?

網絡流之最大流算法（EdmondsKarp）

標簽：?網絡流算法EdmondsKarp流量最大流 2014-03-11 18:05?34795人閱讀?評論(12)?收藏?舉報 ?分類： 圖論~~網絡流（26）?

版權聲明：本文為博主原創文章，未經博主允許不得轉載。

求網絡流有很多算法，這幾天學習了兩種，記錄一下EK算法。

首先是網絡流中的一些定義：

V表示整個圖中的所有結點的集合.
E表示整個圖中所有邊的集合.
G = (V,E) ,表示整個圖.
s表示網絡的源點,t表示網絡的匯點.
對于每條邊(u,v),有一個容量c(u,v) ? (c(u,v)>=0)，如果c(u,v)=0，則表示(u,v)不存在在網絡中。相反，如果原網絡中不存在邊(u,v)，則令c(u,v)=0.
對于每條邊(u,v),有一個流量f(u,v).

一個簡單的例子.網絡可以被想象成一些輸水的管道.括號內右邊的數字表示管道的容量c,左邊的數字表示這條管道的當前流量f.

網絡流的三個性質：

1、容量限制: ?f[u,v]<=c[u,v]
2、反對稱性：f[u,v] = - f[v,u]
3、流量平衡: ?對于不是源點也不是匯點的任意結點,流入該結點的流量和等于流出該結點的流量和。
只要滿足這三個性質,就是一個合法的網絡流.

最大流問題，就是求在滿足網絡流性質的情況下，源點 s 到匯點 t 的最大流量。

求一個網絡流的最大流有很多算法 這里首先介紹 增廣路算法（EK）

學習算法之前首先看了解這個算法中涉及到的幾個圖中的定義：

**殘量網絡

為了更方便算法的實現，一般根據原網絡定義一個殘量網絡。其中r(u,v)為殘量網絡的容量。
r(u,v) = c(u,v) – f(u,v)
通俗地講：就是對于某一條邊（也稱弧），還能再有多少流量經過。
Gf?殘量網絡,Ef?表示殘量網絡的邊集.

這是上面圖的一個殘量網絡。殘量網絡（如果網絡中一條邊的容量為0,則認為這條邊不在殘量網絡中。

r(s,v1)=0,所以就不畫出來了。另外舉個例子：r(v1,s) = c(v1,s) – f(v1,s) = 0 – (-f(s,v1)) = f(s,v1) = 4.

其中像(v1,s)這樣的邊稱為后向弧,它表示從v1到s還可以增加4單位的流量。

但是從v1到s不是和原網絡中的弧的方向相反嗎？顯然“從v1到s還可以增加4單位流量”這條信息毫無意義。那么，有必要建立這些后向弧嗎？

顯然，第1個圖中的畫出來的不是一個最大流。

但是，如果我們把s -> v2 -> v1 -> t這條路徑經過的弧的流量都增加2,就得到了該網絡的最大流。

注意到這條路徑經過了一條后向弧:(v2,v1)。

如果不設立后向弧，算法就不能發現這條路徑。

**從本質上說，后向弧為算法糾正自己所犯的錯誤提供了可能性，它允許算法取消先前的錯誤的行為（讓2單位的流從v1流到v2)

注意,后向弧只是概念上的,在程序中后向弧與前向弧并無區別.

**增廣路

增廣路定義：在殘量網絡中的一條從s通往t的路徑，其中任意一條弧(u,v)，都有r[u,v]>0。

如圖綠色的即為一條增廣路。

看了這么多概念相信大家對增廣路算法已經有大概的思路了吧。

**增廣路算法

增廣路算法：每次用BFS找一條最短的增廣路徑，然后沿著這條路徑修改流量值（實際修改的是殘量網絡的邊權）。當沒有增廣路時，算法停止，此時的流就是最大流。

**增廣路算法的效率

設n = |V|, ?m = |E|

每次增廣都是一次BFS,效率為O(m),而在最壞的情況下需要（n-2增廣。（即除源點和匯點外其他點都沒有連通，所有點都只和s與t連通）

所以,總共的時間復雜度為O(m*n)，所以在稀疏圖中效率還是比較高的。

hdoj 1532是一道可以作為模板題目練手。

模板代碼：

[cpp]?view plaincopy print?

#include?<cstdio>??

#include?<cstring>??

#include?<iostream>??

#include?<string>??

#include?<algorithm>??

#include?<map>??

#include?<vector>??

using?namespace?std;??

const?int?N?=?1100;??

const?int?INF?=?0x3f3f3f3f;??

??

struct?Node??

{??

????int?to;//終點??

????int?cap;?//容量??

????int?rev;??//反向邊??

};??

??

vector<Node>?v[N];??

bool?used[N];??

??

void?add_Node(int?from,int?to,int?cap)??//重邊情況不影響??

{??

????v[from].push_back((Node){to,cap,v[to].size()});??

????v[to].push_back((Node){from,0,v[from].size()-1});??

}??

??

int?dfs(int?s,int?t,int?f)??

{??

????if(s==t)??

????????return?f;??

????used[s]=true;??

????for(int?i=0;i<v[s].size();i++)??

????{??

????????Node?&tmp?=?v[s][i];??//注意??

????????if(used[tmp.to]==false?&&?tmp.cap>0)??

????????{??

????????????int?d=dfs(tmp.to,t,min(f,tmp.cap));??

????????????if(d>0)??

????????????{??

????????????????tmp.cap-=d;??

????????????????v[tmp.to][tmp.rev].cap+=d;??

????????????????return?d;??

????????????}??

????????}??

????}??

????return?0;??

}??

??

int?max_flow(int?s,int?t)??

{??

????int?flow=0;??

????for(;;){??

????????memset(used,false,sizeof(used));??

????????int?f=dfs(s,t,INF);??

????????if(f==0)??

????????????return?flow;??

????????flow+=f;??

????}??

}??

int?main()??

{??

????int?n,m;??

????while(~scanf("%d%d",&n,&m))??

????{??

????????memset(v,0,sizeof(v));??

????????for(int?i=0;i<n;i++)??

????????{??

????????????int?x,y,z;??

????????????scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);??

????????????add_Node(x,y,z);??

????????}??

????????printf("%d\n",max_flow(1,m));??

????}??

}??

總結

以上是生活随笔為你收集整理的网络流之最大流算法（EdmondsKarp）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。