一句話的總結(jié)：近年，兩位數(shù)學(xué)家證明了，在一定的極端條件下，Navier-Stokes方程的輸出是不合理的。

?著名的Navier-Stokes方程，用寥寥幾項簡明的數(shù)學(xué)表達式抓住了物理世界最普遍的特征：流體的運動。這個歷史悠久的方程，追溯源頭是在19世紀20年代，在如今依然被人們用來做幾乎所有相關(guān)流體問題的建模，從洋流運動到飛機飛行時遇見的湍流，以及心臟中的血液流動，都離不開這個方程。

物理學(xué)家們理所當(dāng)然地認為這個方程是十分合理的工具，但數(shù)學(xué)家們的看法卻有些不同。對數(shù)學(xué)家來說，他們更希望證明這個方程是不會失效的：也就是說，不論什么樣的流體，也不論你預(yù)測多久以后的流動，該方程在數(shù)學(xué)上依然成立。這是極難的證明。第一個能證明Navier-Stokes方程始終有效的人（或團隊），可以獲得由Clay數(shù)學(xué)研究所設(shè)立的七大千禧年問題的大獎，以及隨之的一百萬美元的獎金。?

數(shù)學(xué)家發(fā)展出很多辦法來嘗試解決這個難題。2017年9月發(fā)布在網(wǎng)上的一個新工作，對于這么多年來（用來嘗試證明的）主要方法是否能成功提出提出了質(zhì)疑和挑戰(zhàn)。這篇由普林斯頓大學(xué)的Tristan Buckmaster和Vlad Vicol所出的文章[2]，發(fā)現(xiàn)在一些特定的假設(shè)之下，Navier-Stokes方程對物理世界會有不一致的描述。

“我們指出一些關(guān)于這些方程的內(nèi)在問題，這可能使得人們不得不重新思考Navier-Stokes難題。”Buckmaster如是說道。

Buckmaster和Vicol的工作表明，當(dāng)你允許Navier-Stokes方程的解十分粗糙的時候（形象地說，像一張素描而不是一張照片），方程的輸出會不合理，同樣的流體從完全同樣的初始條件出發(fā)，可能會進入兩個甚至更多十分不同的末態(tài)。換句話說，若始終堅持方程的合理性的話，流體會以多種完全不同方式流動，這是物理世界不允許的。也就是說，若方程有這樣多種解的行為，那么它便不再能可靠地反應(yīng)真實的物理世界。

?方程“飄了”[3]（Blowing up the equation）?

為了看清這些方程是如何失效的，首先想象一個海洋洋流的情景。洋流中可能有許多股的交叉流動，一部分以某個速度往一個方向移動，而其它區(qū)域以別的速度往別的方向流動。這些交叉流動之間有相互作用，摩擦與水壓等參量在相互作用中不停演化，進而決定流體的流動。

數(shù)學(xué)家們用一張圖來模擬洋流的相互作用，這張圖告知我們流體每個點的流動的方向和速度。這樣的圖，稱之為矢量場，是流體內(nèi)部動力學(xué)的“照片”。Navier-Stokes方程拿過這張照片，并把它向時間軸的前方推進，告訴你在未來的任意給定時間這個矢量場變成了什么樣子。

這個方程無疑是有效的。它描述流體的運動，就像牛頓方程預(yù)測行星將來的位置一般可靠；物理學(xué)家們一直在用它，它給出的結(jié)果與實驗的結(jié)果也吻合的非常好。但是數(shù)學(xué)家們想要更加嚴謹?shù)淖C明，證明無論給定怎樣的初始矢量場，Navier-Stokes方程永遠都給出唯一的演化。

這正是千禧年問題的內(nèi)容。也就是說，Navier-Stokes方程的解必須能提供流體中未來任意時刻每個點的準(zhǔn)確的方向和流體速度等數(shù)值。擁有這樣無限“分辨率”的解叫做“光滑的”解。在一個光滑解中，矢量場中每個點都有一個伴隨的矢量，使你能夠順著箭頭“光滑地”走遍整個矢量場，而不會遇到某個沒有矢量依附的點處而被困住（在這種點處你不知道接下來往哪里走）。

光滑解集用來表述物理世界是完備的，但是數(shù)學(xué)上講，他們并不一定總是存在。研究像Navier-Stokes方程的數(shù)學(xué)家擔(dān)心這種場面：你在施展Navier-Stokes大法并觀察矢量場如何變化，經(jīng)過有限的一段時間后，方程告訴你，嗯，有個粒子在流體中速度無窮大了…這就是毛病了。方程中包含壓強、阻力和速度等數(shù)量的變化率（導(dǎo)數(shù)），但你無法再對一個無窮大的量進行求導(dǎo)。因此，如果方程產(chǎn)出這么個無窮大的量，就說它在此處失效了（break down），或者說是爆了（blow up）。此時方程再也不能給出真實的流體的狀態(tài)。Blowup強烈暗示著，方程缺失了一些描述物理世界應(yīng)該包含的某些東西。Buckmaster認為，或許Navier-Stokes方程確實沒有抓住真實流體的一些效應(yīng)也說不定，畢竟真實物理世界沒有速度無窮大的粒子。?

解決千禧年問題應(yīng)當(dāng)包括證明Blowup永遠不會發(fā)生，或者確定怎樣的情況下會發(fā)生blowup。數(shù)學(xué)家們在用的一個策略是，首先放松對方程的解的描述能力的要求。

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?從弱解到光滑解（From weak to smooth）?

數(shù)學(xué)家們在研究Navier-Stokes方程的時候，有時會先放寬他們對“解”的定義。光滑的解要求最多——在Navier-Stokes方程中，它們要求矢量場中每個點都有伴隨的矢量。但是如果你放松要求，比如說你只需要計算部分點處的矢量，或者只需要能得到近似的矢量。這樣的解稱為“弱解”，它們允許數(shù)學(xué)家初步體察方程的行為而不必辛苦地尋找光滑解（實踐中有時或許是不可能做到的）。

弱解和“弱”的等級有關(guān)。如果把光滑解看成是流體在數(shù)學(xué)上無限分辨率的圖像，那么弱解就像是32比特、16比特或者8比特的版本，這就取決于你允許它們有多弱。

1934年法國數(shù)學(xué)家Jean Leray定義了一類重要的弱解。不同于處理嚴格意義上的矢量，Leray解取定一個小區(qū)域中所有矢量的平均值。Leray證明，如果允許解取這種特殊的形式，則總能解出Navier Stokes方程。換句話說，Leray解永遠不會blowup。

Leray的成果建立了一條解決Navier-Stokes的思路：從Leray解出發(fā)，看能否把它們轉(zhuǎn)化成光滑解。光滑解的存在性正是要證明的。這個過程就像從一個粗糙的圖片出發(fā)，看能不能提高分辨率以得到完美的圖像。如果能做到使這些Leray解最終變成光滑，那么就解決了那個千禧年問題。

不過還有一些隱藏屬性需要討論。Navier-Stokes方程的解對應(yīng)于真實物理世界，物理世界的事件只最終只有一種結(jié)果。因此，我們期望（給定條件下）一個方程只有一個唯一的解。如果出現(xiàn)多個解的話，那么這個方程就“廢了”。也正是因此，只有在保證唯一性的情況下，Leray解才能夠用來解決千禧年難題。

Buckmaster和Vicol的新結(jié)果，是第一個表明對于某些定義中的特解，唯一性不能保證。在文章中，他們考慮了比Leray解更弱的解——運用和Leray解相同的平均的法則但是進一步放松了一個額外的條件（所謂的“能量不等式”）。他們使用了一個叫做“凸積分”的辦法，該方法是數(shù)學(xué)家John Nash在幾何中提出的，在近年被De Lellis和Szekelyhidi引入到流體的研究中來。使用這個方法，Buckmaster和Vicol證明了這些Navier-Stokes方程的弱解是不唯一的。例如，如果從一個完全靜止的流體出發(fā)，如床邊案頭的一杯歲月靜好的白開水，有可能兩種情況：一種是永遠保持靜止，另一種很詭異但是數(shù)學(xué)上完全允許，就是水開始時保持靜止，到了午夜突然噴發(fā)一下，然后回歸靜止。

Buckmaster和Vicol證明了Navier-Stokes方程中許多不唯一弱解的存在。不必太過悲觀的是，這項工工作的意義還有待進一步的研究。在某種程度上，弱解可能因為太弱而與稍微光滑一些的解關(guān)系不大，這樣的話Buckmaster和Vicol的工作可能不會帶來太嚴重的問題。De Lellis說，他們的結(jié)果無疑是一種提醒，但或許是因為他們研究的解太弱。許多強一些的解對于Navier-Stokes問題的解決仍然是有希望的。?

Buckmaster和Vicol也在思考這些。他們把目光放在了Leray解上，探討是否有類似的不唯一性的證明。“Buckmaster和我都認為Leray解是不唯一的，我們還沒有證明，但是我們之前的工作，已經(jīng)為接下來處理問題打下了不錯的基礎(chǔ)。”Vicol如是說道。

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[1]原文鏈接：https://www.quantamagazine.org/mathematicians-find-wrinkle-in-famed-fluid-equations-20171221/

[2]Tristan Buckmaster, Vlad Vicol, Nonuniqueness of weak solutions to the Navier-Stokes equation, arXiv:1709.10033,Annals of Mathematics, Vol. 189, No. 1 (January 2019), pp. 101-144 (44 pages)

[3]“飄了”是我形象的翻譯并非原意～

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編輯?∑Pluto

來源：CarronLi的個人博客

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總結(jié)

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