27年前，物理學(xué)家在試圖弄清楚弦理論的一些細(xì)節(jié)的過(guò)程中，觀察到了一種奇異的對(duì)應(yīng)關(guān)系：從一種幾何世界出現(xiàn)的數(shù)字與來(lái)自截然不同的幾何世界中的極為不同的數(shù)字完全匹配。

對(duì)于物理學(xué)家而言，這種對(duì)應(yīng)是相當(dāng)有趣的。但對(duì)數(shù)學(xué)家來(lái)說(shuō)，這簡(jiǎn)直荒謬。幾十年來(lái)，數(shù)學(xué)家一直在獨(dú)立研究這兩個(gè)幾何世界。這兩者之間存在著密切的相關(guān)性似乎是非常不可能的，這好比是在說(shuō)當(dāng)一個(gè)宇航員在月球上跳躍時(shí)，某些隱藏鏈接會(huì)導(dǎo)致他的妹妹也在地球上跳躍。

David Morrison 是最早研究這些匹配數(shù)字的數(shù)學(xué)家之一，他說(shuō)：“乍看之下這簡(jiǎn)直完全不可思議?！?/span>

近三十年后，懷疑早已讓位于啟示。這個(gè)首先由物理學(xué)家觀察到的幾何關(guān)系，是當(dāng)代數(shù)學(xué)中最活躍的領(lǐng)域之一。該領(lǐng)域被稱為鏡像對(duì)稱，指的是兩個(gè)看起來(lái)很遙遠(yuǎn)的數(shù)學(xué)宇宙似乎以某種方式準(zhǔn)確地反映彼此。自第一次觀察到這種對(duì)應(yīng)后——即一邊的一組數(shù)字與另一邊的一組數(shù)字完全相匹配——數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)了更多復(fù)雜的鏡像關(guān)系的實(shí)例：宇航員和他的妹妹不僅一起跳躍，他們還會(huì)同時(shí)揮手和做夢(mèng)。

最近，鏡像對(duì)稱的研究出現(xiàn)了新的變化。經(jīng)過(guò)多年對(duì)更多同樣潛在例子的發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)家們正在接近能解釋為何會(huì)發(fā)生這種現(xiàn)象的真相。加州大學(xué)伯克利分校的數(shù)學(xué)家 Denis Auroux 說(shuō)：“我們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了陸地，并有望著陸?！?/span>

好幾個(gè)數(shù)學(xué)家團(tuán)隊(duì)都在努力尋找對(duì)鏡像對(duì)稱的基本解釋，并且離這一領(lǐng)域的中心猜測(cè)已越來(lái)越近。他們的工作就像是揭開(kāi)一種幾何形式的DNA，一種解釋了兩個(gè)截然不同的幾何世界是如何可能表達(dá)相同特征的共享代碼。

發(fā)現(xiàn)鏡像

最終成為鏡像對(duì)稱領(lǐng)域的，是物理學(xué)家一開(kāi)始尋找的額外維度。早在20世紀(jì)60年代末期，物理學(xué)家就試圖用微小的振動(dòng)弦來(lái)解釋電子、光子、夸克等基本粒子的存在。到了20世紀(jì)80年代，物理學(xué)家明白了若要使“弦理論”奏效，那么弦必須存在于10維中——比我們可以觀察到的4維時(shí)空多出了六個(gè)。他們提出，在這六個(gè)看不見(jiàn)的維度里發(fā)生的事情，決定了我們物理世界的可觀測(cè)特性。

劍橋大學(xué)數(shù)學(xué)家 Mark Gross 說(shuō)：“我們或許有這樣一個(gè)無(wú)法直接看到或測(cè)量的微小空間，但是這個(gè)空間的某些幾何形狀可能會(huì)影響現(xiàn)實(shí)世界里的物理學(xué)。”

最終，他們提出了六個(gè)維度的潛在描述。在介紹它們之前，我們可以先思考一下空間具有幾何形狀意味著什么。

設(shè)想一下一個(gè)蜂巢和一棟摩天大樓，它們都是三維結(jié)構(gòu)，但卻有著非常不同的幾何形狀：它們的布局不同、外部曲率不同、內(nèi)角也是不同的。同樣，弦理論學(xué)家提出了完全不同的方式來(lái)想象缺失的六個(gè)維度。

一種方法出現(xiàn)在數(shù)學(xué)領(lǐng)域里的代數(shù)幾何中：數(shù)學(xué)家通過(guò)畫(huà)圖來(lái)研究多項(xiàng)式方程，例如根據(jù)方程 x2 + y2?= 1 可畫(huà)出一個(gè)圓。更復(fù)雜的方程可以形成更精細(xì)的幾何空間。數(shù)學(xué)家探索了這些空間的性質(zhì)，以便更好地理解原始方程。因?yàn)閿?shù)學(xué)家經(jīng)常使用復(fù)數(shù)，所以這些空間通常被稱為復(fù)流形。

另一種類型的幾何空間最初是通過(guò)思考真實(shí)的物理系統(tǒng)才得以構(gòu)造的，比如行星的軌道。這種幾何空間中的每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)值可以代表行星的位置和動(dòng)量。如果把一個(gè)行星的所有可能位置與所有可能動(dòng)量結(jié)合在一起，就能得到這個(gè)星球的“相位空間”——這是一個(gè)幾何空間，在這個(gè)空間里的點(diǎn)為行星運(yùn)動(dòng)提供了完整的描述。這個(gè)空間有一個(gè)“辛（symplectic）”結(jié)構(gòu)，能對(duì)支配行星運(yùn)動(dòng)的物理定律進(jìn)行編碼。

辛幾何和復(fù)幾何之間的不同就好比是蜂蠟與鋼鐵。它們制造的空間非常不同。復(fù)空間具有非常僵硬且精確的結(jié)構(gòu)——想象一個(gè)圓，哪怕你只是稍稍地扭動(dòng)它，它便不再是一個(gè)圓。它會(huì)變成一個(gè)完全不同的形狀，不能用一個(gè)簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式方程來(lái)描述。辛幾何則更加靈活：一個(gè)圓和一個(gè)有點(diǎn)“缺陷”的圓對(duì)它來(lái)說(shuō)幾乎是一樣的。

劍橋大學(xué)的研究員 Nick Sheridan 說(shuō)：“代數(shù)幾何是一個(gè)更加僵硬的世界，而辛幾何則更靈活。兩個(gè)如此不同的世界卻在深層次上有著等同性，這就是令我們倍感意外的原因之一?！?/span>

在上個(gè)世紀(jì)80年代后期，弦理論學(xué)家提出了兩種方法來(lái)描述缺失的六個(gè)維度：一個(gè)來(lái)源自于辛幾何，另一個(gè)來(lái)自復(fù)幾何。他們發(fā)現(xiàn)這兩者之中的任一種空間都與他們?cè)噲D解釋的四維世界一致。這被稱為對(duì)偶（duality）：任何一個(gè)都可運(yùn)作，并且我們無(wú)法用什么測(cè)試來(lái)將兩者區(qū)分。

隨后物理學(xué)家開(kāi)始探索對(duì)偶可擴(kuò)展的程度。當(dāng)他們這樣做時(shí)，卻發(fā)現(xiàn)了這兩種空間之間的聯(lián)系，引起了數(shù)學(xué)家的注意。

1991年，Philip Candelas、Xenia de la Ossa、Paul Green 還有 Linda Parkes 四位物理學(xué)家組成了一個(gè)研究團(tuán)隊(duì)，對(duì)復(fù)空間、以及為了用來(lái)預(yù)測(cè)辛空間中的對(duì)應(yīng)數(shù)而生成的數(shù)值進(jìn)行計(jì)算。預(yù)測(cè)必須與可以在六維辛空間中繪制的不同類型的曲線的數(shù)量相關(guān)。數(shù)學(xué)家早就一直在努力試圖計(jì)算這些曲線，他們?cè)鯓右蚕氩坏竭@些曲線的數(shù)量能與物理學(xué)家為了進(jìn)行預(yù)測(cè)而使用的復(fù)空間計(jì)算能有任何關(guān)系。

起初結(jié)果非常牽強(qiáng)，數(shù)學(xué)家不知道該如何做。但是幾個(gè)月后（1991年5月），在一個(gè)聚集了物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家的匆忙召開(kāi)的會(huì)議上，這種聯(lián)系變得無(wú)可辯駁。Sheridan 說(shuō)：“最終，數(shù)學(xué)家們致力于驗(yàn)證物理學(xué)家的預(yù)測(cè)，并意識(shí)到這兩個(gè)世界之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系是數(shù)百年來(lái)未曾被數(shù)學(xué)家注意過(guò)鏡像兩側(cè)的真實(shí)事物?！?/span>

鏡像對(duì)偶的發(fā)現(xiàn)意味著，在短期內(nèi)，研究這兩種幾何空間的數(shù)學(xué)家可以擁有兩倍數(shù)量的工具：現(xiàn)在他們可以使用代數(shù)幾何的技術(shù)來(lái)回答辛幾何的問(wèn)題，反之亦然。

最大的難題

與此同時(shí)，數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家開(kāi)始為鏡像現(xiàn)象尋找一個(gè)共同的成因或潛在的幾何解釋。就像我們現(xiàn)在可以通過(guò)共有的遺傳代碼元素來(lái)解釋不同生物之間的相似性一樣，數(shù)學(xué)家試圖通過(guò)將辛流形和復(fù)流形分解成一些共同的基本元素——環(huán)形纖維（torus fiber）——來(lái)解釋鏡像對(duì)稱。

環(huán)形是一個(gè)在中間有孔的形狀。一個(gè)普通的圓是一個(gè)一維環(huán)形，一個(gè)甜甜圈的表面是一個(gè)二維環(huán)形。一個(gè)環(huán)形可以具有任意數(shù)量的維度。只要以正確的方式將大量低維的環(huán)形粘合在一起，就能構(gòu)建出更高維度的形狀。

舉個(gè)簡(jiǎn)單的例子，試想一下地球的表面。它是一個(gè)二維球面。但我們也可以把它看作是由許多一維圓圈（就像許多條緯線）粘在一起的。將所有的圓粘在一起是球的“環(huán)形纖維化”——由單個(gè)纖維一起編織成的更大整體。

○?圖片來(lái)源：Lucy Reading-Ikkanda/Quanta Magazine

環(huán)形纖維化的用處表現(xiàn)在幾個(gè)方面。一是他們?yōu)閿?shù)學(xué)家思考復(fù)雜的空間提供了一個(gè)簡(jiǎn)單的方法。就像可以構(gòu)造一個(gè)二維球體的環(huán)形纖維一樣，我們也可以構(gòu)造出鏡像對(duì)稱的六維辛空間和復(fù)空間的環(huán)形纖維。這時(shí)空間的纖維不再是圓，而是三維環(huán)形。盡管我們不可能將六維辛流形可視化，但三維環(huán)形卻幾乎是觸手可及的。Sheridan 說(shuō)：“這已經(jīng)是莫大的幫助?！?/span>

環(huán)形纖維化還有其他用處：它將一個(gè)鏡像空間分解為一組可用于構(gòu)建另一個(gè)空間的基礎(chǔ)材料。換句話說(shuō)，你不一定需要通過(guò)觀察鴨子來(lái)了解狗，但是如果你將每只動(dòng)物分解成原始的遺傳密碼，就可以從中尋找出相似之處，比如兩種生物都有眼睛，這似乎就不足為奇了。

那么，如何將辛空間轉(zhuǎn)換為復(fù)空間的鏡像呢？一個(gè)簡(jiǎn)單的圖景是，首先在辛空間上進(jìn)行環(huán)形纖維化，這樣就能得到很多環(huán)形。每一個(gè)環(huán)形都有一個(gè)半徑。接下來(lái)，取每個(gè)環(huán)形半徑的倒數(shù)（也就是說(shuō)在辛空間中半徑為4的環(huán)形，變成了鏡像的復(fù)空間中半徑為1/4的環(huán)形）。然后利用這些具有互為倒數(shù)的半徑的新環(huán)形來(lái)構(gòu)建新的空間。

1996年，Andrew Strominger、 Shing-Tung Yau（丘成桐）和 Eric Zaslow 提出了這種將任何辛空間轉(zhuǎn)換成其鏡像復(fù)空間的一般方法。以他們?nèi)恍帐系氖讓?xiě)字母命名的SYZ猜想說(shuō)的就是，我們始終可以用一個(gè)環(huán)形纖維空間從鏡的一側(cè)移動(dòng)（對(duì)應(yīng)）到另一側(cè)。它與 Maxim Kontsevich 在1994年提出的同調(diào)鏡像對(duì)稱猜想一起，試圖對(duì)鏡像對(duì)稱現(xiàn)象進(jìn)行解釋。證明這兩個(gè)猜想也成為了鏡像對(duì)稱領(lǐng)域中的基本問(wèn)題。

SYZ猜想很難證明，因?yàn)樵趯?shí)踐操作中，創(chuàng)建環(huán)形纖維然后取半徑的倒數(shù)的過(guò)程并不容易實(shí)現(xiàn)。為了搞清楚為什么，我們回到地球表面的例子：在一開(kāi)始，用圓來(lái)分解它似乎很容易做到，但在兩極，圓的半徑就為零了。而零的倒數(shù)是無(wú)窮大。 因此如果半徑為零，就遇到大麻煩了。

當(dāng)嘗試創(chuàng)建一個(gè)六維辛空間的環(huán)形纖維時(shí)，這一難點(diǎn)就會(huì)以更明顯的方式出現(xiàn)。因?yàn)樵诹S辛空間，可能會(huì)有無(wú)窮多環(huán)形纖維的部分纖維被壓縮成半徑為零的點(diǎn)。數(shù)學(xué)家仍在試圖弄清楚如何使用這種纖維。賓夕法尼亞大學(xué)的數(shù)學(xué)家 Tony Pantev 表示：“合理解釋這樣的環(huán)形纖維空間是一個(gè)巨大的難題?！?/span>

換句話說(shuō)，SYZ猜想認(rèn)為環(huán)形纖維化是辛空間和復(fù)空間之間的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，但在很多情況下，數(shù)學(xué)家并不知道如何執(zhí)行猜想中所描述的平移過(guò)程。

隱藏已久的連接

在過(guò)去的27年中，數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)了數(shù)億個(gè)鏡像對(duì)——某個(gè)辛流形與另一個(gè)復(fù)流形處于鏡像關(guān)系——的例子。但在了解現(xiàn)象發(fā)生的原因時(shí)，數(shù)量并不那么重要。Gross 說(shuō)：“我們有大量的例子，可能有4億多個(gè)。所以說(shuō)我們并不缺乏實(shí)例，但是仍有一些具體例子看起來(lái)并沒(méi)有為整個(gè)故事為什么會(huì)這樣運(yùn)作起到啟示作用。”

數(shù)學(xué)家希望找到一個(gè)通用的構(gòu)造方法——一個(gè)通過(guò)給定任何辛流形，就能得到它的鏡像的標(biāo)準(zhǔn)過(guò)程?，F(xiàn)在數(shù)學(xué)家相信他們正在接近實(shí)現(xiàn)這樣一個(gè)過(guò)程。 Auroux說(shuō)：“我們正在逐漸理解這種現(xiàn)象，試圖盡可能多地證明它具有的一般性?！?/span>

數(shù)學(xué)家正在沿著幾個(gè)相互關(guān)聯(lián)的方向前進(jìn)。經(jīng)過(guò)幾十年對(duì)鏡像對(duì)稱領(lǐng)域的研究，他們已非常接近理解該領(lǐng)域奏效的主要原因。法國(guó)高等科學(xué)研究所（IHES）的數(shù)學(xué)家 Kontsevich 是該領(lǐng)域的領(lǐng)導(dǎo)者，他說(shuō)：“我認(rèn)為這一目標(biāo)能在合理的時(shí)間內(nèi)完成，它很快就將得到證實(shí)了。”

一個(gè)活躍的研究領(lǐng)域創(chuàng)造了一個(gè)圍繞SYZ猜想的最終結(jié)果。它試圖將幾何信息在沒(méi)有完整的環(huán)形纖維化的情況下，從辛空間轉(zhuǎn)移到復(fù)空間。2016年，Gross和漢堡大學(xué)的 Bernd Siebert 一同發(fā)布了一個(gè)為達(dá)到這一目的的通用方法。他們現(xiàn)在正在完成一個(gè)表明該方法適用于所有鏡像空間的證明。Gross 說(shuō)：“現(xiàn)在完整的證明已經(jīng)全部寫(xiě)下來(lái)了，但仍需要梳理?！彼?Siebert 希望能在今年年底之前完成。

另一個(gè)主要的研究線試圖證明，假設(shè)你有一個(gè)為你提供鏡像空間的環(huán)形纖維，那么鏡像對(duì)稱的所有最重要的關(guān)系就會(huì)從那里消失。該研究計(jì)劃被稱為“Floer理論”，并正由哥倫比亞大學(xué)的數(shù)學(xué)家 Mohammed Abouzaid 發(fā)展。2017年3月，Abouzaid 發(fā)表了一篇論文，證明這種邏輯鏈適用于某些類型的鏡像對(duì)，但還不是全部。

最后，還有一些研究回到了這個(gè)領(lǐng)域開(kāi)始的地方。Sheridan、Sheel Ganatra 和 Timothy Perutz 三位數(shù)學(xué)家正在基于 Kontsevich 于20世紀(jì)90年代提出的開(kāi)創(chuàng)性想法——同調(diào)鏡像對(duì)稱猜想——上繼續(xù)前行。

累積起來(lái)，這三項(xiàng)舉措將有可能為鏡像現(xiàn)象畫(huà)上完滿的句點(diǎn)。Auroux 說(shuō)：“我想我們已經(jīng)到了所有重要的‘為什么’問(wèn)題都接近被理解的程度。”

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總結(jié)

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