學(xué)習(xí)階段：大學(xué)數(shù)學(xué)，積分變換。

前置知識(shí)：微積分、線性代數(shù)、復(fù)變函數(shù)。

我們是如何區(qū)分開(kāi)兩個(gè)同時(shí)說(shuō)話的人的聲音的？要知道，聲音本質(zhì)是一種機(jī)械波，波具有疊加性，同時(shí)說(shuō)話的兩個(gè)人的聲波疊加之后是一種混亂的波形，人卻能自然而然地把它們分離開(kāi)，知道哪部分聲音是同一個(gè)人發(fā)出的，這其中有什么原理？

實(shí)際上，不同人說(shuō)話的聲波有不同的特性。男人聲音低沉，也即聲波頻率較低；女人聲音尖亮，也即聲波的頻率較高。聲波的頻率不同，則音調(diào)不同，聽(tīng)感也不同。同一個(gè)人說(shuō)話聲音的頻率相近，把混合聲波中頻率相近的部分分離出來(lái)，就能得到每個(gè)人各自說(shuō)話的波形。人的大腦自帶這個(gè)功能，但是這個(gè)原理在數(shù)學(xué)上具有相當(dāng)?shù)碾y度，很晚（19世紀(jì)）才被傅里葉等人提出來(lái)。

積分變換在信號(hào)處理、音頻處理、圖像處理、解微分方程等領(lǐng)域有著重要的作用。

對(duì)于一個(gè)值隨時(shí)間變化的函數(shù)

，傅里葉變換告訴我們?nèi)绾螐闹蟹纸獬鲱l率不同的部分。傅里葉級(jí)數(shù)是局部的傅里葉變換，用離散頻率的周期函數(shù)來(lái)線性表示一定區(qū)間上的 ，它是考慮無(wú)窮區(qū)間的傅里葉變換的基礎(chǔ)。

1. 周期函數(shù)的線性組合

我們要把函數(shù)

分解為頻率不同的部分，也就是讓一些有不同頻率的周期函數(shù)加起來(lái)等于 . 根據(jù)波的疊加與線性代數(shù)的思想，我們希望可以把 分解為

其中

是周期函數(shù)，具有特定的頻率 . 現(xiàn)在我們需要先確定使用哪些周期函數(shù) ，然后確定出系數(shù) 分別是多少。

這組函數(shù)

可視為基底，可以線性表示各種各樣的函數(shù)。我們當(dāng)然希望基底越簡(jiǎn)單越好，而且應(yīng)具有正交性，這在第5節(jié)中有論述。

2. 最簡(jiǎn)單的周期函數(shù)：勻速圓周運(yùn)動(dòng)

勻速圓周運(yùn)動(dòng)是最簡(jiǎn)單的周期運(yùn)動(dòng)。根據(jù)歐拉公式，復(fù)平面上繞著單位圓的勻速圓周運(yùn)動(dòng)可記為

這里的

是實(shí)數(shù)，被稱(chēng)為角速度/角頻率，控制著旋轉(zhuǎn)的頻率。 越大，旋轉(zhuǎn)越快。 為正數(shù)表示逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，為負(fù)數(shù)表示順時(shí)針旋轉(zhuǎn)。如圖1所示：

圖1 e^(iωt)

易得

的周期為 ，即轉(zhuǎn)一整圈所需的時(shí)間。

3. 函數(shù)

的性質(zhì)

函數(shù)

有一些非常好的性質(zhì)。

讓

乘以常系數(shù) ，相當(dāng)于改變圓周運(yùn)動(dòng)的起點(diǎn)到 點(diǎn)，但不改變圓周運(yùn)動(dòng)的中心（仍是原點(diǎn)）和頻率。根據(jù)復(fù)數(shù)乘法的性質(zhì)，復(fù)數(shù)相乘時(shí)，模長(zhǎng)相乘，輻角相加，容易得到這個(gè)結(jié)論。 的模長(zhǎng) 決定了圓周運(yùn)動(dòng)的半徑/振幅， 的輻角 決定了圓周運(yùn)動(dòng)的起始角度/相位。如圖2所示：

圖2 改變圓周運(yùn)動(dòng)的起點(diǎn)至c

另外，由于圓周運(yùn)動(dòng)的中心恒為原點(diǎn)，故下式成立：

該積分值的物理意義是：n層圓周的重心（或運(yùn)動(dòng)位置的平均值）乘以運(yùn)動(dòng)時(shí)間

. 這個(gè)值顯然是0，證明其實(shí)也很容易：

當(dāng)

時(shí)，相當(dāng)于一直停留在起點(diǎn)不動(dòng)，此時(shí)積分值不為0，而是 .

4. 傅里葉級(jí)數(shù)

4.1 復(fù)值函數(shù)的指數(shù)形式

改變函數(shù)

的 會(huì)得到一系列函數(shù)。選用哪些函數(shù)呢？為了讓這些函數(shù)有一定的共性以簡(jiǎn)化問(wèn)題，我們使用一批共同具有周期 的函數(shù)。記其中最慢的頻率為基準(zhǔn)角頻率 ，則 ，所有函數(shù)的頻率都是 的整數(shù)倍，故這一系列函數(shù)可表示為 . 如圖3所示：

圖3 具有相同周期T的各種圓周運(yùn)動(dòng)

由第1節(jié)的思想，設(shè)函數(shù)

可表示成

計(jì)算

有非常巧妙的算法：在上式兩端同時(shí)乘以 得

在上式兩端同時(shí)做

到 的定積分。根據(jù)第3節(jié) 的性質(zhì)(1)式有

故

稱(chēng)數(shù)列

為 的離散頻譜，因?yàn)樗暾涗浟艘幌盗薪穷l率不同的，分別為 的圓周運(yùn)動(dòng)作為 分量的系數(shù)。最終得到的級(jí)數(shù) 在 上收斂于 ，稱(chēng)之為 的傅里葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式。指數(shù)形式對(duì)于函數(shù)值為復(fù)數(shù)的 亦適用。

離散頻譜

的求法可以從幾何角度來(lái)理解。函數(shù) 可以視為在復(fù)平面上畫(huà)圖，在時(shí)刻 筆尖落在 點(diǎn)。函數(shù) 相當(dāng)于讓 隨時(shí)間變化時(shí)還要加上一個(gè)“反向旋轉(zhuǎn)”，讓其中 這一旋轉(zhuǎn)分量始終停留在起點(diǎn)不動(dòng)，而其他旋轉(zhuǎn)分量依然有著周期 ，只不過(guò)頻率改變了。積分 求的是周期 內(nèi)的路徑的重心，由于其他旋轉(zhuǎn)分量的重心為零，而 留在起點(diǎn)不動(dòng)，重心正好是 ，因此該積分求出的正好是 的值。

該求法和泰勒級(jí)數(shù)系數(shù)的求法有著異曲同工之妙。對(duì)多項(xiàng)式函數(shù)

求 次導(dǎo)，并代入 ，會(huì)發(fā)現(xiàn)有且僅有 這一項(xiàng)不是零，從而求出 的值；讓一系列勻速圓周運(yùn)動(dòng)的合成 進(jìn)行“反向旋轉(zhuǎn)”，即乘以 ，會(huì)發(fā)現(xiàn)有且僅有 這一項(xiàng)的重心不是零，從而求出 的值。

4.2 實(shí)值函數(shù)的三角形式

如果

是實(shí)值函數(shù)，還可以把傅里葉級(jí)數(shù)寫(xiě)為三角形式。由(2)式得

因?yàn)?

為實(shí)值，故 也為實(shí)值， 與 互為共軛復(fù)數(shù)。將傅里葉級(jí)數(shù)兩兩配對(duì)得

將

記為 ，那么 ，代入上式可得

一對(duì)圓周運(yùn)動(dòng)之和在圖形上如圖4所示：

圖4 一對(duì)圓周運(yùn)動(dòng)之和

(3)式是傅里葉級(jí)數(shù)的三角形式之一。其中

記錄了所有的振幅，稱(chēng)之為離散振幅譜； 記錄了所有的相位，稱(chēng)之為離散相位譜。

用兩角和差公式可將(3)式打開(kāi)，得到

注意到

，故

記

那么

(4)式是傅里葉級(jí)數(shù)的另一種三角形式。

至此，離散頻譜

的實(shí)部、虛部、模長(zhǎng)、輻角的物理意義都已經(jīng)找到了。

*5. 函數(shù)向量的標(biāo)準(zhǔn)正交基

上述作為基底的函數(shù)被稱(chēng)為函數(shù)向量。用某種方式定義了它們的內(nèi)積之后，可以證明我們所使用的函數(shù)基底為標(biāo)準(zhǔn)正交基，也就是最簡(jiǎn)形式了。

自定義內(nèi)積，涉及到內(nèi)積空間，這是泛函分析課程所涉及的內(nèi)容。（我沒(méi)有學(xué)過(guò)泛函分析，因此相關(guān)內(nèi)容只是我自己粗淺的理解，可能有謬誤。）

5.1 指數(shù)形式的標(biāo)準(zhǔn)正交基

定義

與 的內(nèi)積為：

利用第3節(jié)

的性質(zhì)，容易證明 構(gòu)成一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。實(shí)際上4.1節(jié)計(jì)算 的巧妙方法，正是利用了基底的正交關(guān)系：用一個(gè)向量?jī)?nèi)積所有其他向量都得0.

5.2 三角形式的標(biāo)準(zhǔn)正交基

定義

與 的內(nèi)積為：

先將三角函數(shù)化為指數(shù)函數(shù)，再利用第3節(jié)

的性質(zhì)，容易證明 構(gòu)成一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。

附錄

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的傅里叶变换处理音频c++_积分变换（1）——傅里叶级数的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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