“

從前，有一位叫做馬克思 普朗克(Max Planck)的很帥的物理學家。有一天，他正在思考黑體輻射問題。他看了一下旁邊的鐘正一秒一秒的過去。于是他突發奇想，會不會能量也是像鐘的秒針這樣，是一份一份的走的呢。于是他建立了量子理論，普朗克的鐘(單身可撩)的故事也由此傳開...

”

最近普朗克的鐘看到了一本很神奇的書，叫做《200道物理學難題》。

里面的題是一道比一道皮，其中的第五題特別有意思：

這道題初一看很簡單，但是想要證明出來并不容易，正常的思路無非就是寫出vt=x 來求解，但是跟題目的問題很難聯系上。

答案提示了兩種方法，分別是時空圖和變換參考系的方法，都極其精妙。

首先是時空圖。簡而言之就是在這個平面的基礎上增加一個t坐標如圖：

因為相碰要求的是時間和空間上的相等，所以就抽象成了一個三維的碰撞，我們就可以用幾何知識來解決這個問題。邏輯大概是這樣：我們假設只有3 和4沒有相撞過，那由1 2 3相撞可以得出1 2 3共面，同理可得2 3 4共面，于是可得1 2 3 4均共面，所以由3 4不平行，所以3 4 必定相交，即相碰。

第二種方法更為巧妙。我們任意選取一個人為參考點，比如1。 那么由題意，1的軌跡變成了一個點，而其他的點變成了不同的直線。這時我們考慮2和3，他們都與1相撞過，所以他們必定在1相交。而2和3在除了1之外的點還相交過，所以他們只能是兩條重疊的線了。同理我們可以得到所有線均重合。但是3 和4相交還缺少一個條件，那就是他們的速度在1參考系下不能相等，而我們知道他們的原速度=1參考系速度+在1參考系下的速度。所以如果他們在1參考系下速度相等的話他們的原速度也一定相等，而這與題設是矛盾的（這兒的速度均為矢量）。所以3和4也一定會碰撞。

這兩種方法可以說都是蒂花之秀，但是說實話，沒有做過這道題，或者沒有這種方法概念的人是很難想出這種方法的，所以小鐘就想了一下還有沒有其他方法可以做這道題。

我們簡單的想一下，這道題可能需要哪些基礎知識，很簡單，就只有vt=x這樣一個運動學公式，那有沒有方法可以只用這個公式推出結論呢？我們先畫出圖像來找下思路：

這是一個很有特點的圖，由6個節點組成，有8個邊，其中四組邊都位于同一條直線上。而他們之間的距離我可以用xi來表示。而他們之間的關系很簡單，就是vt=x，剛好是一個很好看的線性方程組，所以我們很自然的想到用線性代數來做這道題。

線代的圖論里有這么一個玩意兒，它可以把圖的節點和邊聯系起來，比如x1這條邊，它是從1 流向2的，所以我們標記這條邊為 [-1 1 0 0 0 0], 后面的0表示這些條邊與這些點沒有關系，那么我們就可以把整個圖形寫成一個矩陣，即：

這個矩陣叫做圖的關聯矩陣（Incidence matrix）。它有很多用處，比如我們來乘以一個矩陣T，Ti是每個點的時間，即

那么T*A就可以得到:

這個t就是時間差。也就是說通過這個matrix A，我們來左乘他就把每個節點之間的函數（即時刻）變成了每個邊上的函數（即時長）

同理我們可以把x寫出來，即

我們再來找V，這個更電流里面的電阻很像（其實整個這個系統都是相似的），我們用一個叫做數值矩陣（其實就是對角矩陣）的東西來寫他，簡單的說就是一個n by n矩陣，只有在對角線上才有值，其余都是0。這樣寫出來就相當于是我們可以控制每t中的每一行我們乘的都是不同的v，而又不會改變這個矩陣的大小。即

(這兒要注意的是要根據v和t的對應關系來寫順序，由于是勻速運動，所以同一條直線上v相等)

這個時候我們全部需要做得就是求等式. 這里我們把原先的未知函數X堪稱一個矢量，我們再來看看那個圖，這個圖的特點在于他是由四條直線決定的，而者四條直線是由四個點確定的，所以說矩陣x的秩(rank)是4（之所以強調x是矢量就是為了規避r<n的法則）。（其實到這兒熟悉的同學已經可以結束了，因為這是一個列滿秩矩陣，他要么有0個解，要么有1個解，而顯然他是有解的，因為題中說了他滿足了）。

Rank是線代中特別重要的一個概念，簡單來說就是這個矩陣，只有4個方程在起作用，其他的都可以由推導出來。好，那我們再回到這個方程本身，我們現在相當于知道了6個方程，而我們只需要知道4個就可以得出整個方程，所以最后兩個等式也是成立的。（當然這兒也可以由v的特征值來得出，不過講道理的話這些概念都是聯系在一起的，相當于用1級和2級結論來推而已）

整個這個思路體現的其實是線代在圖論中的應用（核心當然就是那個A），很多好玩兒的結論都可以推出來，比如Markov Chain，再比如六度分割理論，就是說世界上任何兩個人可以通過不超過六個人聯系起來（怕是整個公眾號的讀者更小鐘的聯系超不過3，所以再次跪求大家幫忙推廣一下，爭取到4）

那么這道題這樣做有什么好處呢，首先我覺得就是這個方法本身是很容易想到的，其次的話由于我們沒有限制x是幾維的，所以我們可以把這個拓展到3維甚至更高。而如果題真的是3維的話，恐怕用第一種方法是做不出來的，至少在我10塊錢10本的廉價草稿紙上是畫不出第4根垂直的坐標的（聽說有個叫愛因斯坦的家伙可以，不過那個草稿紙多半很貴所以買不起）

上面的方法呢其實只用到了一點線代的皮毛，但是作用還是很大的，順便給大家推薦一個公眾號叫 馬桶靴高等數學。很多重要的概念，包括幾乎整個線代在里面都是用圖來講解的，寫的非常好。

線性代數應該是大多數人（也是小鐘本人）一輩子第一個抽象的數學內容（學完線代再回去看什么微積分簡直是形象的不得了）。無奈受制于這個科目本身的性質和國內大多數教材編排的方式呢，初學的時候很容易一頭扎進計算里起不來。我當時也是以為線代最大的作用就是讓我做電阻的題不用思考，記得最清楚的一次就是列完方程之后發現計算器解不了那么高階的東西，如果當時知道rank的知識的話進行化解應該是很輕松的。

線代最重要的在我看來還是思維上的改變。把問題的信息抽象出來，把矩陣中的每一個值根據自己的需求使用而不僅僅是一個數字，建立抽象的內容。最大的區別就在于“抽象”這兩個字。對于一個問題，小學的時候我們可能把問題畫個圖，甚至還買點積木來自己拼，這些都是形象化。而線代就是給你個工具讓你把東西抽象出來，比如上面這個我有圖，但是來的不如我抽象成矩陣輕松。這種思維上的轉變才是線代學習的核心內容。

至于線代的重要性的話，用Professor Lay的話來說就是cannot be over-estimated，中文叫做“罄(qing)竹難書”。所以......不知道怎么結尾了，就祝大家新年快樂吧！

∑編輯?|?Gemini

來源 | 普朗克的鐘

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總結

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