劍橋大學的數學物理學家Cohl Furey正在尋找粒子物理標準模型和八元數之間的聯系。八元數的乘法規則被編碼在被稱為法諾面的三角圖中。（攝影：Susannah Ireland）

對于一維、二維乃至四維的數字，人們都不陌生：一維的實數一直都存在于經典物理中，復數提供了量子物理的數學基礎，四元數則是愛因斯坦狹義相對論的基礎。然而，最為復雜的數字形態——八元數，又與現實世界存在著怎樣的關系呢？

包括本文的主人公，劍橋大學數學物理學家Cohl Furey在內的一些科學家相信，八元數蘊藏著整個宇宙的秘密——我們可以從中推導出構成現實世界的整套相互作用和粒子。這篇文章，就將帶我們走進這類奇異而復雜的數字。

2014年，加拿大滑鐵盧大學的研究生Cohl Furey駕車6小時來到了賓夕法尼亞州立大學，希望能和物理學教授Murat Günaydin討論一個問題。Furey弄明白了如何在Günaydin?40年前研究的基礎上建立新理論。這是一項已經被多數人遺忘的研究，它支持一個有關基礎物理與純數學之間聯系的猜想。而現在，Furey將它重新帶回人們的視線中。

這個猜想雖然存在于很多物理學家和數學家心中，但是很少有人做這一領域的研究。它認為，構成了現實世界的整套相互作用和粒子，都可以從一種名為八元數的八維數字中推出來。

Günaydin現在是賓夕法尼亞州立大學教授，在1973年他還是耶魯大學的研究生的時候，他和他的導師 Feza Gürsey 發現了八元數和強相互作用之間的令人吃驚的聯系。強相互作用是將原子核中的夸克結合在一起的力量。其他研究者最初對這一發現很感興趣，但興趣并沒有持續多久。那時所有人都在為粒子物理中的標準模型而困擾，它能夠通過方程描述已知的基本粒子和它們之間的強、弱和電磁相互作用（引力之外的所有基本作用力）。但是大家沒有去尋找標準模型問題的數學解釋，更多的物理學家將希望寄托在高能粒子對撞機等實驗上，希望會找到預料之外的粒子，從而能夠超越標準模型，更深層次地理解現實。他們“想象下一次進展會自動出現，而不是通過更深入地思考我們已知的信息而獲得。”加拿大圓周理論物理研究所的 Latham Boyle說。

幾十年過去了，物理學家還沒有找到超出標準模型的粒子。與此同時，八元數的奇異之美也一直吸引著少數幾個有獨立想法的研究者，其中就包括Furey，這個在4年前拜訪過Günaydin的加拿大研究生。那時Furey在黑板上潦草地寫下一串奇異的符號，試圖向 Günaydin 解釋她將他的工作從強相互作用拓展到了電磁相互作用。

現如今Furey已經39歲了，她還沒能將標準模型中的粒子和相互作用都用八元數來表達出來，也還沒能觸及到引力這個話題。她強調數學上的可能有很多種，很多專家都認為，找到能成功合并八元數和其他可除代數的方法還太早。

最復雜的數

要說明什么是八元數，要從我們熟悉的實數開始——就是那些可以在數軸上找到的數，例如1、π、-83.777。實數可以通過特定的方式湊成一對，組成復數。關于復數的研究開始于16世紀的意大利，復數和二維坐標平面類似，加法、減法、乘法和除法就像是位置在平面上平移和旋轉。將復數以一定的方式配對，可以形成四維的四元數，它是在1843年由愛爾蘭數學家哈密頓發現的。哈密頓的律師朋友John Graves隨之證明了成對組合的四元數也組成八元數：這種數可以定義八維抽象空間的坐標。

證明了八元數的John Graves（來源：MacTutor History of Mathematics）

之后就不可能構建更復雜的數了。1898年完成的證明說明，實數、復數、四元數和八元數是僅有的幾種可被加減乘除的數字形式。這些“可除代數”中的前三個是20世紀物理學的數學基礎，實數一直都存在于經典物理中，復數提供了量子物理的數學基礎，四元數則是愛因斯坦狹義相對論的基礎。這樣的聯系讓很多研究人員去思考如何理解最后一個可除代數。八元數中可能蘊含著宇宙的秘密嗎？

當你從實數到復數，再到四元數、八元數把維度逐步翻倍時，Furey解釋道，“每一次翻倍，你都會失去一些性質。”比如，實數可以從小到大排列，“而復數分布的平面上，根本沒有這樣的概念。”接著，四元數沒有交換律；對于四元數來說，a ×?b不等于b ×?a。這其實也很常見，因為將更高維度的數相乘會包含旋轉，當你在高于兩維的空間交換旋轉的次序時，你最終得到的位置是不同的。到了八元數，結合律也將失效，也就是說(a ×?b) ×?c不等于a ×?(b ×?c)。“數學家們不喜歡不滿足結合律的東西，”加利福尼亞大學河濱分校的八元數專家John Baez說，“因為我們很容易想象不滿足交換律的情形，比如先穿襪子再穿鞋和先穿鞋再穿襪子，但是我們很難想象不滿足結合律的情形。”比如，除了先穿襪子之后穿鞋，你還可以先將你的襪子放進你的鞋中，再同時穿上襪子和鞋，技術上說，這兩種不同的穿法可以讓得到相同的結果：穿著襪子和鞋。“括號是一種人為引入的東西。”

八元數不滿足結合律的性質阻礙了很多物理學家在這方面的努力，但是Baez解釋說，八元數奇怪的數學性質同時也是最吸引他們的地方。自然用它的四種力操縱著幾十種粒子和反粒子，它本身也很奇怪。標準模型是“奇怪且獨特的”，他說。

點擊查看大圖（制圖：Lucy Reading-Ikkanda）

在標準模型中，基本粒子體現了三個對稱群。所謂的群，指的就是可以讓運動方程保持不變的交換粒子子集的方式。這三個群，SU(3), SU(2) 和U(1)分別對應著強、弱和電磁相互作用，它們作用于6種夸克，兩種輕子加上它們的反粒子，每種輕子又分別有三代，每代的粒子除了質量不一樣以外其他性質都相同。（第四種基本力——引力與這三種不相容，在愛因斯坦的廣義相對論中，引力是時空幾何的彎曲。）

粒子集合體現的是標準模型中的對稱性，就像是正方形為了滿足90度的旋轉對稱性必須存在四個頂角一樣。問題在于，為什么是SU(3) × SU(2) × U(1)這個對稱群？還有，為什么就是這樣的一套粒子，具有各種力荷、奇妙的手征和冗余的三代粒子？對待這類問題的傳統態度是將標準模型看成是更為完整理論結構的一部分。但另外一種辦法，是試圖通過八元數來“從邏輯上解決這些奇怪的性質，”Baez說。

當Furey在研究生時期了解到四元數可以描述粒子在四維時空中的平移和旋轉時，她就開始嚴肅地探究這種可能性。她考慮了粒子的內稟性質，比如它們的電荷。“我發現擁有8個自由度的八元數可以和粒子中的一代相對應：一個中微子，一個電子，三個上夸克和三個下夸克。”?她說，這有點像之前令人鄙視的數字占卜。但是這樣巧合也在之后的研究中激增。“如果研究項目是一個謀殺謎案，”她說，“我會認為我們仍在收集線索階段。”

在劍橋大學三一學院前的Cohl Furey。（攝影：Susannah Ireland）

Dixon代數

為了構造出粒子物理，Furey使用的是四種可除代數的直積R?C?H?O（R是實數,C是復數,H是四元數，O是八元數），有時候也被稱為Dixon代數，因物理學家Geoffrey Dixon得名。在20世紀七八十年代是他最先開始探索這個領域，但是之后他沒能得到教職，離開了這個領域。（Dixon從他的回憶錄中截取了一段發給我：“我當時有的是一種不受控制的直覺，我覺得這些代數是理解粒子物理的關鍵，如果跟著這個直覺走跌下懸崖我也愿意，有人也許會說我確實這么干了。”）

Dixon和其他人繼續將可除代數和其他數學工具結合時，而Furey限制了自己的活動范圍；在她的體系中，代數“只作用于自己”。根據R?C?H?O結合，4個數的體系可以形成一個64維的抽象空間。在這個空間中，根據Furey的模型，粒子是數學上的“理想”（ideal，集合論的一個術語），也就是這樣的一種子集，其中的元素，和整個集合中的其他元素相乘后得到的元素還在這個子集中，這使得粒子運動、旋轉、相互作用和轉化后仍是粒子。她認為理想是粒子的本質，它們能夠滿足R?C?H?O的對稱性。

Dixon也知道，這個代數結構會分成兩個部分：C?H和C?O，即復數與四元數、復數與八元數的直積（和實數的直積是平凡的）。在Furey的模型中，與粒子在時空中移動和旋轉相聯系的對稱性，也就是洛倫茲群，會出現在代數結構中的四元數C?H部分。對稱群SU(3) × SU(2) × U(1)，描述粒子的內稟性質以及強、弱和電磁力相互作用，會從八元數部分C?O出現。

Günaydin和Gürsey在他們的早期工作中，已經發現SU(3)是八元數的一部分。考慮八元數的一組單元，1、?e₁、?e₂、?e₃、?e₄、?e₅、?e₆和?e₇，是八個相互正交的方向上的單位距離：它們表示一種名為G2的群對稱性，也就是一種“exceptional群”，它在數學上不能被歸到任意一個現在已知的對稱群中。八元數和exceptional群以及其他特殊數學對象的關系，足夠讓我們相信它具有重要意義，比如，菲爾茲獎和阿貝爾獎獲得者，著名數學家?Michael Atiyah就相信最后的關于自然的理論一定是有關八元數的。他在2010年說到：“我們想找到的終極理論，需要把引力納入到其他理論中，其方式應該是把引力看作八元數和exceptional群的結果。”他補充道：“這會是很難的工作，因為我們已經知道八元數就是很難的理論，但是當你找到了它之后，它應該是一個美麗的理論，而且獨特。”

將e₇固定，改變其他單元會將它對稱性降為SU(3)群。Günaydin和Gürsey利用這一性質建立了第一代夸克上的強相互作用的八元數模型。

Furey走得更遠。在今年5月于《歐洲物理期刊C》（The?European Physical Journal C）發表的文章中，她整合了幾項研究，為單獨一代粒子構造出了完整的標準模型對稱群，SU(3) ×?SU(2) ×?U(1)，通過數學可以得出電子、中微子、三個上夸克、三個下夸克和它們的反粒子的正確電荷數和其他的屬性。數學計算也解釋了為什么電荷是量子化的，因為數在本質上就是這樣的。

然而，按照這種解釋粒子的方式，研究者還不知道怎樣才能自然地把模型擴展到包括自然界的全部三代粒子。但是在一篇正在專家之間流通，由《物理快報B》（Physical Letters B）評審的新論文中，Furey用C?O來構造標準模型中的兩個非破缺的對稱性，SU(3)和U(1)。（在自然界中，SU(2) ×?U(1)通過希格斯機制破缺為U(1)，這一機制可以使粒子獲得質量。）在這樣的情況下，作用于所有三代粒子的對稱性也允許惰性中微子存在，這種粒子是物理學家現在積極搜尋的暗物質的候選者。“三代粒子的模型只有SU(3) ×?U(1)，所以它是更為基本的，”?Furey告訴我，“問題在于，有沒有很明顯的辦法來從一代模型的圖像過渡到三代模型？我認為存在這樣的方法。”

這是她現在所思考的主要問題。一些其他的數學物理學家也同樣在嘗試用一種包含八元數的結構——exceptional Jordan代數來構造三代粒子的模型。經過多年來獨自的工作，Furey現在開始和用不同方法的研究者合作，但是她更喜歡仍然在這四個可除代數R?C?H?O范圍內考慮問題。它已經足夠復雜，可以來通過多種方式提供靈活性。Furey的目標是找到這樣的模型，它看上去是理所應當的，而且可以解釋質量、希格斯機制、引力和時空。

現在，數學上已經有了關于時空的概念。她發現R?C?H?O元素的所有乘法鏈都可以由10個被稱為“生成元”的矩陣生成。其中的9個生成元代表空間部分，第10個生成元，其符號和前9個相反，代表時間。弦論中也預言了十維時空，八元數中也有類似的結論。Furey的工作是否能和弦論聯系在一起還有待去發現。

最后的理論

Furey拒絕回答我提的那些更偏哲學的、有關物理和數學之間關系的問題，比如，它們在根本層次上是否是一體的、相同的？她對為什么可除代數的性質是解決問題的關鍵這一謎題更感興趣。她同時也有一種預感，反映了研究者常有的對無限的反感，她猜測R?C?H?O實際上是一種近似，在最終理論中它會被取代，而取代它應該是一個不涉及無限連續實數的相關數學系統。

這些都只是直覺上的想法。但是隨著標準模型完美地通過了檢驗，大型強子對撞機上也一直沒有新粒子出現的跡象。既物理學界彌漫著一種既不安又興奮的氣氛，鼓動研究者重新回到黑板和白板上。現在有一種一切都待完成的感覺，“也許我們還沒有完成將現有發現整合起來的工作，”圓周研究所的Boyle說。他認為能夠將這項工作完成的可能性“比很多人預期的都要高，”他還說這“應該受到比現在更多的關注，所以我很開心會有一些像Cohl的人正在努力推進這項研究。”

Boyle自己沒有研究標準模型和八元數之間的關系。但是和很多人一樣，他承認聽說過關于這個領域的一些誘人傳言。“我也同樣懷有希望，”他說，“即使懷疑的人，也認為八元數最后可能在基礎物理中扮演重要角色，因為這個理論實在是很漂亮。”

∑編輯?|?Gemini

作者 |?Natalie Wolchover

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總結

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