整理關于 \(\rm{ax+by=c}\)，遇到的一系列

在這里，\(x\) ，\(y\) 是變量，\(a,\;b,\;c\) 是常量

前置：

對于二元一次不定方程 \(ax+by=c\)，有整數解的充要條件是 \((a,b)|c\) ；

設 \(a=\frac a{gcd(a,b)}\), \(b=\frac b{gcd(a,b)}\)，\(c=\frac c{gcd(a,b)}\)，則此時 \(gcd(a,b)=1\)；

若 \(gcd(a,b)=1\)，且不定方程 \(ax+by=c\) 有整數解 \(x=x_0,\,y=y_0\) ，則它的一切整數解可表示成：

\[x=x_0+bt\\y=y_0-at\;(t\in \rm Z)

\]

exgcd可求得 \(ax+by=gcd(a,b)\)的特解，\(x_0,\,y_0\)

所以 \(ax+by=c\)的特解可表示成 :

\[x_0=x_0\cdot\frac{c}{gcd(a,b)}=x_0\cdot c\\

y_0=y_0\cdot\frac{c}{gcd(a,b)}=y_0\cdot c

\]

由 \(\rm 3\)可得 \(ax+by=c\) 的通解 \(x,\,y\)

設以下， \(ax+by=c\) 中，均是?\(gcd(a,b)=1\)。

1,求 \(\rm{ax+by=c}\), \(x\)的最小正整數解

設 \(x_1\) 為 \(x\) 的最小正整數解，則 \(x_1\) :

\[x_1=(x\%b+b)\%b\\

對應\;\;y_1=\frac{c-a*x_1}b

\]

2, 求 \(\rm{ax+by}\) 的最大不可解 \(\rm c\)，且滿足 \(\rm{x>0,y>0}\) : \(\rm{c=a\times b}\)

3, 求 \(\rm{ax+by}\) 的最大不可解 \(\rm c\) , 且滿足 \(\rm{x\geq0,y\geq0}\) : \(\rm{c=a\times b-a-b}\)

4,求 \(\rm{ax+by+cz=k}\) 的任意一組解，且滿足 \(\rm{x\geq0,y\geq0,z\geq0}\) :

?其中：\(1\leq a,b,c\leq10^5 ,0\leq k\leq 10^{12}\) ，保證數據有解

?\(ax+by=k-cz\) 有解的前提是 \(gcd(a,b)|(k-cz)\)，則需枚舉z使得滿足條件\(gcd(a,b)|(k-cz)\)下，可解的符合的 \(x,\,y\)。

?設 \(g=gcd(a,b)\) \(ec=k\%g\)，則所求的 \(z\) 需滿足\(zc-tg=ec\)，且 \(z\geq0\)。

?所以求出最小 \(z\)，再枚舉滿足通項公式的 \(z\)，直到有解。

#include

typedef long long ll;

using namespace std;

const int inf=0x3f3f3f3f;

const int maxn=2e5+5;

ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)

{

if(!b){

x=1;y=0;

return a;

}

ll g=exgcd(b,a%b,x,y);

ll t=x;

x=y;

y=t-a/b*y;

return g;

}

void solve(ll a,ll&b,ll c,ll&x,ll&y)

{

ll g=__gcd(a,b),x0,y0;

a/=g;b/=g;c/=g;

exgcd(a,b,x0,y0);

x0*=c;y0*=c;

x=x0+b;//y=y0-a;

x=(x%abs(b)+abs(b))%abs(b);y=(c-a*x)/b;

}

int main()

{

ll a,b,c,k,g,ec,x,y,z,t,tb,tk,ttb;

scanf("%lld%lld%lld%lld",&a,&b,&c,&k);

g=__gcd(a,b);

ec=k%g;

tb=-g;

solve(c,tb,ec,z,t);

tb=abs(tb);

do{

tk=k-z*c;ttb=b;

solve(a,ttb,tk,x,y);

if(x>=0&&y>=0)

{

printf("%lld %lld %lld\n",x,y,z);

break;

}

z+=tb;

}while(1);

}

總結

以上是生活随笔為你收集整理的ax在c语言中意思啊,【数论】整理关于ax+by=c的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。