1973年，匈牙利數學家 László Fejes Tóth在《Exploring a planet》一文中提出了區域猜想（Zone Conjecture）[1]。該猜想描述了如果一個單位球面被幾個區域完全覆蓋，它們的寬度(ω)總和至少為π。44年過去了，以色列理工學院（Technion）的數學家 Zilin Jiang 和莫斯科物理技術學院（MIPT）的 Alexandr Polyanskii 終于證明了Fejes Tóth的猜想，其結果發表于GAFA數學雜志 [2]。他們的證明對于離散幾何非常重要。

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○?László Fejes Tóth 猜想。半徑為1的單位球體被等寬的區域覆蓋。所有區域的寬度總和的最小值是π。每個區域用不同顏色標記。| 圖片來源：MIPT

離散幾何學（Discrete Geometry）研究的是點、線、圓、多邊形和其他幾何對象的的組合性質。例如它會思考如下問題：在一個球的周圍，最多有多少個相同尺寸的球能被擺放在它周圍？或者，在一個平面上，如何以最密集的方式排列相同大小的圓？又或者在一個收納空間中，如何放置最多數量的球？這類問題都需通過離散幾何來解答。

事實上，此類問題的解決方案具有很大的實際應用價值。比如密集填充問題有助于優化代碼并糾正數據傳輸中的錯誤。又如著名的四色定理，它描述的是用四種顏色就足以繪制球面上的這樣一個地圖，使得圖中任何相鄰的兩個區域都具有不同的顏色。它促使數學家引進了圖論（Graph Theory）的重要概念，這對于許多近期在化學、生物和計算機科學以及邏輯系統上的發展都至關重要。

○?四色定理的一個例子。| 圖片來源：ACM.ORG

László Fejes?Tóth 的區域猜想與離散幾何中的一些其他問題也密切相關，這些問題已在20世紀就被解決，涉及到用條帶覆蓋表面。其中第一個就是所謂的木板問題（Plank Problem），涉及到用平行線組成的條帶覆蓋住圓盤。Alfred Tarski 和 Henryk Moese 用一個簡潔的方式證明了用來覆蓋圓面的條帶（或木板）的寬度的和至少等于圓的直徑。也就是說，沒有比用一個寬度與圓的直徑相等的木板更好的方法用來覆蓋圓盤。接著，Th?ger Bang 解決了用長條覆蓋任意凸體的問題。也就是說，他證明了覆蓋凸體的條帶的總寬度至少是凸體本身的寬度，即單個用于覆蓋凸體的條帶的最小寬度。

○?Tarski證明了，一個半徑為1的單位圓不能被寬度和小于2（即圓的直徑）的條帶完全覆蓋。圖中每個條帶都有自己的長度和顏色。| 圖片來源：MIPT

Zilin Jiang 和Alexandr Polyanskii 處理的問題有些不同，它涉及到的是關于用具有特殊構造的區域來覆蓋一個單位球體。具體而言，每個區域都是球體與一個特定的三維板條的交叉，其中板條是包含在相對于球體的中心對稱的兩個平行平面之間的空間區域。或者可以不用木板，而在測地線的度量空間里定義區域：一個在單位球表面的寬度為ω的區域，是距離大圓（球面上半徑等于球體半徑的圓弧）不超過±ω/2的點的集合，測量點與點間距離的是連接它們的最短弧。數學家必須找到能覆蓋單位球體上這些區域的最小寬度的和。因此，問題不同于之前解決的寬度測量的問題：它被定義為弧的長度，而不是平行線或面之間的歐幾里德距離。

○?在球體上一個寬度為ω的區域（黃）。| 圖片來源：MIPT

Jiang 和 Polyanskii 所作出的證明是受到了 Bang 的啟發，Bang 通過形成一組有限點集解決了用條帶覆蓋凸體表面的問題，其中一個假設沒有被任何條帶覆蓋。從某種意義上來說，無論是 Bang 還是 Jiang 和 Polyanskii 都是通過矛盾來證明的。在 FejesTóth 猜想的情況下，數學家假設完全覆蓋球體的區域的合并寬度小于π，并試圖達到矛盾點——即找到一個位于球體上的點，但又不在任何這些區域里。

○?完全覆蓋球體的區域。五個區域中的每個區域都有其自己的寬度和顏色。| 圖片來源：MIPT

Jiang 和 Polyanskii 成功展示了在三維空間中形成一組特別的點集，使得至少一個點不在木板覆蓋的構成區域內是可能的。如果這整個集合都位于球體內部，那么在球體上描繪另一個沒有被木板覆蓋、也就是沒被區域覆蓋的點是相對容易的事。如果集合中的任何點碰巧位于球體之外，則可以用一個較大的區域代替幾個較小的區域，其寬度和與較大區域的寬度相等。因此，我們可以做到在不影響寬度和的前提下，減少初始問題中的區域數量。最終，球體上的某個點會被確定為不在這些區域內。這與區域的總寬度小于π的假設背道而馳，因此證明了 FejesTóth 的猜想。

這個問題在n維空間中得到了解決，但 Jiang 和 Polyanskii 表示，這與三維空間的情況并沒有什么不同。

Polyanskii 說：“FejesTóth 的問題已經吸引了離散幾何學領域的數學家們40多年的注意力。最終，這個問題得到了一個優美簡潔的解決方案，是我們的幸運。Fejes Tóth 的問題促使我們去思考另一個關于球體覆蓋的更基本的猜想，在這個猜想中，覆蓋球面的條帶無需中央對稱。”

譯：佐佑

來源：原理

編輯：Gemini

原文鏈接：https://mipt.ru/english/news/mathematicians_crack_44_year_old_problem

參考文獻：

[1] L. Fejes Tóth. Research Problems: Exploring a Planet. Amer. Math. Monthly, 80(9):1043– 1044, 1973.

[2] https://link.springer.com/article/10.1007/s00039-017-0427-6

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總結

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