外星人的算术
外星人的算術
多年以前，華羅庚先生曾寫過一段意味深長的話，他說：
“如果我們的宇宙航船到了一個星球上，那兒也有如我們人類一樣的高級生物存在，那么我們用什么東西作為我們之間的媒介，帶幅畫去吧，那邊風景殊，不了解；帶一段錄音去吧，也可能溝通，我看最好帶兩個圖形去一個“數”一個“數形關系"。”
青少年們喜歡閱讀科學幻想小說，這對發展他們的想象力大有好處，當然也得防止一些盜墓故事的泛濫，那可是十足的歪門邪道，其實我國著名作家老舍先生也曾寫過科幻小說名叫《貓城記》，有趣的是在那個奇怪的星球上，數目也達十幾億之多的”人“同我們大不一樣，他們不是從猿到人，而是從“貓”進化到“人”的！
外星人像人嗎？對于這個重大問題，不論在科幻小說、電影、電視里頭從來就有兩派意見，即“人形”（humanoid）與非人形（non-humanoid）之爭，人為萬物之靈，為了更好的獲取外界信息，視覺，聽覺，嗅覺器官必須安置在身體的最高點，為了有立體感，必須平行的朝前方；……；說到底，人形的結構理應是任何高等智慧生物的標準結構，上述觀點，你們認為言之有理嗎？
“非人形”派的擁護者則認為，這種推論是“人類中心主義”的典型例子，實在不值一笑，生命的形式是變化多端的，生物進化過程中充滿著無數偶然因素，在別的星球上，”人“可能由“蟲”進化而來，甚至生著千手千眼，總之在浩瀚的銀河系里，這是一片完全未知的領域，它帶來了無窮的可能性。
但科幻小說家們幾乎都有一種共識，有著高度智慧的外星人——天龍八部（金庸先生精通佛學，所以取此作為他的一部名著的書名。實際上，天龍八部在“六道”中屬于“阿修羅道”，其智慧神通與壽命都大大超過人類）必然精通數學。他們的算術與代數不見得同我們一樣，也許并不采用十進制，但他們所使用的進位制中，照樣能夠發展出一套近乎完美的計算方法，同樣能夠反映宇宙中客觀存在的普遍自然規律。
眾所周知，在世界各國，現在幾乎已經是十進制的一統天下，就連最保守的英國人也不得不適應世界的潮流，改革了他們長達幾百年的貨幣制度。從前，在丘吉爾做首相的時代，規定一英鎊=20先令，一先令=12便士，所以一英鎊=240便士，如今卻變成1英鎊=100便士了。
但也不能認為，十進位已經排斥了其他的一切進位制度，由他一家打天下了，君不見:一年分四季，一晝夜有二十四小時，一星期有七天，十二生肖每十二年周而復始，一小時有六十分鐘，一分有六十秒，以及“紅透半邊天”，在電腦里頭唱主角的二進位數0與1，它們都不是十進位。看來，即使再過幾百年，在地球上，十進位制，也未必能夠把別的所有進位制通通“吃”掉。
在我們的中、小學里，除角度時間等少數自然常識課里略微提到的例外：幾乎不講其他進位制，這種做法有著很大缺點，造成學生缺乏想象力，目光短淺，淡化了對客觀世界多樣性與自然規律的認識與理解，在這方面做些改進，既是需要的，也是可以做到的。
為了做出有趣對比，讓我們把一個意義深長的分數七分之一，在其他進位制里所表現出來的不同面貌列舉如下:
十進位：0.142857…，（1,7循環，循環節7位）
九進位：0.125125…（仍是循環小數，但循環節只有三位了），
八進位：0.111…（循環節只剩一位了），
七進位：0.1，（不是循環小數，竟變成有限小數了），
六進位：0.0505…，（循環節只有兩位了，0，5循環），
到此地步，6及其因子，3，2，1，都可作為循環節的節數，各種情形均已出現。
現在干脆來個“一不做二不休”，索性放開手，繼續做下去：
五進位：0.032412（循環節也有六位置多，同十進位的情形極為類似，5是一只手的手指數，而10是雙手的手指數，對此你或許會若有所悟）。
四進位：0.021021…，（循環節三位，0，1循環）
三進位：0.010212…，（循環節六位，0,2循環）
二進位:0.001001…，（循環節三位，0,1循環）
由于許多算數課本、雜志、輔導書:“一課一練”……一遍又一遍地不斷重復，許多人都知道在十進制中，1/7有一個非常奇妙的“車輪轉”性質，或者換一種說法，1/7是個“走馬燈數”，試看來源于1/7,又從它“搖身一變”，從“侏儒”變作“巨人”的六位數142857似乎更神奇，更玄乎:
142857×2=285714
142857×3=428571
142857×4=571428
142857×5=714285
142857×6=857142
不難看出，乘積還是這6個數字，甚至各數相互之間的順序也未改變，好像正月十五元宵節時，走馬燈里的人物在團團打轉！
那么，在其他進位制中，這樣的怪異性質是否也存在呢呢？對比是要有共同基礎的，上面已經說過，在五進位中，1/7的循環節也有六位，現在就以五進位為例來認真考慮一下。
為了看清楚轉圈子的循環規律，首位的0不可以丟，需要加以保留，銀行帳號，電話號碼，郵政編碼早已如此，讀者們恐怕也習慣了:
032412×2=120324
032412×3=203241
032412×4=241203
032412×5=324120
032412×6=412032
“走馬燈”不是照舊團團轉嗎？
還有一項奇妙性質也不能忽視，那就是142857×7=999999
結果接連出現6個9,我們知道，在十進位里，9是“老大哥”，不過，在別的進位里，“老大哥”這把太師椅是要由別的數字來“坐”了，譬如說:在九進位中，8是“老大哥”，而四進位里，連原來的小三子居然也變成了“老大哥”。
讓我們用“倒計時”的辦法在各種進位制里做一做相應的“乘法”，于是得到:
九進位:125125×7=888888,
八進位:111111×7=777777,
七進位中，1/7不是循環小數，所以從略，
六進位:050505×7=555555,
五進位:032412×7=444444,
四進位:021021×7=333333,
三進位:010212×7=222222,
二進位:001001×7=111111,
大家都在“輪流坐莊”，足見自然界并不是特別偏愛十進位，自然規律如此美妙，普適性無處不在，讓我們大開眼界了。
最后略為交代幾句，因為我們平時太習慣于做十位數的加、減、乘、除，對其他進位制中的運算（除了二進位，因為電腦現已十分普及）非常生疏，所以一些人會對1/7的不同面孔有點看不太懂，這是情有可原的。
*文章摘自《數學不了情》，談祥伯著，科學出版社。
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