1973年，匈牙利數(shù)學(xué)家 László Fejes Tóth在《Exploring a planet》一文中提出了區(qū)域猜想（Zone Conjecture）[1]。該猜想描述了如果一個(gè)單位球面被幾個(gè)區(qū)域完全覆蓋，它們的寬度(ω)總和至少為π。44年過(guò)去了，以色列理工學(xué)院（Technion）的數(shù)學(xué)家 Zilin Jiang 和莫斯科物理技術(shù)學(xué)院（MIPT）的 Alexandr Polyanskii 終于證明了Fejes Tóth的猜想，其結(jié)果發(fā)表于GAFA數(shù)學(xué)雜志 [2]。他們的證明對(duì)于離散幾何非常重要。

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○?László Fejes Tóth 猜想。半徑為1的單位球體被等寬的區(qū)域覆蓋。所有區(qū)域的寬度總和的最小值是π。每個(gè)區(qū)域用不同顏色標(biāo)記。| 圖片來(lái)源：MIPT

離散幾何學(xué)（Discrete Geometry）研究的是點(diǎn)、線、圓、多邊形和其他幾何對(duì)象的的組合性質(zhì)。例如它會(huì)思考如下問(wèn)題：在一個(gè)球的周?chē)?#xff0c;最多有多少個(gè)相同尺寸的球能被擺放在它周?chē)?#xff1f;或者，在一個(gè)平面上，如何以最密集的方式排列相同大小的圓？又或者在一個(gè)收納空間中，如何放置最多數(shù)量的球？這類(lèi)問(wèn)題都需通過(guò)離散幾何來(lái)解答。

事實(shí)上，此類(lèi)問(wèn)題的解決方案具有很大的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。比如密集填充問(wèn)題有助于優(yōu)化代碼并糾正數(shù)據(jù)傳輸中的錯(cuò)誤。又如著名的四色定理，它描述的是用四種顏色就足以繪制球面上的這樣一個(gè)地圖，使得圖中任何相鄰的兩個(gè)區(qū)域都具有不同的顏色。它促使數(shù)學(xué)家引進(jìn)了圖論（Graph Theory）的重要概念，這對(duì)于許多近期在化學(xué)、生物和計(jì)算機(jī)科學(xué)以及邏輯系統(tǒng)上的發(fā)展都至關(guān)重要。

○?四色定理的一個(gè)例子。| 圖片來(lái)源：ACM.ORG

László Fejes?Tóth 的區(qū)域猜想與離散幾何中的一些其他問(wèn)題也密切相關(guān)，這些問(wèn)題已在20世紀(jì)就被解決，涉及到用條帶覆蓋表面。其中第一個(gè)就是所謂的木板問(wèn)題（Plank Problem），涉及到用平行線組成的條帶覆蓋住圓盤(pán)。Alfred Tarski 和 Henryk Moese 用一個(gè)簡(jiǎn)潔的方式證明了用來(lái)覆蓋圓面的條帶（或木板）的寬度的和至少等于圓的直徑。也就是說(shuō)，沒(méi)有比用一個(gè)寬度與圓的直徑相等的木板更好的方法用來(lái)覆蓋圓盤(pán)。接著，Th?ger Bang 解決了用長(zhǎng)條覆蓋任意凸體的問(wèn)題。也就是說(shuō)，他證明了覆蓋凸體的條帶的總寬度至少是凸體本身的寬度，即單個(gè)用于覆蓋凸體的條帶的最小寬度。

○?Tarski證明了，一個(gè)半徑為1的單位圓不能被寬度和小于2（即圓的直徑）的條帶完全覆蓋。圖中每個(gè)條帶都有自己的長(zhǎng)度和顏色。| 圖片來(lái)源：MIPT

Zilin Jiang 和Alexandr Polyanskii 處理的問(wèn)題有些不同，它涉及到的是關(guān)于用具有特殊構(gòu)造的區(qū)域來(lái)覆蓋一個(gè)單位球體。具體而言，每個(gè)區(qū)域都是球體與一個(gè)特定的三維板條的交叉，其中板條是包含在相對(duì)于球體的中心對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)平行平面之間的空間區(qū)域。或者可以不用木板，而在測(cè)地線的度量空間里定義區(qū)域：一個(gè)在單位球表面的寬度為ω的區(qū)域，是距離大圓（球面上半徑等于球體半徑的圓弧）不超過(guò)±ω/2的點(diǎn)的集合，測(cè)量點(diǎn)與點(diǎn)間距離的是連接它們的最短弧。數(shù)學(xué)家必須找到能覆蓋單位球體上這些區(qū)域的最小寬度的和。因此，問(wèn)題不同于之前解決的寬度測(cè)量的問(wèn)題：它被定義為弧的長(zhǎng)度，而不是平行線或面之間的歐幾里德距離。

○?在球體上一個(gè)寬度為ω的區(qū)域（黃）。| 圖片來(lái)源：MIPT

Jiang 和 Polyanskii 所作出的證明是受到了 Bang 的啟發(fā)，Bang 通過(guò)形成一組有限點(diǎn)集解決了用條帶覆蓋凸體表面的問(wèn)題，其中一個(gè)假設(shè)沒(méi)有被任何條帶覆蓋。從某種意義上來(lái)說(shuō)，無(wú)論是 Bang 還是 Jiang 和 Polyanskii 都是通過(guò)矛盾來(lái)證明的。在 FejesTóth 猜想的情況下，數(shù)學(xué)家假設(shè)完全覆蓋球體的區(qū)域的合并寬度小于π，并試圖達(dá)到矛盾點(diǎn)——即找到一個(gè)位于球體上的點(diǎn)，但又不在任何這些區(qū)域里。

○?完全覆蓋球體的區(qū)域。五個(gè)區(qū)域中的每個(gè)區(qū)域都有其自己的寬度和顏色。| 圖片來(lái)源：MIPT

Jiang 和 Polyanskii 成功展示了在三維空間中形成一組特別的點(diǎn)集，使得至少一個(gè)點(diǎn)不在木板覆蓋的構(gòu)成區(qū)域內(nèi)是可能的。如果這整個(gè)集合都位于球體內(nèi)部，那么在球體上描繪另一個(gè)沒(méi)有被木板覆蓋、也就是沒(méi)被區(qū)域覆蓋的點(diǎn)是相對(duì)容易的事。如果集合中的任何點(diǎn)碰巧位于球體之外，則可以用一個(gè)較大的區(qū)域代替幾個(gè)較小的區(qū)域，其寬度和與較大區(qū)域的寬度相等。因此，我們可以做到在不影響寬度和的前提下，減少初始問(wèn)題中的區(qū)域數(shù)量。最終，球體上的某個(gè)點(diǎn)會(huì)被確定為不在這些區(qū)域內(nèi)。這與區(qū)域的總寬度小于π的假設(shè)背道而馳，因此證明了 FejesTóth 的猜想。

這個(gè)問(wèn)題在n維空間中得到了解決，但 Jiang 和 Polyanskii 表示，這與三維空間的情況并沒(méi)有什么不同。

Polyanskii 說(shuō)：“FejesTóth 的問(wèn)題已經(jīng)吸引了離散幾何學(xué)領(lǐng)域的數(shù)學(xué)家們40多年的注意力。最終，這個(gè)問(wèn)題得到了一個(gè)優(yōu)美簡(jiǎn)潔的解決方案，是我們的幸運(yùn)。Fejes Tóth 的問(wèn)題促使我們?nèi)ニ伎剂硪粋€(gè)關(guān)于球體覆蓋的更基本的猜想，在這個(gè)猜想中，覆蓋球面的條帶無(wú)需中央對(duì)稱(chēng)。”

譯：佐佑

來(lái)源：原理

編輯：Gemini

原文鏈接：https://mipt.ru/english/news/mathematicians_crack_44_year_old_problem

參考文獻(xiàn)：

[1] L. Fejes Tóth. Research Problems: Exploring a Planet. Amer. Math. Monthly, 80(9):1043– 1044, 1973.

[2] https://link.springer.com/article/10.1007/s00039-017-0427-6

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的44年前的一个数学猜想终被破解的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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