“不要碰我的圆”
本文節選自廣西師大出版社《數學現場：另類世界史》！
拂曉之前，天空墨藍深邃，一眼看不到邊。海岸峭壁上的敘拉古城墻上，無數火把在閃動，渾身鎧甲的武士四處奔跑，匆匆忙忙地把大小不一的石彈分門別類地堆積在城堞上。各種奇形怪狀的機械已經支架在城墻上，面對著腳下的大海。乒乒乓乓的兵器撞擊聲、高高低低的呼喝聲，到處是喧囂和忙亂。一位清癯的老人赤足站在城頭，銀發銀髯和雪白的亞麻長袍在海風中劇烈地抖動著。
峭壁之下驚濤拍岸，雪白的浪花騰空而起，水霧蒸騰。遠處，墨一般漆黑的海面上，密密麻麻的戰船正鼓著風帆，朝著敘拉古飛速逼近。
埃披庫代斯（Epicydes，生卒年不詳）全身披掛，氣喘吁吁地跑到老人面前：“老師，羅馬人越來越近了，怎么辦？”
老人的目光緊緊盯著飛馳而來的戰船：“準備第一套投石機。”
血紅的太陽猛地跳出海面，羅馬水軍開始了第一輪進攻。沉重的飛石帶著尖銳的呼嘯砸落在城墻上、城池內。一塊大石頭落在城頭幾個戰士當中，轟然一聲。守軍驚慌失措，開始出現混亂。指揮官拔出腰間的短劍，揮舞著，大聲發出命令，戰士們漸漸恢復了秩序。
老人對于周圍發生的一切似乎都無動于衷，兩眼一刻也不離海面的羅馬艦隊。終于，他向埃披庫代斯揮了揮手：“啟動第一套投石機。”
守城的將士早已按捺不住了，巨大的投石機把磨盤大小的石塊密密麻麻投向敵船，石頭砸破船帆，砸斷桅桿，砸漏了甲板。有些甚至落到羅馬水兵身上。工夫不大，差不多三分之一的敵船便失去了戰斗能力。城頭的將士忍不住大聲喝起彩來。
這時，老人伸出兩只手指：“第二組投石機。”
剩下的敵船已經接近城墻，進入小型投石機攻擊的范圍。石頭小了，可是飛行速度卻更快，射擊密度也越發大了，冰雹一般傾瀉而下，羅馬士兵紛紛落水，剩下的一個個躲在盾牌后面不敢露頭。
羅馬共和國執政官、征討大軍統帥馬克盧斯（Marcus Claudius Marcellus，約公元前268—公元前208）在流星般的飛石面前巍然挺立，鎧甲閃亮，簪纓光鮮。他揮揮劍大聲吼叫，八艘怪模怪樣的戰船隨之從艦隊中飛馳而出。
這八艘戰船事先經過改造，每兩艘為一組，各把左側或右側的船槳撤掉，由幾塊登艙板從側面連在一起，變成一艘很寬的大船，上面安裝著一種名叫Sambucae的攻城機。攻城機操縱著三四尺寬的梯子，很長，足夠把另一端搭在城墻頂上。梯子的兩側裝有齊胸高的防護墻，還有一個由藤條編制的護頂。四個士兵坐在防護墻里，靠近梯子的頂頭。攻城時，先把梯子平放在連接兩艘船的登艙板上，梯子的頂端遠遠伸出船頭。攻城機上裝有滑輪，滑輪的繩索拴住梯子頂端。劃船手在盾牌的掩護下把船靠近城墻，靠近船尾的士兵抓住繩索的另一端，吆喝著三把五把就把梯子斜立起來，靠向城墻。躲在攻城機里面的士兵這時已經接近城頭，一躍跳上城墻，立刻全面投入戰斗。其他的士兵趁勢蜂擁而上，給予援助。這種攻城機械在羅馬人進攻其他希臘城池的戰斗中非常有效。
可是，就在八艘船靠近城墻的時候，白衣老人已經指揮守軍推出了十幾部奇特的機器。一根根又粗又長的木梁遠遠伸出城墻，頂端掛著巨石和沙袋，每個都有幾百斤重。木梁的尾端裝在一種萬向接頭上，可以自由地轉來轉去。守城士兵把重物對準了攻城機，一按機關，重物就飛落而下，把其中的士兵砸得四散奔逃，不僅攻城機的梯子折斷，船的甲板破碎，甚至船都被砸翻了。另外一些木梁頂端掛了鐵爪，由鐵鏈控制著，可以抓住敵人的船頭。然后轉動杠桿，木梁就高高抬起，把船頭拉得朝天直立，懸在空中，船上的水兵驚恐萬狀，失聲尖叫，紛紛落水。其他戰船上的羅馬士兵仰頭看著死魚一般掛在空中的船只，嘴巴大張，呆若木雞。突然，鐵爪張開，空中的船失重落水，不是底朝天，就是頭朝下。一只只羅馬戰船灌滿了海水，只好退出戰斗。
文史花絮?
阿基米德有許多獨出心裁的發明。除了我們文中的武器以外，據說他還利用光學的聚光原理，用千百面銅鏡把陽光聚集在羅馬戰船的布帆上，使戰船起火。羅馬軍隊中曾經流傳一種說法：“阿基米德是神話中的百手巨人。”阿基米德沒有留下任何防御武器的手稿。下圖是后人想象中的阿基米德“抓船器”。
阿基米德利用杠桿原理發明了滑輪。他年輕時在埃及旅行，見到人們從尼羅河中取水，十分吃力，便發明了螺旋抽水機，如下圖所示。
最早的抽水機是用青銅制造的。圓筒內部的螺旋形轉片，是阿基米德發明的。這個形狀后來用來制造螺絲釘和螺栓。今天，哪一臺機器沒有螺栓呢？
可是你知道嗎？早在春秋戰國時代，中國就有利用阿基米德螺線的機器了。2004年，華裔美國博士后陸述義（PeterLu，公元1978— ）在《科學》雜志上報告了他對一枚帶有螺旋形凹槽的玉環的研究（右圖）。這枚玉環出土于河南一座春秋楚墓，有十條紋路，每一條都滿足阿基米德的極坐標螺線公式：r = ρ×θ，（r =半徑，θ＝角度，ρ＝常數）。其精確程度顯然不是手工能達到的。陸述義用一臺舊留聲機模擬再造了一個加工裝置。古墓的主人死于公元前550年左右，這比阿基米德早了三百年。
這時候，城頭的弓箭手們抄起老人設計的外號叫作“蝎子”的快弩，朝著峭壁下的羅馬士兵發射短而尖利的鐵釘。鐵釘雨點般鉆入敵群，沒有片刻停息。羅馬士兵被迫躲在盾牌后面，不敢抬頭。
羅馬人的攻擊停止了，城頭上歡聲雷動。
這時，一個全副武裝的甲士跑到埃披庫代斯面前，上氣不接下氣，臉色蒼白：“將軍，羅馬人正從東面由陸路進攻！”
埃披庫代斯和老人火速奔向城東。
羅馬大將軍、元老院議員普爾凱爾（Appius Claudius Pulcher，生卒年不詳）率領的羅馬步兵推動裝有輪子的巨大塔屋和能伸能縮的梯子，正在接近城門。老人和埃披庫代斯來到這里，立即指揮啟動投石機和石炮，猛烈的火力使敵人還沒靠近城墻就遭受很大損失。頑強的羅馬人不屈不撓，以慘重的代價終于推進到距離城墻一百多米的地方。這時，城墻突然張開無數楔形的箭孔，這些箭孔外面小、里面大，從中射出鋪天蓋地的箭雨，轉眼之間羅馬士兵又成片地倒下去。那些帶輪子的攻城機也被巨石砸爛，如同海中的攻城機一樣。還有一些羅馬士兵被鐵爪抓到空中，然后被重重地丟下去。
這時，老人揮手示意，守軍把所有的機器全都搬了出來，大大小小各式各樣的石炮、投石機同時發射，一場石塊和石彈的暴雨呼嘯著鋪天蓋地砸向敵人。聲音之大、力量之巨，真是摧枯拉朽，勢不可擋，羅馬人難以招架，亂成一團。城頭、城內，敘拉古人歡呼跳躍，大聲喊著老人的名字：
“阿基米德！阿基米德！”
歡呼聲震天動地，沿著遼闊的海面向四周傳播出去，經久不息。
這場戰爭發生在公元前213年。那時，阿基米德（Archimedes，約公元前287 –公元前212）已經七十四歲了，早已從亞歷山大里亞學成，回到了故鄉敘拉古。
雖然阿基米德以發明奇巧的機器聞名后世，他自己對這些發明卻嗤之以鼻，甚至深惡痛絕，因為這些殺人的工具同科學的目的背道而馳。關于這些發明，他沒有留下任何文字，他的真正興趣在于數學、力學和天文學。阿基米德比中國的祖沖之還要早七百年就對圓周率做了深入的研究。為了確定圓周率π，他把圓切成若干相等的三角形，利用逐漸逼近
的方法得出結論：π的數值一定是在和之間。≈3.14285714，≈3.14084507，而我們今天知道，π≈3.141592654。而且，利用阿
基米德的方法，我們可以求到π的任意位小數。
找到了π，阿基米德接著尋找球體的體積公式。他的做法極其富有創造力，我們不妨仔細研究一下。請想象分別有一個圓柱、一個圓球和一個圓錐。圓柱的高和圓球的直徑（d）相等，圓錐底面的直徑與圓柱底面的直徑相等，都是2d。阿基米德已經知道，圓柱的體積是，圓錐的體積是。他把三個物體重疊畫出來，如圖10所示。現在他作一個任意的垂直于軸線AC的截面MN。由于軸對稱性，他看到，只需要把圖10當作平面幾何來處理，然后繞著HC軸旋轉就能得到三維的解。
在圖10的平面上，阿基米德已經知道——
這是個簡單的幾何問題。（還記得雙比例中項的問題嗎？請想象出一個以AOC為頂點的三角形，由于圓內任何一個以圓的直徑為邊的三角形都是直角三角形，所以我們自然就可以推出的結論。如果你對這個問題感到困惑，請再次閱讀本書的第三章。）然后，他開始利用幾何知識進行下面的簡單的代數運算。阿基米德是使用語言來描述他的運算結果的，以下是其運算用現代的代數符號的表達：
在等式（6a）兩邊同時加上，得到：
參考圖10我們可以一目了然地發現：，因此這個等式也可以轉化為：現在考慮到三個物體的軸對稱性，在等式（6b）兩邊同時乘以( AC )π，得到：
參考圖10，我們可以發現，（AS）=（SQ）（我們在圖10中可以找到六個三角形，并且可以證明它們彼此都是相似三角形，也都是等腰直角三角形，故此三角形ASQ的兩個直角邊長度相等），從圖上我們還可以一眼看出 （AC）=（SM），所以（6c）就變成了：
這個式子里包含通過截面MN的球體、圓錐和圓柱的截面面積
下一步，阿基米德做了一個令后人意想不到的事情。他說，讓我們假設這三個物體是用同樣的材料做成的，具有同樣的密度（或比重）ρ，再假設這三個截面具有同樣的厚度Δ。在（6d）兩側同時乘以ρΔ，
這時，阿基米德沿著軸線AC作延長線AH，使AH=AC，于是把（6e）改寫成：
因為是通過截面MN的球體、圓錐和圓柱的截面面積，把它們都乘以Δ以后就變成了厚度為Δ的三個圓盤（或非常短的圓柱體）的體積。體積乘以比重是重量（更精確地說，我們今天叫作質量）。（AH）和（AS）是距離。現在，讓我們回想一下物理中的杠桿原理，式（6f）的含義是什么？
阿基米德的思路從幾何跳到代數，然后又跳到物理。在他看來，（6f）對應著一個物理問題：如果把一個半徑為AC、厚度為Δ的圓盤掛在C點，那它必定跟同時掛在H點的兩個厚度為Δ的圓盤達到平衡。這兩個圓盤的半徑分別是SO和SQ。我們不妨想象一下，HC是一根杠桿，支點在A。半徑為SM的圓盤懸掛在S點；在H點用一根長線，拴住半徑分別是SO和SQ的圓盤的中心，一上一下，杠桿就達到平衡了。至于這兩個圓盤哪個在上哪個在下，并不重要。這個問題對于阿基米德來說，太熟悉了。他曾經講過一句非常有名的話：“給我一個支點，我就能撬動地球！”
由于點S是在線段AC上的任意一點，所以式（6f）對線段AC上的每一點都成立。阿基米德進一步論證說，現在我們把線段AC切割成若干相等的小段，每一段的長度是Δ。既然（6f）對每個小段（長度以S來表示）都適用，我們把所有的小段從S=0（A點）到S=d（C點）都加起來應該也適用。這個過程，我們叫作求和。對于等式（6f）中的三個圓盤來講，求和的結果是得到圓球、圓錐和圓柱的近似體積。我們可以想象把線段AC分割成越來越多的小段來求和，直到Δ小到使求和的近似體積完全等于三個立體的真正體積。由于圓柱的對稱性，求和的結果相當于把整個圓柱懸掛在線段AC的中點。于是我們得到之間的體積關系：
有了這個關系，圓球的體積就可以求出來了。不僅如此，知道了球的體積，球面的面積也可以得到。請讀者自己想一想，為什么？怎么求得？
以上是阿基米德為了驗證自己的結果而采取的思路。數學上更為完整的證明方法還是幾何學，我們就不詳細介紹了。他的切割、求和的思路包含了微分和積分思想的萌芽，這到將近兩千年以后才被牛頓、萊布尼茨等人發現并發揚光大。
阿基米德的思路，至少有兩點是前無古人，并且對后人的科學研究產生了深遠影響的。第一，他把數學（在他的時代主要是幾何學）和物理學融合起來，看到數學背后的物理學問題和物理學背后的數學問題。這種融會貫通的思維方式使他的思路極為開闊，解決問題的思路也就多起來了。第二，他是人類歷史上第一位采用“思維實驗”的方式來解決數學和物理問題的。所謂思維實驗，就是在腦子里利用已知的物理定律來構筑一種實驗。這種實驗在現實中可能由于實驗條件的限制而無法達到，但是在原理上完全符合物理規律，就像上面他的杠桿平衡實驗。后面這一點，后來被伽利略發揮到極致。
數海拾貝
在幾何學中，切線指的是一條剛剛而且僅僅觸碰到曲線上某一點的直線。更準確的說，當切線經過曲線上的某點（即切點）時，切線的斜率與曲線上該點的斜率相同。萊布尼茨（Gottfried Leibniz，1646-1716）定義一條曲線的切線是經過曲線上兩個無限接近的點的直線。這兩個無限接近的點就是切點。類似地，經過曲面上一群無限接近的點的平面是曲面的切面。
阿基米德給朋友留下遺囑，希望死后在墓碑前豎立一個自己設計的紀念碑，那是一個圓柱，里面放著一個圓球。這是他最為驕傲的發現：球體的體積是其外切圓柱（球的直徑與圓柱底面的直徑相等，圓柱的高等于球的直徑）體積的三分之二。
阿基米德是一個名副其實的怪人，離群索居，常常在深思中忘記吃飯，忘記洗澡，忘記往身上涂油（古希臘祭祀活動的要求）。人們不得不強迫他吃飯，抬著他去洗澡或者涂油，而這時阿基米德卻不停地拿著水或油在自己身上涂畫幾何圖形，繼續思索。他是一個特立獨行的人，一輩子只用敘拉古的希臘土話多利克語寫作，然后以書信的方式寄給朋友和同好。他和埃拉托色尼是最為要好的朋友，他的大多數文稿都是寄給這位亞歷山大里亞圖書館負責人的。亞歷山大里亞和雅典在當時是影響最大的城市，人們都以講雅典話或者亞歷山大里亞話為榮。阿基米德的文字就好像今天的中國人用河南或山東地方方言寫文章。可是他的文章追隨者極多，因為其內容豐富，才華橫溢。
如果說亞歷山大里亞圖書館是合作研究的開端，那么阿基米德則是獨立思考的典范。他一個人在敘拉古冥思苦想，把力學問題引入幾何學，采用思維實驗的方式，從物理學的角度考慮幾何問題的解決方法，因而被尊為“現代科學之父”。他可能非常高傲自大。據說他給亞歷山大里亞的數學家們寫過一封信，列舉了幾十條數學定理，沒有任何證明的細節。他在信上說，這里面有兩條定理是錯的，看你們能不能找出來！
在大多數幾何學家仍然迷戀于二倍立方的時候，阿基米德已經轉去研究更為復雜的三次方程了。他考慮過這樣一個問題：把圓球切成兩部分，使它們之間的體積之比等于一個事先給定的數值（圖11）。
用現代的數學語言來說，就是給定兩個半球的體積比m：n，求這兩個體積的高h和h′（注意h與h′之和等于圓球的直徑）。經過一系列幾何學的論證，阿基米德得到相當于如下的幾何關系：
?
這里r是圓球的半徑，h+h′=2r。顯然，對于一個給定的半徑r來說，這是一個關于h的三次方程。
怎樣對這個方程求解呢？阿基米德首先把這個方程看成是下述方程的特例：
?
這里b是一個具有長度單位的常數，是一個具有面積單位的常數。不難看出，如果，方程（7b）就回到了（7a）。但是（7b）仍然非常復雜。怎么辦呢？阿基米德想出了一個非常聰明的辦法。他看出方程（7b）里面有一個變數h和三個常數b、c、r。他說，好吧，讓我找另外一個變數x，使它滿足x = 2r-h。再為了使方程簡單，讓我用另一個常數a來替換r，使它滿足a = 3r。這么一來，方程（7b）就變成了：
這比前面的兩個方程看上去簡單多了，不過它比二倍立方的方程（1）還是要復雜得多。這個方法我們今天常用。對于一些結構較為復雜、未知數（變量）較多的數學問題，我們經常引入一些新的變量去代換原來的變量，使得方程的結構變得簡單，從而達到解決問題的目的。這種方法叫作變量代換法。
阿基米德發現，可以用兩個圓錐曲線的交點來求得這個一元三次方程的解。為什么呢？
還是利用代數表述比較容易理解。如果a≠x（阿基米德感興趣的是分割球體，h<r，x>r，這個條件是滿足的），我們可以把（7c）寫成：
如果把這個等式的兩邊分別看待，它們各自代表了一條曲線。等式左邊是拋物線，右邊是雙曲線。當這兩條曲線的y值相等的時候，我們就回到了（7a）。所以，（7a）的意思就是在xy平面上雙曲線和拋物線的交點。
阿基米德通過幾何作圖得到的是拋物線和雙曲線（a-x）y=ab。他已經知道，如果兩條曲線相切，他可以得到一個正數解；或者相交，就有兩個正數解；不相切也不相交，就無解。他花了大量時間對這個方程求解。那個時代還沒有所謂“變量”和未知數的概念，也沒有如同等式（7a）到（7d）這類的表達方式。跟其他的希臘學者一樣，阿基米德是用尺規作圖的辦法，完全靠著一條條直線和曲線的復雜關系一步一步艱難地進行工作的。
然而，他平靜的研究生活終將伴隨敘拉古城命運的改變而改變。
羅馬人圍困敘拉古整整兩年。敘拉古城池堅固，糧儲充足，看起來雙方要無限期地僵持下去了，這對在外作戰的羅馬人很不利。這期間，馬克盧斯征服了西西里的大部分地區，把北非來的迦太基人殺得節節敗退。敘拉古保衛戰期間，一個名叫達密普斯（Damippus，生卒年不詳）的希臘人在海上被羅馬人捉去，此人是被敘拉古城派出去尋求援助的。為了把他贖回來，敘拉古多次同羅馬談判，而馬克盧斯也得以借此機會進出敘拉古城。經過仔細觀察，他終于發現有一座塔樓附近的城墻容易翻越，而那里的守軍散漫松懈。老謀深算的馬克盧斯甚至估算好了城墻的高度。
阿爾忒彌斯節到了，這是6月的神圣日，敘拉古全城都在為月亮、狩獵和處女之神慶賀，流水般喝酒、瘋狂舉行體育比賽和狂歡，就像雅典全盛時期一樣。靠著夜幕的掩護，馬克盧斯不費吹灰之力就占領了塔樓。從這里，士兵們悄悄地爬上城墻，打開城門。等到敘拉古人發現情況不妙時，羅馬軍的號角已經在全城吹響。敘拉古人大驚失色，以為大勢已去，四散逃命。其實，當時敘拉古城的各個主要關口還掌握在敘拉古人自己手里。
黎明時分，馬克盧斯從城門進入敘拉古。他站在城中的制高點，俯視這座美麗而寬闊的城市，百感交集，忍不住流下淚來。他知道，幾個小時以后，這座城市將要變成一片廢墟。這場戰役實在贏得不易，羅馬將士們對攻城時受到的挫折和羞辱耿耿于懷，個個咬牙切齒，只有將這座可惡的城市燒個一干二凈，才能解心頭之恨。馬克盧斯沒有忘記阿基米德，他命令士兵去請阿基米德，要把他帶到羅馬去。
阿基米德正在自己所畫的幾何圖形前深深思索。面對羅馬士兵滴血的短劍，阿基米德拒絕同行。或許他正在考慮他的一元三次方程吧，又或許那只是一個借口，他不愿意到羅馬去效忠那個在他眼中十分野蠻的民族。不管真正的原因是什么，羅馬士兵被他的“傲慢”深深激怒，便舉起短劍，插入他的胸膛。
據說，倒在血泊中前，這位遠遠超過時代的奇人只說了一句話：
“不要碰我的圓。”
?
阿基米德死在羅馬士兵手里，這個事件對世界的變化具有頭等的象征意義：熱愛抽象科學的古希臘人被現實且實際的羅馬人趕下歐洲領袖的位置。古羅馬人是偉大的民族，但他們因遭到詛咒而不育（作者案：指在科學上沒有成就）。他們沒有增進父輩的知識，他們的成就僅限于工程上的微小技術細節。他們不是夢想家，沒能為更加根本地控制自然力量提供一個新視角。沒有一個羅馬人由于深深陷入對數學圖像的思索而丟掉性命。
A.N. 懷海德（A. N. Whitehead，公元1861—公元1947）：《數學引論》（An Introductionto Mathematics）
?
本文節選自廣西師大出版社《數學現場：另類世界史》，作者：王雁斌
算法數學之美微信公眾號歡迎賜稿
稿件涉及數學、物理、算法、計算機、編程等相關領域
稿件一經采用，我們將奉上稿酬。
投稿郵箱：math_alg@163.com
總結
- 上一篇： 数学江湖中的“独孤九剑”
- 下一篇： 陈景润：激励青年勇攀科学高峰的典范