學習階段：大學數學，積分變換。

前置知識：微積分、線性代數、復變函數。

我們是如何區分開兩個同時說話的人的聲音的？要知道，聲音本質是一種機械波，波具有疊加性，同時說話的兩個人的聲波疊加之后是一種混亂的波形，人卻能自然而然地把它們分離開，知道哪部分聲音是同一個人發出的，這其中有什么原理？

實際上，不同人說話的聲波有不同的特性。男人聲音低沉，也即聲波頻率較低；女人聲音尖亮，也即聲波的頻率較高。聲波的頻率不同，則音調不同，聽感也不同。同一個人說話聲音的頻率相近，把混合聲波中頻率相近的部分分離出來，就能得到每個人各自說話的波形。人的大腦自帶這個功能，但是這個原理在數學上具有相當的難度，很晚（19世紀）才被傅里葉等人提出來。

積分變換在信號處理、音頻處理、圖像處理、解微分方程等領域有著重要的作用。

對于一個值隨時間變化的函數

，傅里葉變換告訴我們如何從中分解出頻率不同的部分。傅里葉級數是局部的傅里葉變換，用離散頻率的周期函數來線性表示一定區間上的 ，它是考慮無窮區間的傅里葉變換的基礎。

1. 周期函數的線性組合

我們要把函數

分解為頻率不同的部分，也就是讓一些有不同頻率的周期函數加起來等于 . 根據波的疊加與線性代數的思想，我們希望可以把 分解為

其中

是周期函數，具有特定的頻率 . 現在我們需要先確定使用哪些周期函數 ，然后確定出系數 分別是多少。

這組函數

可視為基底，可以線性表示各種各樣的函數。我們當然希望基底越簡單越好，而且應具有正交性，這在第5節中有論述。

2. 最簡單的周期函數：勻速圓周運動

勻速圓周運動是最簡單的周期運動。根據歐拉公式，復平面上繞著單位圓的勻速圓周運動可記為

這里的

是實數，被稱為角速度/角頻率，控制著旋轉的頻率。 越大，旋轉越快。 為正數表示逆時針旋轉，為負數表示順時針旋轉。如圖1所示：

圖1 e^(iωt)

易得

的周期為 ，即轉一整圈所需的時間。

3. 函數

的性質

函數

有一些非常好的性質。

讓

乘以常系數 ，相當于改變圓周運動的起點到 點，但不改變圓周運動的中心（仍是原點）和頻率。根據復數乘法的性質，復數相乘時，模長相乘，輻角相加，容易得到這個結論。 的模長 決定了圓周運動的半徑/振幅， 的輻角 決定了圓周運動的起始角度/相位。如圖2所示：

圖2 改變圓周運動的起點至c

另外，由于圓周運動的中心恒為原點，故下式成立：

該積分值的物理意義是：n層圓周的重心（或運動位置的平均值）乘以運動時間

. 這個值顯然是0，證明其實也很容易：

當

時，相當于一直停留在起點不動，此時積分值不為0，而是 .

4. 傅里葉級數

4.1 復值函數的指數形式

改變函數

的 會得到一系列函數。選用哪些函數呢？為了讓這些函數有一定的共性以簡化問題，我們使用一批共同具有周期 的函數。記其中最慢的頻率為基準角頻率 ，則 ，所有函數的頻率都是 的整數倍，故這一系列函數可表示為 . 如圖3所示：

圖3 具有相同周期T的各種圓周運動

由第1節的思想，設函數

可表示成

計算

有非常巧妙的算法：在上式兩端同時乘以 得

在上式兩端同時做

到 的定積分。根據第3節 的性質(1)式有

故

稱數列

為 的離散頻譜，因為它完整記錄了一系列角頻率不同的，分別為 的圓周運動作為 分量的系數。最終得到的級數 在 上收斂于 ，稱之為 的傅里葉級數的指數形式。指數形式對于函數值為復數的 亦適用。

離散頻譜

的求法可以從幾何角度來理解。函數 可以視為在復平面上畫圖，在時刻 筆尖落在 點。函數 相當于讓 隨時間變化時還要加上一個“反向旋轉”，讓其中 這一旋轉分量始終停留在起點不動，而其他旋轉分量依然有著周期 ，只不過頻率改變了。積分 求的是周期 內的路徑的重心，由于其他旋轉分量的重心為零，而 留在起點不動，重心正好是 ，因此該積分求出的正好是 的值。

該求法和泰勒級數系數的求法有著異曲同工之妙。對多項式函數

求 次導，并代入 ，會發現有且僅有 這一項不是零，從而求出 的值；讓一系列勻速圓周運動的合成 進行“反向旋轉”，即乘以 ，會發現有且僅有 這一項的重心不是零，從而求出 的值。

4.2 實值函數的三角形式

如果

是實值函數，還可以把傅里葉級數寫為三角形式。由(2)式得

因為

為實值，故 也為實值， 與 互為共軛復數。將傅里葉級數兩兩配對得

將

記為 ，那么 ，代入上式可得

一對圓周運動之和在圖形上如圖4所示：

圖4 一對圓周運動之和

(3)式是傅里葉級數的三角形式之一。其中

記錄了所有的振幅，稱之為離散振幅譜； 記錄了所有的相位，稱之為離散相位譜。

用兩角和差公式可將(3)式打開，得到

注意到

，故

記

那么

(4)式是傅里葉級數的另一種三角形式。

至此，離散頻譜

的實部、虛部、模長、輻角的物理意義都已經找到了。

*5. 函數向量的標準正交基

上述作為基底的函數被稱為函數向量。用某種方式定義了它們的內積之后，可以證明我們所使用的函數基底為標準正交基，也就是最簡形式了。

自定義內積，涉及到內積空間，這是泛函分析課程所涉及的內容。（我沒有學過泛函分析，因此相關內容只是我自己粗淺的理解，可能有謬誤。）

5.1 指數形式的標準正交基

定義

與 的內積為：

利用第3節

的性質，容易證明 構成一組標準正交基。實際上4.1節計算 的巧妙方法，正是利用了基底的正交關系：用一個向量內積所有其他向量都得0.

5.2 三角形式的標準正交基

定義

與 的內積為：

先將三角函數化為指數函數，再利用第3節

的性質，容易證明 構成一組標準正交基。

附錄

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的傅里叶变换处理音频c++_积分变换（1）——傅里叶级数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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