Chapter2 極化碼的編碼

　　極化碼的編碼問題主要包括兩個方面。

　　首先是生成矩陣的構造：

生成矩陣G_N：

　　先來看信道合并示意圖，下圖截自Arikan論文（以后不再解釋，Arikan論文 特指論文《Channel polarization: A method for constructing capacity-achieving codes for symmetric binary-input memoryless channels》）：

　　請讀者留意這是fig.3，也即圖三。根據這張圖所表現的形式，我們可以歸納出G_N的表達式：

疑問：這個表達式如何得到？它與上圖有什么對應關系？

　　我們來看等式右端第一部分：

　　觀察R_N前面的表達式，符號“”是一種矩陣運算，稱為“克羅內克積”，詳細內容讀者可自行查閱維基百科詞條：克羅內克積-維基百科；“F”定義為矩陣，F的定義又有何意義呢？我們用一個二維向量來測試一下：，可見用輸入向量左乘F矩陣，就能夠實現圖中第一步線性變換。當N>2時，由于F只有二維，為了完成運算，我們通過克羅內克積的辦法在保持F矩陣屬性的同時擴展它的維度，使得它滿足我們的運算要求。所以R_N前面的運算可以與上圖中的線性變換對應起來。

　　R_N對應圖中的自身，這個不需要再說。

　　觀察R_N的右端，I₂為二維的單位矩陣，G_N/2則體現了遞推、迭代的思想。用I₂與G_N進行克羅內克積，就是為了實現生成矩陣的遞推和迭代。這部分對應了圖中最右端的操作。因此我們可以看到，Arikan給出的生成矩陣的定義式確實與上圖是完全對應的。

　　接下來，Arikan又po出了另一張圖：

　　這是fig.8，它與fig.3的不同之處在于，fig.3中先進行線性變換再進行置換操作，而fig.8中先進行置換操作再進行線性變換。根絕Arikan的說法，這兩個圖是全等的。fig.8對應的公式為：，也就是說這兩個公式是等價的：

　　那么這一步是如何得到的呢？如何證明這兩個圖是全等的呢？這里有一份我以前證明時留下的手稿，具體的過程我沒有精力再排版打出來，看客如果對這個證明有興趣，不妨作為參考。不過這些細節就算不了解，也不妨礙我們對極化碼理論的學習。就像數學教科書的上的許多定理公式，更多時候重點在于如何去理解和應用。

　　讓我們回到Arikan的論文中，繼續看他是如何一步一步得到G_N的構造方法的。

　　上面這個公式第一行我們已經證明過了，從第一行到第二行的理論支持來自于克羅內克積的混合乘積性質：

　　圖片來自克羅內克積-維基百科

　　我們繼續往下看：

　　這個就很好理解了，直接迭代代入G_N/2然后利用混合乘積性質的逆定理就可以得到了。重復上述操作，不斷進行迭代，最后我們可以得到這樣一個式子：

　　其中B_N用來代替迭代所產生的式子：。B_N可以寫成遞推公式：

　　得到上面的公式之后，我們很容易就可以計算出B_N并求出G_N

　　再來看信息位的選取：

信息位選?。?/strong>

　　通過上一節的介紹，我們了解到了信道的極化現象，并且認識到正是信道極化現象催生了極化碼。現在，我們就要利用這個現象來構造極化碼。根據我們所設想的，通過在誤差率較低的信道（無噪信道）上傳輸有用信息，在誤差較高的信道（純噪信道）上傳輸信息量為0的信息，我們可以實現在有噪信道下進行無噪傳輸。

　　因此，如何挑選要傳輸信息的信道成為了至關重要的事情。在表征信道質量的參數向量P中，我們稱傳輸有用信息的位為信息位，傳輸無用信息的位為凍結位。問題變成了如何求出這個參數向量P。只要我們求得這個P，然后對它進行從小到大的排序，再根據碼率確定要用到多少信息位，然后從排好序的P中挑選出性能最好的那部分，就可以實現我們的需求。

　　Arikan的論文中這樣說道：“對于一個給定的B-DMC信道W，本論文對信道的兩個參數感興趣：一個是信道的對稱容量I(W)：

　　I(W)代表了等概率輸入下，通過信道W進行可靠信息傳輸的最大速率。第二個稱為巴氏參數Z(W)：

　　巴氏參數代表了在一次通過W傳輸0或1時，最大似然判決錯誤概率的上限。顯然，Z(W)反映了信道的可靠度 。

　　顯然，我們可以分別將這兩個參數作為參數向量P，對于I(W)，我們選擇較大的I(W)作為信息位；對于Z(W)，我們選擇較小的Z(W)作為信息位。

　　早期Arikan提出，當W為BEC（二進制刪除信道）時，有，計算二者中的任何一個都可以。Arikan論文中有Z(W)的遞推計算公式：

　　其中第二個式子的不等號在W為BEC取等，因此我們可以精確的計算巴氏參數，而且計算復雜度也較低，為O(NlogN)。

　　后來，Arikan給出了當W不為BEC信道時的計算方法，他提出使用“Monte-Carlo算法”（蒙特卡羅法）來近似計算巴氏參數，然而，這個計算的復雜度因輸出符號集的指數型爆炸增長而變得不可能。

　　還有一種方法也用來進行巴氏參數的估計——Density Evolution（密度進化），但是這個方法缺點在于計算復雜度還是較高（為O(n)），同時精確度也不好。

　　目前我們項目組所使用的信息位選擇采用的是tal-vardy所提出的算法。這種算法是Tal和Vardy于2013年發表在IEEE上的一篇21頁的論文中提出的，論文名為《how to construct polar code》，感興趣的讀者可以去了解一下。如果對英文閱讀感覺到不舒服，讀者也可以參考《極化碼編碼與譯碼算法研究》[王繼偉]在2.2.3節中對這種算法的較為詳細的中文介紹。

　　這種算法主要通過信道弱化和信道強化操作，將的輸出符號集進行合并，使其能夠具有符合我們需要長度的輸出符號集大小。另外，對于我們經常用到的AWGN信道，通過高斯近似（GA）方法可以在非常低的復雜度下在較高的精確度上選擇信息位。這里列出兩篇發表在IEEE上的參考論文，有興趣的讀者可以自行去了解，這里不再展開說了。

　　【1】《Evaluation and Optimization of Gaussian Approximation for Polar Codes》.Jincheng Dai等.(2016.5)

　　【2】《Construction and Block Error Rate Analysis of Polar Codes Over AWGN Channel Based on Gaussian Approximation》.Daolong Wu等.(2014.7)

　　除此之外，還有一種辦法可以提高極化碼的構造效率。那就是使用“design-SNR”。

　　不管我們采用什么構造辦法，信息位的選取總是與SNR的取值密切相關。我們在仿真極化碼性能的時候，往往會以SNR為仿真圖的橫坐標，以BER、FER為縱坐標，觀察曲線走向，通過對比曲線判斷優劣。但是每一次帶入新的SNR值，都要重新構造一個新的參數向量P，然后重新挑選信息位，這種傳統的構造方法我們稱為“point-by-point（逐點SNR）”。這種重復性的工作無疑增加了極化碼構造的時間復雜度。

　　通過研究，我們發現，對于一個特定的碼率，總存在一個完美的SNR，我們稱之為“design-SNR（設計SNR）”，我們只需要代入這個SNR進行一次參數向量P的構造，然后將挑選好的信息位儲存起來。以后在這個碼率下，不論在哪個SNR值下進行仿真，我們只代入預存的這個信息位進行極化碼的構造。由于信息位只構造了一次，時間復雜度得到了顯著降低。

　　根據仿真結果顯示，在碼長和碼塊較大的情況下，design-SNR與point-by-point法契合的非常好，如下圖：