1 例子

假設：原始數據為8位，糾錯碼為6位，原始信息由原始數據+糾錯碼。
在傳輸過程中，由于信息干擾等原因，導致原始信息被污染，被污染后有兩位數據被修改。

說明編碼

原始信息	001010011011100
被污染后的信息	001100011011100

2 構建碼字多項式

根據接收到被污染后的信息轉化為碼字多項式：
$$R(x)=x^{12}+x^{11}+x^7+x^6+x^4+x^3+x^2\text{\hspace{1em}(1)}$$

3 計算特征值

將$\alpha$代入公式（1）得到：
$$S_1=R(\alpha )={\alpha }^{12}+{\alpha }^{11}+{\alpha }^7+{\alpha }^6+{\alpha }^4+{\alpha }^3+{\alpha }^2={\alpha }^{214}$$
將${\alpha }^3$代入公式（1）得到：
$$S_3=R({\alpha }^3)={\alpha }^{36}+{\alpha }^{33}+{\alpha }^{21}+{\alpha }^{18}+{\alpha }^{12}+{\alpha }^9+{\alpha }^6={\alpha }^{117}$$
將${\alpha }^5$代入公式（1）得到：
$$S_5=R({\alpha }^5)={\alpha }^{60}+{\alpha }^{55}+{\alpha }^{35}+{\alpha }^{30}+{\alpha }^{20}+{\alpha }^{15}+{\alpha }^{10}={\alpha }^{25}$$
計算$S_2,S_4,S_6$：
$$S_2=S_1^2={\alpha }^{173},S_4=S_2^2={\alpha }^{91},S_6=S_3^2={\alpha }^{182}$$

4 根據特征值進行糾錯

因為不知道有多少位有錯，也不知道錯在什么位置，根據糾錯碼的糾錯能力進行窮舉。由于糾錯碼為6位，則糾錯能力為$m\le ?6/2?$，即$m\le 3$，然后從大到小進行窮舉，即$m\in [1,3]$。
先取$m=3$，構建矩陣運算：
$$?\begin{array}{ccc}{S}_3& S_2& S_1\\ S_4& S_3& S_2\\ S_5& S_4& S_3\end{array}??\begin{array}{c}{\sigma }_1\\ {\sigma }_2\\ {\sigma }_3\end{array}?=?\begin{array}{c}{S}_4\\ S_5\\ S_6\end{array}?$$
代入$S_1,S_2,\dots ,S_6$，并計算行列式：
$$\left|\begin{array}{ccc}{\alpha }^{117}& {\alpha }^{173}& {\alpha }^{214}\\ {\alpha }^{91}& {\alpha }^{117}& {\alpha }^{173}\\ {\alpha }^{25}& {\alpha }^{91}& {\alpha }^{117}\end{array}\right|=0$$
說明不超過3位，然后取$m=2$，構建矩陣運算：
$$\left[\begin{array}{cc}{S}_3& S_2\\ S_4& S_3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\sigma }_1\\ {\sigma }_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{S}_4\\ S_5\end{array}\right]$$
代入$S_1,S_2,\dots ,S_6$，并計算行列式：
$$\left|\begin{array}{cc}{\alpha }^{117}& {\alpha }^{173}\\ {\alpha }^{91}& {\alpha }^{117}\end{array}\right|={\alpha }^{45}$$
滿秩，方程組有解答，經過計算得到：
$${\sigma }_1={\alpha }^{35}，{\sigma }_2={\alpha }^{21}$$
代入錯誤多項式得：
$${\alpha }^{21}{x}^2+{\alpha }^{35}x+1=0$$
用Chien搜索可得$x_1=x^{?10},x_2=x^{?11}$，所以錯誤位置應該是第10位和第11位。

5 存在問題

這個例子還有幾個核心問題沒有解決：
（1）為什么要計算特征值？（是否會用到范德蒙矩陣或者柯西矩陣的知識？）
（2）有了特征值又如何進行糾錯？

總結

以上是生活随笔為你收集整理的通过一个例子来理解二维码纠错机制的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。