graecia，這在英文里變成了Greece。這個名字后來被大多數(shù)語言所采納，因此希臘人就成了Greeks。至今希臘仍自稱為希臘共和國（HellenicRepublic），所以中文的名字更準(zhǔn)確。從來沒有一個叫作“古希臘”的國家。希臘由許多獨(dú)立的城邦組成，城邦之間的戰(zhàn)爭從來沒有間斷過。
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古希臘人認(rèn)為自己是一個由移民融合而構(gòu)成的民族。希臘的地理位置使得它有可能接觸亞、非、歐三大洲的民族。在文化上，古希臘吸納了蘇美爾、巴比倫、古埃及、美索不達(dá)米亞等文明的元素。與眾不同的是，古希臘人酷愛抽象思考，想要對世界的構(gòu)成建立一套自洽的理論。
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古希臘文明是指希臘自公元前8世紀(jì)開始的古風(fēng)時期（ArchaicPeriod）到公元前146年被羅馬帝國征服之前這段時間的希臘文明。在結(jié)構(gòu)上，古希臘是若干城邦組成的松散聯(lián)盟，不僅占有希臘半島，還占有小亞細(xì)亞很多地區(qū)，城邦之間不乏相互征伐。公元前5世紀(jì)，波斯王國興起，幾度進(jìn)攻小亞細(xì)亞和希臘半島，史稱波希戰(zhàn)爭。雅典城邦引領(lǐng)希臘其他城邦取得兩次波希戰(zhàn)爭的勝利，雅典城邦在公元前5世紀(jì)到公元前4世紀(jì)達(dá)到鼎盛。
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亞歷山大大帝征服整個希臘半島后，希臘文明在地中海西岸到中亞的大片地區(qū)擴(kuò)展。從亞歷山大大帝逝世前后起，到公元前30年最后的繼業(yè)者王國——托勒密王國在埃及滅亡為止，古希臘文明主宰了整個地中海東部沿岸，所以歷史上稱這個時期為希臘化時代（HellenisticPeriod）。希臘化時代是希臘古典時代和羅馬文化之間的過渡。同希臘古典時代相比，這個時期文化呈現(xiàn)逐漸下降或衰退的趨勢。這個時期的特點(diǎn)之一是新一波的希臘殖民活動，以在埃及和西亞的各地區(qū)內(nèi)建立殖民城市為主。
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花絮 2
你知道嗎？古希臘人是最早利用數(shù)學(xué)來研究和描述音樂里的音階的。他們早就知道，兩根琴弦，如果它們的長度比是2∶1，它們所奏出來的音節(jié)就相差一個八度；長度比為4∶3，那音節(jié)就相差一個純四度；長度比為3∶2，音節(jié)就相差一個純五度。于是他們說：世間萬物的關(guān)系都能通過數(shù)字表達(dá)出來！正是這種信念使他們?yōu)槿祟惖目茖W(xué)文化開創(chuàng)了嶄新的天地。
那個多才多藝的阿基塔斯把古希臘的數(shù)學(xué)樂理提高到一個空前的高度。他證明了，全音階的音程之間的關(guān)系具有n+1比n的關(guān)系，比如，2∶1、4∶3、3∶2、9∶8，等等，而不可能具有等值幾何比那樣的關(guān)系。
阿基塔斯的另一個天才發(fā)明是機(jī)械鳥，他稱之為“飛鴿”。根據(jù)史書上的記載，飛鴿是以蒸汽為動力飛翔的。今天仍有許多人在想辦法復(fù)制他的發(fā)明。
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希波克拉底發(fā)現(xiàn)，二倍立方的問題實(shí)際上等價于這樣一個問題：給定兩條已知的直線段，它們的長度分別是a和b，現(xiàn)在需要找出另外兩條直線段，長度是x和y，使得a與x之比既等于x與y之比，又等于y與b之比。用代數(shù)符號表示，就是：
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（5）
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用現(xiàn)在的數(shù)學(xué)語言來說，x是數(shù)值a和y的比例中項(xiàng)，y是x和b的比例中項(xiàng)。由于這個比例關(guān)系，，。所以x是a和y的幾何平均值，y是x和b的幾何平均值。等式（5）的特殊之處在于，這里有兩套數(shù)值（a，x，y和x，y，b），它們的比例中項(xiàng)相等。這一類的比例中項(xiàng)叫作雙比例中項(xiàng)。希波克拉底說，對邊長是a的立方體和一條線段b，使b=2a，如果能找出它們之間的雙比例中項(xiàng)x和y，使得它們滿足等式（5），那么x就是要找的立方體的邊長。
從今天代數(shù)學(xué)的角度來看，這兩個等值幾何比例跟二倍立方的關(guān)系是很明顯的，因?yàn)槿绻仁?#xff08;5）成立，那么：
所以已知一個邊長為a的立方體，要想得到另一個立方體，使其體積是已知立方體的a/b倍，我們只需要找到上面等式中的x。在兩千五百多年前，人們既不具有這種代數(shù)知識，也沒有這種代數(shù)語言，能夠看出兩個問題的等價性是非常不簡單的。古希臘人不會利用代數(shù)來思考，希波克拉底以后，古希臘的幾何學(xué)家們就都去努力尋找滿足式（5）的線段。
希波克拉底還花了大量時間研究化圓為方的問題，他唯一幸存下來的工作就是這方面的研究。他擅長演繹推理和歸納，常常把具體特定的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為適用廣泛的普遍問題，一旦普遍問題得到解決，特定問題就自動解決了。他還首次提出邏輯上的反證法，并且在數(shù)學(xué)論證中廣泛應(yīng)用；這個方法后來被亞里士多德在哲學(xué)上發(fā)揚(yáng)光大。
他的另一個重要的發(fā)明是在幾何作圖證明當(dāng)中使用字母，使得邏輯表述簡潔而清晰。比如圖5中的三角形；我們現(xiàn)在說，三角形ABC，線段AB、AC，點(diǎn)A、B、C，等等，這種表達(dá)方式歸功于希波克拉底。
希波克拉底去世不久，塔倫騰（Tarentum，在今天意大利南部）出了一位多才多藝的阿基塔斯（Archytas，公元前428—公元前347）。
意大利半島的形狀很像一只女士的長筒靴，塔倫騰就在靠近靴子跟的地方。這個城邦原是斯巴達(dá)殖民者在公元前706年建立的。它有意大利海岸最好的海港，因此對希臘的海洋活動具有重要戰(zhàn)略意義。塔倫騰與斯巴達(dá)的歷史淵源使它在伯羅奔尼撒戰(zhàn)爭中與雅典為敵。在阿基塔斯領(lǐng)導(dǎo)塔倫騰的時候，這個城邦的實(shí)力完全可以和雅典相抗衡。
阿基塔斯既是政治家、軍事家、哲學(xué)家，又是數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家。他在塔倫騰集軍政大權(quán)于一身，運(yùn)籌帷幄，號稱一輩子沒有打過敗仗。大概是出于這個原因，他連續(xù)七屆被選舉為塔倫騰的總領(lǐng)。這違反了古希臘時代總領(lǐng)不可連續(xù)任職的規(guī)矩。但是，有一次他讓出總領(lǐng)位置不久，塔倫騰的保衛(wèi)戰(zhàn)就出現(xiàn)失利，于是公民又擁戴他做總領(lǐng)。據(jù)說他和柏拉圖是摯友，兩個人甚至連生卒年份都很相近。柏拉圖在敘拉古國王的手下遭難時，阿基塔斯曾經(jīng)試圖出兵相救。當(dāng)時，柏拉圖正在敘拉古努力推行他在《理想國》里面闡發(fā)的理論，不過成績實(shí)在讓人不敢恭維。柏拉圖先是被敘拉古國王狄奧尼西奧斯一世（Dionysius I of Syracuse，約公元前432—公元前367）販賣為奴，后來又被其子狄奧尼西奧斯二世（Dionysius II of Syracuse，約公元前397—公元前 343）變相軟禁。有人說，柏拉圖在《理想國》中描述的烏托邦的哲學(xué)家國王，就是以阿基塔斯為原型的。阿基塔斯公正廉潔、仁義博愛，而且目光遠(yuǎn)大。在科學(xué)方面，他是歐多克斯（Eudoxus of Cnidus，約公元前390—約公元前337）的老師，而歐多克斯是柏拉圖看好能夠攻克二倍立方難題的人選之一。
希波克拉底對雙幾何比的發(fā)現(xiàn)使無數(shù)希臘幾何學(xué)家大為振奮，紛紛躍躍欲試，爭取第一個找到那個神秘的比值。他們大多從類似于圖5的平面三角形出發(fā)，但求得結(jié)果的希望非常渺茫。阿基塔斯卻找到了一個絕妙的辦法，極其美妙地解決了問題——他跳到三維空間里去了。他的方法在數(shù)學(xué)史上備受贊嘆，現(xiàn)在讓我們用圖6—圖8來介紹一下他的思路。
設(shè)想在xy平面上有一個圓OBA，它的直徑是OA=a（圖6a）。OB是一條直線，點(diǎn)B落在圓弧上，線段的長度是OB=b。我們的目的是找到a和b之間的雙比例中項(xiàng)。現(xiàn)在把線段OB延長到點(diǎn)C，使得AC是圓OBA在A點(diǎn)的切線。現(xiàn)在想象圓OBA沿著跟這本書的紙頁垂直的方向朝外“長”出這本書的紙面，變成一個空心的圓柱。再想象直線OC繞著x軸旋轉(zhuǎn)，變成一個空心的圓錐。最后，想象圓OBA繞著x軸旋轉(zhuǎn)90度，變成一個落在xz平面上的圓，然后把這個圓繞著過點(diǎn)O的z軸旋轉(zhuǎn)360度。這是一個什么形狀呢？對了，這是一個中心縮成一點(diǎn)的輪胎，或是甜甜圈。圖6b是這三個三維曲面在xy平面上方的樣子。
現(xiàn)在，讓我們先看看甜甜圈和圓柱這兩個曲面能切出什么樣的曲線來。如果把甜甜圈通過中心點(diǎn)垂直切開，那么每個截面都是直徑為a的圓（圖7a）。這些圓對應(yīng)于圖7b、7c、7d中的半圓ODP。圓OAQ是在圖6a里面位于xy平面的圓，由它生成的圓柱（圖7a中藍(lán)色的半個圓柱面）同這些半圓ODP交于點(diǎn)P。從點(diǎn)P沿著圓柱的表面向xy平面做垂線，垂線與圖6a中的圓OAB交于點(diǎn)Q。想象半圓ODP繞著通過點(diǎn)O的z軸旋轉(zhuǎn)，甜甜圈和圓柱的交點(diǎn)P隨著旋轉(zhuǎn)而變化，就構(gòu)成一條在空間彎曲的線段。用現(xiàn)代數(shù)學(xué)的話說，這條曲線是點(diǎn)P的軌跡。
下面我們再把圓錐曲面考慮進(jìn)來。圖8a中，半圓ZBM是圓錐曲面通過點(diǎn)B同圓OAB垂直的截面，而且線段BZ垂直于線段OA。M是半圓ZBM上任意的一點(diǎn)。從點(diǎn)M向xy平面（圓OAB所在的平面）作垂線，交ZB線段于點(diǎn)T。
現(xiàn)在回到圖7中，在點(diǎn)P的軌跡中選擇一個點(diǎn)，使半圓形截面OPD的底邊OD與線段OT重合。換句話說，把線段OT延長到點(diǎn)D，把線段OM延長到點(diǎn)P，使半圓ODP與圓柱相交于點(diǎn)P。從圖7中，我們知道，這總是可以做到的。而且根據(jù)圖8，點(diǎn)P的垂線交圓OAB于點(diǎn)Q。這樣，三角形OPD里面包含了若干較小的三角形，比如三角形OMQ和三角形OTM（圖8b）。
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既然角OPD所對應(yīng)的線段OD是圓OPD的直徑，角OPD一定是圓周角，根據(jù)泰勒斯定理，它一定是90度。換句話說，三角形OPD是直角三角形。三角形OTM也是直角三角形，因?yàn)镸T是點(diǎn)M向xy平面所作的垂線。這兩個三角形又有一個共同的角（角POQ或角MOT），所以它們是相似三角形。因此：
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（5a）
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因?yàn)榫€段OB和OM都在圓錐截面的半圓形ZMB上面，所以O(shè)M=OB=b。又因?yàn)镺D和OP都在xy平面內(nèi)的甜甜圈上，所以O(shè)D=OA=a。這樣，上面的等式就可以寫成：
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（5b）
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這不就是等式（4）嗎？根據(jù)我們關(guān)于等式（4）的討論，找到了OP，也就找到了問題的解。二倍立方的問題，相當(dāng)于。點(diǎn)B是可以利用尺規(guī)作圖的辦法找到的。在圖8里，OM=OB=b，OD=a，有了這幾個參數(shù)以后，圓柱、圓錐和甜甜圈的大小就都確定了。下面的問題就是如何建立三維圖形，尋找那個點(diǎn)P了。但這僅僅利用尺規(guī)作圖是得不到的。
阿基塔斯制造了一種機(jī)械裝置，根據(jù)上述作圖的原理，專門用來計算兩條比值為的線段。他是所謂“機(jī)械數(shù)學(xué)”方法（也就是利用機(jī)械來解決數(shù)學(xué)問題）的創(chuàng)始人之一。可惜他的機(jī)械裝置已經(jīng)失傳了。這種“機(jī)械數(shù)學(xué)”方法實(shí)際上有著深刻的含義：他把數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為物理（機(jī)械）問題來解決。這在我們對圖6—圖8的描述里可以看得很清楚：他是利用一些點(diǎn)按照某種規(guī)則在空間運(yùn)行的軌道來處理二倍立方問題的。
阿基塔斯的過人之處不為他同時代的人所理解。與他同時的幾何學(xué)家們幾乎都看不懂他的分析，就連他的好朋友柏拉圖對他的工作也不以為然。我們從歷史學(xué)家普魯塔赫（Plutarch，公元46—公元120）的著作中知道，柏拉圖對利用機(jī)械解決幾何問題的方式相當(dāng)反感，認(rèn)為它使幾何學(xué)失去了永恒的純潔和神圣。也許在柏拉圖看來，幾何學(xué)永遠(yuǎn)是平面的。
阿基塔斯兩千三百年前的工作至今讓很多數(shù)學(xué)家驚詫莫名。一些學(xué)者強(qiáng)調(diào)，我們對古希臘科學(xué)的發(fā)展還非常缺乏了解，這是因?yàn)樵S多珍貴的古希臘文獻(xiàn)要么逸失，要么被故意銷毀了。文藝復(fù)興以來，大物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家們都強(qiáng)調(diào)要仔細(xì)研讀古希臘數(shù)學(xué)，從字里行間抓到它的“靈魂”。
梅內(nèi)克繆斯（Menaechmus，公元前380—公元前320）走的是和阿基塔斯類似的路子—在三維曲面中尋找平均比的解。他把注意力放在圓錐上，發(fā)現(xiàn)如果用平面去切割一個正圓錐，平面與曲面相交，可以得到幾種不同的曲線，這就是后來所謂的圓錐曲線（圖9）。梅內(nèi)克繆斯的幾何推導(dǎo)也不容易理解，還是用現(xiàn)代的代數(shù)語言描述比較方便（也有點(diǎn)“投機(jī)取巧”）。先回到希波克拉底的問題，也就是方程式（4）。
由于，所以xy = ab——這種曲線今天稱為雙曲線；
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由于，所以——這是拋物線；
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又由于，所以——也是拋物線，只不過把上面那條拋物線的變量（x、y）對調(diào)，再把b換成a而已。
有一些基本代數(shù)知識的讀者馬上可以看出，這三條曲線當(dāng)中任何兩條的交點(diǎn)都是幾何比的解。所以梅內(nèi)克繆斯給出兩個解，一個相當(dāng)于尋求拋物線和雙曲線xy = ab的交點(diǎn)，另一個是找出兩條拋物線和的交點(diǎn)。這當(dāng)然不是梅內(nèi)克繆斯的具體做法。和阿基塔斯一樣，他也是通過一系列幾何推理得到與此等價的結(jié)果的。
不過，盡管梅內(nèi)克繆斯發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線，他還不曉得任何含有兩個變量的方程都對應(yīng)一條曲線。代數(shù)學(xué)還需要一千年才會開始——正因?yàn)槿绱?#xff0c;古希臘人利用幾何原理所達(dá)到的水平才更加令人欽佩。
一晃五六百年過去了，五花八門的解決方法層出不窮。還有一些天才人物，他們已經(jīng)越過，去研究更復(fù)雜的三次方程了。
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對于數(shù)學(xué)家來說，最重要的莫過于數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，而這個基礎(chǔ)相當(dāng)大的一部分來自古希臘。是古希臘人建立了基本原則，發(fā)明了第一性原理，并修正了基本術(shù)語。簡言之，無論現(xiàn)代數(shù)學(xué)分析帶來或?qū)⒁獛硎裁葱碌膬?nèi)容，數(shù)學(xué)歸根到底是希臘人的科學(xué)。
沒有什么能比希臘數(shù)學(xué)史更驚人地、令人敬畏地表現(xiàn)出希臘人的天才。不僅是古希臘數(shù)學(xué)家所成就的那種神奇的廣度和數(shù)量，更需要注意的是這些巨量的工作是在一個難以置信的短暫時間內(nèi)完成的，而他們所具有的手段十分有限——至少在我們看來——僅僅是純幾何，加上一點(diǎn)平平常常的算法操作。
本文節(jié)選自廣西師大出版社《數(shù)學(xué)現(xiàn)場：另類世界史》，作者：王雁斌。
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總結(jié)
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