涟漪中的数学难题
一句話的總結：近年，兩位數學家證明了，在一定的極端條件下，Navier-Stokes方程的輸出是不合理的。
?著名的Navier-Stokes方程，用寥寥幾項簡明的數學表達式抓住了物理世界最普遍的特征：流體的運動。這個歷史悠久的方程，追溯源頭是在19世紀20年代，在如今依然被人們用來做幾乎所有相關流體問題的建模，從洋流運動到飛機飛行時遇見的湍流，以及心臟中的血液流動，都離不開這個方程。
物理學家們理所當然地認為這個方程是十分合理的工具，但數學家們的看法卻有些不同。對數學家來說，他們更希望證明這個方程是不會失效的：也就是說，不論什么樣的流體，也不論你預測多久以后的流動，該方程在數學上依然成立。這是極難的證明。第一個能證明Navier-Stokes方程始終有效的人（或團隊），可以獲得由Clay數學研究所設立的七大千禧年問題的大獎，以及隨之的一百萬美元的獎金。?
數學家發展出很多辦法來嘗試解決這個難題。2017年9月發布在網上的一個新工作，對于這么多年來（用來嘗試證明的）主要方法是否能成功提出提出了質疑和挑戰。這篇由普林斯頓大學的Tristan Buckmaster和Vlad Vicol所出的文章[2]，發現在一些特定的假設之下，Navier-Stokes方程對物理世界會有不一致的描述。
“我們指出一些關于這些方程的內在問題，這可能使得人們不得不重新思考Navier-Stokes難題。”Buckmaster如是說道。
Buckmaster和Vicol的工作表明，當你允許Navier-Stokes方程的解十分粗糙的時候（形象地說，像一張素描而不是一張照片），方程的輸出會不合理，同樣的流體從完全同樣的初始條件出發，可能會進入兩個甚至更多十分不同的末態。換句話說，若始終堅持方程的合理性的話，流體會以多種完全不同方式流動，這是物理世界不允許的。也就是說，若方程有這樣多種解的行為，那么它便不再能可靠地反應真實的物理世界。
?方程“飄了”[3]（Blowing up the equation）?
為了看清這些方程是如何失效的，首先想象一個海洋洋流的情景。洋流中可能有許多股的交叉流動，一部分以某個速度往一個方向移動，而其它區域以別的速度往別的方向流動。這些交叉流動之間有相互作用，摩擦與水壓等參量在相互作用中不停演化，進而決定流體的流動。
數學家們用一張圖來模擬洋流的相互作用，這張圖告知我們流體每個點的流動的方向和速度。這樣的圖，稱之為矢量場，是流體內部動力學的“照片”。Navier-Stokes方程拿過這張照片，并把它向時間軸的前方推進，告訴你在未來的任意給定時間這個矢量場變成了什么樣子。
這個方程無疑是有效的。它描述流體的運動，就像牛頓方程預測行星將來的位置一般可靠；物理學家們一直在用它，它給出的結果與實驗的結果也吻合的非常好。但是數學家們想要更加嚴謹的證明，證明無論給定怎樣的初始矢量場，Navier-Stokes方程永遠都給出唯一的演化。
這正是千禧年問題的內容。也就是說，Navier-Stokes方程的解必須能提供流體中未來任意時刻每個點的準確的方向和流體速度等數值。擁有這樣無限“分辨率”的解叫做“光滑的”解。在一個光滑解中，矢量場中每個點都有一個伴隨的矢量，使你能夠順著箭頭“光滑地”走遍整個矢量場，而不會遇到某個沒有矢量依附的點處而被困住（在這種點處你不知道接下來往哪里走）。
光滑解集用來表述物理世界是完備的，但是數學上講，他們并不一定總是存在。研究像Navier-Stokes方程的數學家擔心這種場面：你在施展Navier-Stokes大法并觀察矢量場如何變化，經過有限的一段時間后，方程告訴你，嗯，有個粒子在流體中速度無窮大了…這就是毛病了。方程中包含壓強、阻力和速度等數量的變化率（導數），但你無法再對一個無窮大的量進行求導。因此，如果方程產出這么個無窮大的量，就說它在此處失效了（break down），或者說是爆了（blow up）。此時方程再也不能給出真實的流體的狀態。Blowup強烈暗示著，方程缺失了一些描述物理世界應該包含的某些東西。Buckmaster認為，或許Navier-Stokes方程確實沒有抓住真實流體的一些效應也說不定，畢竟真實物理世界沒有速度無窮大的粒子。?
解決千禧年問題應當包括證明Blowup永遠不會發生，或者確定怎樣的情況下會發生blowup。數學家們在用的一個策略是，首先放松對方程的解的描述能力的要求。
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?從弱解到光滑解（From weak to smooth）?
數學家們在研究Navier-Stokes方程的時候，有時會先放寬他們對“解”的定義。光滑的解要求最多——在Navier-Stokes方程中，它們要求矢量場中每個點都有伴隨的矢量。但是如果你放松要求，比如說你只需要計算部分點處的矢量，或者只需要能得到近似的矢量。這樣的解稱為“弱解”，它們允許數學家初步體察方程的行為而不必辛苦地尋找光滑解（實踐中有時或許是不可能做到的）。
弱解和“弱”的等級有關。如果把光滑解看成是流體在數學上無限分辨率的圖像，那么弱解就像是32比特、16比特或者8比特的版本，這就取決于你允許它們有多弱。
1934年法國數學家Jean Leray定義了一類重要的弱解。不同于處理嚴格意義上的矢量，Leray解取定一個小區域中所有矢量的平均值。Leray證明，如果允許解取這種特殊的形式，則總能解出Navier Stokes方程。換句話說，Leray解永遠不會blowup。
Leray的成果建立了一條解決Navier-Stokes的思路：從Leray解出發，看能否把它們轉化成光滑解。光滑解的存在性正是要證明的。這個過程就像從一個粗糙的圖片出發，看能不能提高分辨率以得到完美的圖像。如果能做到使這些Leray解最終變成光滑，那么就解決了那個千禧年問題。
不過還有一些隱藏屬性需要討論。Navier-Stokes方程的解對應于真實物理世界，物理世界的事件只最終只有一種結果。因此，我們期望（給定條件下）一個方程只有一個唯一的解。如果出現多個解的話，那么這個方程就“廢了”。也正是因此，只有在保證唯一性的情況下，Leray解才能夠用來解決千禧年難題。
Buckmaster和Vicol的新結果，是第一個表明對于某些定義中的特解，唯一性不能保證。在文章中，他們考慮了比Leray解更弱的解——運用和Leray解相同的平均的法則但是進一步放松了一個額外的條件（所謂的“能量不等式”）。他們使用了一個叫做“凸積分”的辦法，該方法是數學家John Nash在幾何中提出的，在近年被De Lellis和Szekelyhidi引入到流體的研究中來。使用這個方法，Buckmaster和Vicol證明了這些Navier-Stokes方程的弱解是不唯一的。例如，如果從一個完全靜止的流體出發，如床邊案頭的一杯歲月靜好的白開水，有可能兩種情況：一種是永遠保持靜止，另一種很詭異但是數學上完全允許，就是水開始時保持靜止，到了午夜突然噴發一下，然后回歸靜止。
Buckmaster和Vicol證明了Navier-Stokes方程中許多不唯一弱解的存在。不必太過悲觀的是，這項工工作的意義還有待進一步的研究。在某種程度上，弱解可能因為太弱而與稍微光滑一些的解關系不大，這樣的話Buckmaster和Vicol的工作可能不會帶來太嚴重的問題。De Lellis說，他們的結果無疑是一種提醒，但或許是因為他們研究的解太弱。許多強一些的解對于Navier-Stokes問題的解決仍然是有希望的。?
Buckmaster和Vicol也在思考這些。他們把目光放在了Leray解上，探討是否有類似的不唯一性的證明。“Buckmaster和我都認為Leray解是不唯一的，我們還沒有證明，但是我們之前的工作，已經為接下來處理問題打下了不錯的基礎。”Vicol如是說道。
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[1]原文鏈接：https://www.quantamagazine.org/mathematicians-find-wrinkle-in-famed-fluid-equations-20171221/
[2]Tristan Buckmaster, Vlad Vicol, Nonuniqueness of weak solutions to the Navier-Stokes equation, arXiv:1709.10033,Annals of Mathematics, Vol. 189, No. 1 (January 2019), pp. 101-144 (44 pages)
[3]“飄了”是我形象的翻譯并非原意～
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編輯?∑Pluto
來源：CarronLi的個人博客
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