若問金庸江湖中哪套劍法最厲害，十有八九都會想到“獨孤九劍”。那位儼如神話的劍魔獨孤求敗，終其一生欲求一敗而不得，大抵是所有劍客們心向往之的至高境界。其實在數學江湖中也有一套“獨孤九劍”，那便是被譽為“中國數學圣經”的《九章算術》

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關于數學家劉徽的故事

（一）劉徽簡介

劉徽，魏晉南北朝時期人物，出生日期大約是在公元225年前后，他卒于295年，是當時世界上最杰出的數學家。他在這方面的著作，對后世數學的發展有著至關重要的影響，同時也奠定了他在數學界不可動搖的地位，也為數學界留下了最為寶貴的文化遺產。他的杰作《九章算術》和《海島算經》，是中國最寶貴的數學遺產。

（二）個人成就

劉徽思維敏捷又刻苦好學，在數學上有著許多的成就，而這些成就大致可以分為兩個方面的內容。

其一是他研究了古代中國的數學理論，從而整理出了一套數學體系，而他這方面的這就從他的數學著作中就可以看出來。他那一套比較完整的數學理論又包括了通分、約分以及各運算法則，同時又從理論方面證明了無理方根的存在；劉徽還給了率一個明確地定義，再通過“率”來定義“方程”；同時他對勾股理論也做出了一定的發展。

其二就是面積與體積理論。他提出了劉徽原理，并將多種面積或體積的問題加以解決。另外，他還在自己的著作中，給出了對幽州率的計算方法，使圓周率又成為“徽率”。

劉徽一直都在數學的海洋中遨游，不斷地專研和學習，并提出新的見解和理論，對數學的發展做出了巨大的貢獻。鑒于劉徽的巨大貢獻，所以不少書上把他稱作“中國數學史上的牛頓”。

（三）數學家劉徽的故事

劉徽是魏晉時期有名的數學家，他在數學上有著極大的成就，在數學界中占據著極其重要的位置。他在十分簡陋的環境中，冥思苦想，提出了一個又一個令人振奮的理論。接下來，讓我們來看一看與劉徽有關的故事吧。

劉徽是中國古代歷史上，乃至世界知名的數學家，他通過自己不斷地研究，在十分簡陋的環境下，提出了“割圓術”，進而得出了更精確地圓周率。這在當時是一個十分偉大的發現，也使中國對圓周率的計算在世界上一直處于領先的地位。

劉徽在他的著作中，提出了割圓術的理論，可以利用它來計算圓周率。《九章算術》中提到“周三徑一”，這句話的意思就是說圓周率的近似值為三。但是，劉徽認為這個數字太籠統，不夠準確，所以指出這個數字不能作為圓周率。后來，在一次偶然的事件中，劉徽發現圓內接多邊形的邊數增加得越多，那么多邊形的周長就與圓的周長越來越接近，這也就是割圓術的由來了。利用割圓術，劉徽從圓內接正六邊形開始切割，然后就是十二邊形等一直計算下去，直到計算到九十六邊形為止，能夠得出的圓周率的近似值是3.14。然而劉徽對此并不滿意，他后來又繼續深入計算，得出了當時世界上最精確的圓周率為3.1416。

劉徽是一個偉大的數學家，他在數學上的成就對后世數學的發展，形成了十分深遠的影響。

（四）劉徽在海島算經

劉徽是實至名歸的世界數學界的泰斗，他利用了各種優秀的理念，使傳統數學得到了轉變，數學研究也步上了一個新的臺階。他留下的數學著作對數學界來說是珍寶一般的存在，《海島算經》就是其中的一部。

263年，劉徽著作了《九章算術注》，而《海島算經》就是其中的第十卷。直到唐朝時，《海島算經》才開始單獨作為一部著作出現。這部書是中國最早的一部測量學著作，測量的都是與高和距離的問題。因此，有人說它是三角法的起源，但這其中并未涉及相關的理論和知識點。這部書一共有九個關于測量計算高遠深廣的問題，且都是采用表尺從不同的位置測望，然后取得這些測望值的差距，通過這些差距再來計算山高等距離問題。而在這些計算中，所運用的方法是籌算。因為這些問題中的第一個問題與海盜有關，所以這部書被取名為《海島算經》。

這部書，在唐初時單獨成冊，后來又被收錄進了一部百科全書式的文獻集中。幸運的是，經歷了千年的顛簸，這部書沒有消逝在時間的長河里，如今被妥善的保管著。遺憾的是，雖然這部書沒有失傳，但是卻沒能留存于國內，而是被保存于英國劍橋大學圖書館。

有人曾指出，《海島算經》讓中國的測量學達到了巔峰，其測量術比歐洲早了整整一千四百年左右，可見古代中國測量學的先進。

（五）九章算術

《九章算術》作者不詳，師承不明，無門無派，身世神秘，仿佛天外飛仙般突然降臨江湖，一出現便驚艷了眾生，引得歷代名家盡折腰，甘愿殫精竭慮，紛紛為之作注，九章之學，遂成大宗。

劍有劍招，算有算題，“獨孤九劍”須得從一招一招練起，《九章算術》也得從一題一題做起。整部《九章算術》說到底就是一本算題集，共列舉了二百四十六道算題，每題皆有問有答有解。這又好比二人對劍，一人出招，一人接招，至于如何見招拆招，則全賴“九術”之妙用。

看來欲有所進境，是非動手不可了。不妨就從每章各抽一題，以期略盡管窺之責。

例一箕田求積

今有箕田，舌廣二十步，踵廣五步，正從三十步，問為田幾何？（方田章）

這正是方田術最擅長的面積計算問題，由于常跟“田”打交道，故而“田”也就自然成為了各類圖形的代稱，諸如：“方田”指矩形，“圭田”指等腰三角形，“邪田”指直角梯形，“箕田”指等腰梯形，“圓田”指圓形，“宛田”指球冠形，“弧田”指弓形，“環田”指環形等等。不同的“田”有不同的面積計算公式，遂又衍生出種種專語，諸如：“廣”為長，“從”為寬，“正從”為高，“舌”為上底，“踵”為下底，“周”為周長，“徑”為直徑等等。通曉了這些行話般的代稱專語，修煉起方田術來，才能事半而功倍。

箕田術示意圖

本題所求為箕田面積，“箕田術曰：并踵舌而半之，以乘正從”，翻譯過來即：

等腰梯形面積＝1/2×（上底＋下底）×高

這個公式是不是很親切？遙想幼學當年，稚氣猶未了，強記硬背，百遍后，倒也滾瓜爛熟。在此直接套用即可：

箕田面積＝1/2×（20＋5）×30＝375步

漢制二百四十步為一畝，故答曰：“一畝一百三十五步。”

例二以粟換米

今有粟一斗，欲為糲米，問得幾何？（粟米章）

國以農為本，民以食為天，糧食在古代不但是賦稅的大宗，交易時更堪比金銀等硬通貨，因此糧食的兌換和折算問題，一直是朝廷和官府的頭等大事。〈粟米章〉開篇就明示“粟米之法”，列出了二十種谷物及米飯的換算比率，相當于一份漢代的糧食換算表，即以本題而言，粟率五十，糲米率三十。

粟是中國北方主要的糧食作物，俗稱“谷子”，去殼后俗稱“小米”，糲米就是糙米。本題的意思是，根據“粟米之法”所列的比率，問一斗谷子能換多少糙米？

那么，具體該如何換算呢？這就要借助“今有術”。所謂“今有術”，其實就是四項比例算法，因每問開頭常冠以“今有”二字，故得此諢號。其修煉口訣曰：“以所有數乘所求率為實，以所有率為法，實如法而一。”以公式表示即是：

所求數＝所有數×所求率／所有率

本題是以粟來兌換糲米，粟數為所有數，糲米數為所求數，粟率為所有率，糲米率為所求率。依今有術之法：

糲米數＝粟數×糲米率／粟率＝1斗×30／50＝0.6斗

漢制十升為一斗，故答曰：“為糲米六升。”

例三五爵分鹿

今有大夫、不更、簪裊、上造、公士，凡五人，共獵得五鹿。欲以爵次分之，問各得幾何？（衰分章）

古代以爵級為賜，大夫、不更、簪裊、上造、公士都是戰國之初已有的官爵名稱，爵數各有等差，依次為大夫五，不更四，簪裊三，上造二，公士一。本題要求將獵得的五只鹿，按爵級予以賞賜，分配比例即為爵數，問五爵各得多少？

今有術解決的雖是按比例交換問題，但同樣可以適用于此處的按比例分配問題，由此便形成了衰分術。衰（cuī）即差別之意，衰分即按差別來分配。本題所給出的算法是：“列置爵數，各自為衰，副并為法。以五鹿乘未并者各自為實，實如法得一鹿。”

所謂“列置爵數，各自為衰，副并為法”，就是把分配比例依次列出，以各率相加之和作為除數：

5：4：3：2：1

5＋4＋3＋2＋1＝15

所謂“五鹿乘未并者各自為實，實如法得一鹿”，就是用五鹿之數乘以五爵各自在分配總率中所占的比例，即可求得各自應得鹿數：

大夫應得鹿數＝5鹿×5／15＝1又2／3鹿

不更應得鹿數＝5鹿×4／15＝1又1／3鹿

簪裊應得鹿數＝5鹿×3／15＝1鹿

上造應得鹿數＝5鹿×2／15＝2／3鹿

公士應得鹿數＝5鹿×1／15＝1／3鹿

故答曰：“大夫得一鹿三分鹿之二，不更得一鹿三分鹿之一，簪裊得一鹿，上造得三分鹿之二，公士得三分鹿之一。”

本題中還涉及到了分數運算法則，這在〈方田章〉中有更為詳盡的論述，包括約分（分數化簡法）、合分（分數加法）、減分（分數減法）、乘分（分數乘法）、經分（分數除法）、課分（分數比較大小）、平分（分數求平均值）及大廣田（帶分數乘法）——千萬別被它們古奧的名字唬住，其實都不過是最基本的分數加減乘除四則運算罷了，當代的初中生人人皆會。

例四積步開方

今有積五萬五千二百二十五步，問為方幾何？（少廣章）

少廣術是已知面積或體積，而反求邊長，相當于方田術和商功術的逆向運算，這就必然會涉及到開平方和開立方的問題。《九章算術》的開方術極為精彩，采用數形結合的方法，根據幾何上“出入相補”的原理，“析理以詞，解體用圖”，顯示了中國傳統數學的特色，開創了后來開更高次方和求高次方程數值解之先河。特別令人驚異之處，是指出了存在有開不盡的情形，“若開之不盡者，為不可工”，并給這種不盡根數起了一個專門的名字——“面”。

本題是一道簡單的開平方題，欲求55225的平方根。《九章算術》用的是古老的算籌，先擺出開方數式，再通過移動算籌而借位，比之普通的加減乘除四則運算要復雜得多。本題答曰：“二百三十五步。”

例五陽馬求積

今有陽馬，廣五尺，袤七尺，高八尺。問積幾何？（商功章）

陽馬不是馬，而一種特殊的錐體，本題所要求的就是這種錐體的體積，這正是商功術的看家本領。在動手計算之前，先得介紹一下立體圖形家族的諸位成員。

最熟悉的當然是長方體，在家族中排行最大，輩份最高，許多錐體和柱體都是由它演變而來的。

將長方體沿對角面斜分為二，得到兩個一模一樣的三角棱錐，稱為“塹堵”，其體積是長方體的一半。

塹堵

再沿塹堵某一頂點與相對的棱剖開，得四角棱錐和三角棱錐各一個。四角棱錐以矩形為底，另有一棱與底面垂直，稱為“陽馬”；余下的三角棱錐是由四個直角三角形組成的四面體，稱為“鱉臑”（biē nào）。

合兩鱉臑而成一陽馬，合三陽馬而成一立方。故本題解法是：“廣袤相乘，以高乘之，三而一。”也就是以陽馬矩形底面的長乘以寬，再乘以陽馬的高，得出未剖分前長方體的體積，除以三即為陽馬的體積。答曰：“九十三尺少半尺。”

商功術天天應對的都是建房、造屋、筑城、修堤、挖溝、開渠等土木水利工程問題，所遇到的怪咖自然不止以上幾位，還有“芻童”、“芻甍”、“曲池”、“盤池”、“冥谷”等等。“芻童”指的是上下底皆為矩形的擬柱體，芻甍指的是上底為一棱、下底為一矩形的擬柱體，至于“曲池”、“盤池”、“冥谷”則都是長方臺體，計算方法大同小異。

例六四縣均輸

今有均輸粟，甲縣一萬戶，行道八日；乙縣九千五百戶，行道十日；丙縣一萬二千三百五十戶，行道十三日；丁縣一萬二千二百戶，行道二十日，各到輸所。凡四縣賦，當輸二十五萬斛，用車一萬乘。欲以道里遠近、戶數多少，衰出之，問粟、車各幾何？（均輸章）

所謂“均輸”，就是平均分配運輸負擔。本題中縣戶有多少之差，行道有遠近之異，欲其均等，故各令行道日數約戶為衰分，行道多者少其戶，行道少者多其戶。

甲縣衰分＝10000戶／8日＝125

乙縣衰分＝9500戶／10日＝95

丙縣衰分＝12350戶／13日＝95

丁縣衰分＝12200戶／20日＝61

已知衰分，就可以運用前已熟悉的衰分術，很容易地計算出各縣當輸的粟數和當用的車數了，答曰：“甲縣粟八萬三千一百斛，車三千三百二十四乘。乙縣粟六萬三千一百七十五斛，車二千五百二十七乘。丙縣粟六萬三千一百七十五斛，車二千五百二十七乘。丁縣粟四萬五百五十斛，車一千六百二十二乘。”

這只是均輸術最正經的應用，事實上，它還可以解決一些不大重要卻很有趣的小問題，例如數學史上著名的“鳧雁相逢”問題：

今有鳧起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海。今鳧雁俱起，問何日相逢？（均輸章）

鳧即野鴨，雁即大雁，野鴨從南海飛到北海需要七天，大雁從北海飛到南海需要九天。野鴨和大雁同時分別從南海和北海出發，問多少天可以相遇？

鳧雁相逢

本題雖然簡單，卻包含了均輸術中的時日、路程、速度等幾乎所有的元素，是典型性非典型題，反映了中國古代在處理與比例分配相關的分數運算時的基本思維——“齊同”，化異分母為同分母叫“同其母”，要保持分數值不變，還必須“齊其子”，母同子齊以后才可以進行加減運算。所以，“鳧雁相逢”的解法是：“并日數為法，日數相乘為實，實如法得一日。”也就是說，以各自需要的天數之和為除數，以各自需要的天數之積為被除數，這樣就得到日數。答曰：“三日十六分日之十五。”

例七人共買物

今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四。問人數、物價各幾何？（盈不足章）

題目意思是幾人合買一物，每人出錢八塊，則多三塊，是為盈余；每人出錢七塊，則少四塊，是為不足。問人數和物價各是多少？

這是典型的盈不足問題，自然必須用盈不足術。盈不足術跟衰分術一樣，也是由今有術衍生而來。由于往往要面對盈和虧兩種情形，需要通過兩次假設來求得結果，所以在歐洲又被稱為“雙假位法”，亦譯作“迭借互征”。盈不足術能處理各種隱而不見、雜亂無章的數量關系問題，因此又被譽為“萬能算法”，稱霸數壇。

《九章算術》所給出的盈不足術公式相當繁復啰嗦，反而劉徽的注更為簡捷，在此無暇贅述，還是直奔主題為上。

首先計算人數。每人兩次出錢，相差為8－7＝1，這是所謂“一人之差”。而“盈不足為眾人之差”，也就是說由于每人兩次出錢都差一點，導致了最后有3個“眾人之差”，大家相差的就是盈余的3塊錢和不足的4塊錢之和，“眾人之差”是7塊錢。“以一人之差約眾人之差，故得人數也”，以7除以1，即得知人數是7人。

再來計算物價。每人出錢8塊，買1物，多錢3塊；若買4物，則需出錢8×4＝32塊，多3×4＝12塊。每人出錢7塊，買1物，少錢4塊；若買3物，則需出錢7×3＝21塊，少4×3＝12塊。兩次盈虧等同，可以互相抵消。兩次出錢之和＝8×4＋7×3＝53塊，共計買得4＋3＝7物。前已算得人數是7人，可知物價是53塊錢。故答曰：“七人，物價五十三。”

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來源 | 校苑數模

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總結

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