試題 歷屆試題 小數(shù)第n位

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Daily English

你做過的事，就永遠(yuǎn)不會(huì)忘，即便你會(huì)想不起來。
Once you do something,you never forget.Even if you can’t remember.

問題描述

我們知道，整數(shù)做除法時(shí)，有時(shí)得到有限小數(shù)，有時(shí)得到無限循環(huán)小數(shù)。
　　如果我們把有限小數(shù)的末尾加上無限多個(gè)0，它們就有了統(tǒng)一的形式。

本題的任務(wù)是：在上面的約定下，求整數(shù)除法小數(shù)點(diǎn)后的第n位開始的3位數(shù)。
輸入格式
　　一行三個(gè)整數(shù)：a b n，用空格分開。a是被除數(shù)，b是除數(shù)，n是所求的小數(shù)后位置（0<a,b,n<1000000000）
輸出格式
　　一行3位數(shù)字，表示：a除以b，小數(shù)后第n位開始的3位數(shù)字。

樣例輸入

1 8 1

樣例輸出

125

樣例輸入

1 8 3

樣例輸出

500

樣例輸入

282866 999000 6

樣例輸出

914

思路：

• way1：
  明確結(jié)果只取3位，從n開始取，包括第n位，還要取兩位，a,b,n可達(dá)1e9。
  假設(shè)沒有精度問題，我們算出來的結(jié)果，要取小數(shù)點(diǎn)后面的幾位，
  一般我們會(huì)先把小數(shù)擴(kuò)大（10^x）倍，將結(jié)果轉(zhuǎn)化為整數(shù)，然后取余。
  所以問題轉(zhuǎn)化一下：
  ans = a / b * 10^(n+2) % 1000;
  求解ans。
  由于b可能很大，所以a/b就會(huì)因精度問題而算不到正確結(jié)果。
  上面的式子可以看成：
  a/b mod m
  這就很容易想到：
  在模m意義下，a除以b 模m 等同于 a乘以 b的逆元（inv(b)） 模 m
  即： a/b mod m = a * inv(b) mod m
  所以：
  ans = a * inv(b) * 10^(n+2) % 1000;
  此時(shí)模m=1000，不是質(zhì)數(shù)，所以不能通過費(fèi)馬小定理來求解逆元；
  不能保證b與m互質(zhì)（gcd（b,m）= 1），所以也不能通過擴(kuò)展歐幾里得來求解逆元。

當(dāng)逆元無法來求解的時(shí)候，需要考慮一個(gè)一般公式(轉(zhuǎn)化成不需要求解逆元)：a / b % m = a % (b*m) / b
證明見：證明詳情

所以根據(jù)公式a / b % m = a % (b*m) / b 問題轉(zhuǎn)化：

ans = a * 10^(n+2) % (b*1000) / b

注意輸出，結(jié)果沒有3位要補(bǔ)0。

way2：
第二種方法就是模擬一下手算，如果出現(xiàn)無限循環(huán)的情況是怎么樣的。
比如：1 / 3：
小數(shù)第一位： 1 * 10 / 3
第二位：10%3 = 1，1 * 10 / 3。。。
發(fā)現(xiàn)只要被除數(shù)再次出現(xiàn)就會(huì)陷入循環(huán)（出現(xiàn)循環(huán)節(jié)）。
所以我們就可以只 算到一個(gè)循環(huán) 并記錄下來，
后面的根據(jù)記錄直接推出（詳見代碼）。

代碼：

way1 數(shù)論

#include <iostream> #include <cstdio> using namespace std; typedef long long LL; LL quickPow(LL a,LL b,LL mod) {LL res = 1;a %= mod;while(b){if(b&1) res = res * a % mod;a = a * a % mod;b >>= 1;}return res%mod; } int main() {int a,b,n;scanf("%d%d%d",&a,&b,&n);LL mod = b * 1000;LL t = quickPow(10,n+2,mod);int ans = a % mod * t % mod;printf("%03d\n",ans/b);return 0; }

way2模擬

/* s:記錄一個(gè)循環(huán)的開始處 e:記錄一個(gè)循環(huán)的截至處 mp1[i]：記錄被除數(shù)i是否出現(xiàn) mp2[i]：記錄第i個(gè)小數(shù)是多少 mp3[i]:記錄被除數(shù)為i時(shí) 所對(duì)應(yīng)的小數(shù) 在的位置 */ #include <iostream> #include <map> using namespace std; map<int,int>mp1; map<int,int>mp2; map<int,int>mp3; int s,e; void calc(int a,int b) {a %= b;//沒有循環(huán)，后面通過補(bǔ)0，可以統(tǒng)一當(dāng)作有循環(huán)處理while(1){a *= 10;if(!mp1[a]){mp1[a]++;mp2[++e] = a / b;mp3[a] = e;}else{//所以是再次出現(xiàn)被除數(shù)時(shí)才跳出循環(huán)s = mp3[a];break;}a %= b;} } int getAns(int n) {return n <= e ? mp2[n] : mp2[(n-s)%(e-s+1)+s]; } int main() {int a,b,n;cin>>a>>b>>n;s = e = 0;calc(a,b);for(int i = n; i < n+3; i++){cout<<getAns(i);}cout<<endl;return 0; }

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的#每日一题：小数第n位（数论/模拟）的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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