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第一章 集合與函數概念1.1.1集合的含義與表示一、集合的含義

我們先看一些實例：

①1~20以內的所有質數(素數)；? ?有限集

②到直線 l 的距離等于定長 d 的所有的點；

③全體自然數；?? ? 無限集

④方程 ?x2+3x+2=0 的所有實數根；

⑤某中學2019年9月入學的所有高一新生.

分別歸納概括出它們具有什么共同特征?

一般地，我們把研究的對象統稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合(簡稱為集).

通常用大寫的拉丁字母 A，B，C，…表示集合，小寫的拉丁字母 a，b，c ，…表示集合中的元素.

注意：?幾種特殊的數集

問題：如何理解“把一些元素組成的總體叫做集合”，這些集合里的元素必須具備什么特性？

二、集合中元素的特性

先思考以下兩個問題：

① 高一級身高較高的同學，能否構成集合? ???否

② 高一級身高160cm以上的同學，能否構成集合? ??能

③ 2, 4, 2 這三個數能否組成一個集合？否

1.確定性：

集合中的元素必須是確定的。即確定了一個集合，任何一個元素是不是這個集合的元素也就確定了。(具有某種屬性)

如：高一級身高160cm以上的同學組成的集合.

2.互異性：

集合中的元素是互異的。即集合元素是沒有重復現象的。(互不相同)

如：2, 4, 2 這三個數不能組成一個集合，但2,4可組成集合.

3.無序性：

集合中的元素是不講順序的。即元素完全相同的兩個集合，不論元素順序如何，都表示同一個集合。(不考慮順序)

如：集合A：大西洋，太平洋，印度洋組成的集合

? ? 集合B：印度洋，大西洋，太平洋組成的集合

集合相等：

只要構成兩個集合的元素是一樣的，我們就稱這兩個集合相等.

三、元素與集合的關系

高一級所有的同學組成的集合記為A， a是高一(7)班的同學，b是高二(7)班的同學，那么a與A，b與A之間各自有什么關系？

四、集合的表示

(1)自然語言表示法

1~20以內的質數組成的集合

(2)列舉法

例如，地球上四大洋組成的集合：

{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}

例1、用列舉法表示下列集合：

(1)小于10的所有自然數組成的集合；

(2)方程 x2=x 的所有實數根組成的集合；

(3)由1~20以內既能被2整除，又能被3整除的所有自然數組成的集合.

解:(1)設小于10的所有自然數組成的集合為A， 則

? ? ? ? ? A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

? ? ?(2)設方程 x2=x 的所有實數根組成的集合為B， 則

? ? ? ? ? B={0,1}

? ? ?(3)設所求集合為C， 則

? ? ? ? ? C={6,12,18}

集合的分類：

有限集，無限集

：你能用列舉法表示不等式 x －7< 3 的解集嗎？

無限集

(3).描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法稱為描述法。

具體方法是：在花括號內先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值(或變化)范圍，再劃一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素的共同特征.

例2?

用描述法和列舉法描述下列集合

注意：

有限集通常用列舉法來表示

無限集通常用描述法來表示

(4)Venn圖示法?

如：“book中的字母”?構成一個集合

本章節歸納小結：

鞏固練習：

集合間的基本關系

集合間的基本關系練習題

【課程回顧】

1.子集與真子集的區別

(1)從定義上:集合A是集合B的子集包括A是B的真子集和A與B相等兩

種情況,真子集是子集的特殊形式.

(2)從性質上:空集是任何集合的子集,但不是任何集合的真子集;

空集是任何非空集合的真子集.

(3)從符號上:A?B指AB或A=B都有可能.A=A,A?A,??A都是正確的符號表示,AA,?A是不正確的符號表示.

2.對空集的兩點說明

(1)空集首先是集合,只不過空集中不含任何元素.

(2)規定空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.因此遇到諸如A?B,AB的問題時,務必優先考慮A=?是否滿足題意.

刷題：

一.集合關系的判斷

1.若集合M={x|x2-1=0},T={-1,0,1},則M與T的關系是　(　　)

A.MT　　 ? B.MT　　 ? C.M=T　　 ?D.M?T

2.指出下列各對集合之間的關系:

(1)A={-1,1},B={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)}.

(2)A={x|-1

(3)A={x|x是等邊三角形},B={x|x是等腰三角形}.

(4)M={x|x=2n-1,n∈N*},N={x|x=2n+1,n∈N*}.

二.關于子集、真子集的個數問題

3.(2015·福州高一檢測)集合{a,b}的子集個數為(　　)

A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4

4.若集合{1,2}?M?{1,2,3,4},試寫出滿足條件的所有的集合M.

5.已知集合M={x∈Z|1≤x≤m},若集合M有4個子集,則實數m=(　)

A.1 ? ? ? ? ?B.2 ? ? ? ? ? C.3 ? ? ? ? ?D.4

6.已知集合A{x∈N|-1奇數,則集合A共有多少個?并用恰當的方法表示這些集合.

三、由集合間的包含關系求參數

7.由集合間的包含關系求參數已知集合A={x|-3≤x≤4},B={x|11),且B?A,則實數m的取值范圍是　　　　　.

8.(變換條件)本例若將集合“B={x|11)”改為“B={x|1

【解析與答案】

1.選A.M={-1,1},T={-1,0,1},所以MT.

2.(1)集合A的代表元素是數,集合B的代表元素是有序實數對,故A與B之間無包含關系.

(2)集合B={x|x<5},用數軸表示集合A,B如圖所示,由圖可知AB.

(3)等邊三角形是三邊相等的三角形,等腰三角形是兩邊相等的三角

形,故AB.

(4)方法一:兩個集合都表示正奇數組成的集合,但由于n∈N*,因此集

合M含有元素“1”,而集合N不含元素“1”,故NM.

方法二:由列舉法知M={1,3,5,7,…},N={3,5,7,9,…},所以NM.

3.選D.當子集不含元素時,即為?;當子集中含有一個元素時,其子集為{a},{b};當子集中有兩個元素時,其子集為{a,b},故子集個數為4.

4.由于{1,2}?M,故1,2∈M,又M{1,2,3,4},所以符合條件的集合M

有:{1,2},{1,2,3},{1,2,4}.

5.【解題指南】根據題意,由集合的子集與其元素數目的關系,可得M中有2個元素,結合題意,由M中元素的特點,可得m的值,即可得答案.

【解析】選B.根據題意,集合M有4個子集,則M中有2個元素,又由M={x∈Z|1≤x≤m},其元素為大于等于1而小于等于m的全部整數,則m=2.

6.這樣的集合A共有11個.因為{x∈N|-1

又A{0,1,2,3}且A中至少含有一個奇數.

故A中只含有一個元素時,A可以為{1},{3},A中含兩個元素時,A可以為{1,0},{1,2},{1,3},{3,0},{3,2},A中含三個元素時,A可以為{1,0,2},{3,0,2},

{1,3,0},{1,3,2},

所以綜上可知,滿足條件的集合A為:{1},{3},{1,0},{1,2},{1,3},

{3,0},{3,2},{1,0,2},{3,0,2},{1,3,0},{1,3,2}.

7.提示:對于兩個連續數集可用數軸分析法通過畫數軸來分析它們之間的包含關系.

【解析】由于B?A,結合數軸分析可知,m≤4,

又m>1,所以1

答案:1

8.【解析】若m≤1,則B=?,滿足B?A.若m>1,則由例題解析可知1綜上可知m≤4.

【方法技巧】

兩集合間關系的判斷步驟

(1)判斷一個集合A中的任意元素是否屬于另一集合B,若是,則A?B,否則A?B.

(2)判斷另一個集合B中的任意元素是否屬于第一個集合A,若是,則B?A,否則B?A.

(3)若既有A?B,又有B?A,則A=B.

集合子集個數的規律及一個注意點

(1)規律:集合子集、真子集個數的規律是:含有n(n≥1且n∈N)個元素的集合的子集有2n個,非空子集有2n-1個,真子集有2n-1個,非空真子集有2n-2個.

(2)注意點:解決此類問題時應注意兩個比較特殊的集合,即?和集合本身.

由集合間的關系求參數問題的注意點及常用方法

(1)注意點:不能忽視集合為?的情形.當集合中含有字母參數時,一般需要分類討論.

(2)常用方法:對于用不等式給出的集合,已知集合的包含關系求相關參數的范圍(值)時,常采用數形結合的思想,借助數軸解答.

【防范措施】

空集的特殊性

根據“A?B”條件,在求相關參數值時,不可忽視集合A可以為空集這個特殊情況,同時還要進行檢驗,看是否滿足元素的互異性.如本例錯解,忽視B=?的情況而漏解.

集合的基本運算

交集和并集知識點解析并集

并集的概念：

并集的性質：

疑難解析：

交集

交集的概念

交集的性質：

疑難解析

理解交集的概念應關注四點

(1)概念中“且”即“同時”的意思，兩個集合交集中的元素必須同時是兩個集合的元素．

(2)概念中的“所有”兩字不能省，否則將會漏掉一些元素，一定要將相同元素全部找出．

(3)當集合A和集合B無公共元素時，不能說集合A，B沒有交集，而是A∩B＝?.

(4)定義中“x∈A，且x∈B”與“x∈(A∩B)”是等價的，即由既屬于A，又屬于B的元素組成的集合為A∩B.而只屬于集合A或只屬于集合B的元素，不屬于A∩B.

并集的運算

[例1]　

(1)(廣東高考)已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，則M∪N＝?(　　)

A．{－1,0,1}　　　　　? ??? B．{－1,0,1,2}

C．{－1,0,2} ?? ???????????????????? D．{0,1}

(2)若集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|－2<x<2}，則A∪B等于? (　　)

A．{x|x>－2} ? ???????????????????? B．{x|x>－1}

C．{x|－2<xx|－1<x<2}

[解析]　

(1)M∪N表示屬于M或屬于N的元素構成的集合，故M∪N＝{－1,0,1,2}．

(2)畫出數軸如圖所示，故A∪B＝{x|x>－2}．

?

[答案]　(1)B　(2)A

并集的運算技巧

(1)若集合中元素個數有限，則直接根據并集的定義求解，但要注意集合中元素的互異性．

(2)若集合中元素個數無限，可借助數軸，利用數軸分析法求解，但要注意是否去掉端點值．

練習：

若集合A＝{1,4，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝{1,4，x}，則滿足條件的實數x有(　　)

A．1個? B．2個 ? ? C．3個? D．4個

解析：從A∪B＝{1,4，x}看它與集合A，B元素之間的關系，可以發現A∪B＝A，從而B是A的子集，則x2＝4或x2＝x，解得x＝±2或1或0.當x＝±2時，符合題意；當x＝1時，與集合元素的互異性相矛盾(舍去)；當x＝0時，符合題意．因此x＝±2或0.

答案：C　

交集的運算

[例2]　(1)(北京高考)已知集合A＝{－1,0,1}，B＝{x|－1≤x＜1}，則A∩B＝(　　)

A．{0}? ?????? ?????????????????????????????????? B．{－1,0}

C．{0,1}? ??? ?????????????????????????????????? D．{－1,0,1}

(2)設集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，則A∩B等于(　　)

A．{x|0≤x≤2} ???????????????????????????? B．{x|1≤x≤2}

C．{x|0≤x≤4} ???????????????????????????? D．{x|1≤x≤4}

交集的運算技巧

求交集運算應關注兩點：

(1)求交集就是求兩集合的所有公共元素形成的集合．

(2)利用集合的并、交求參數的值時，要檢驗集合元素的互異性．

交集、并集性質的應用

性質應用技巧

并集、交集的性質應用技巧：

對于涉及集合運算的問題，可利用集合運算的等價性(即若A∪B＝A，則B?A，反之也成立；若A∩B＝B，則B?A，反之也成立)，轉化為相關集合之間的關系求解．

本節易錯題：

預警：含字母的集合運算忽視空集或檢驗

[典例]

(1)已知M＝{2，a2－3a＋5,5}，N＝{1，a2－6a＋10,3}，M∩N＝{2,3}，則a的值是(　　)

A．1或2　　　?B．2或4

C．2 ? ? ? ? ? ? ? ? D．1

(2)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－2x＋a－1＝0}，若A∩B＝B，則a的取值范圍為________．

[解析]　

(1)∵M∩N＝{2,3}，∴a2－3a＋5＝3，∴a＝1或2.當a＝1時，N＝{1,5,3}，M＝{2,3,5}不合題意；當a＝2時，N＝{1,2,3}，M＝{2,3,5}符合題意．

(2)由題意，得A＝{1,2}．∵A∩B＝B，

∴當B＝?時，(－2)2－4(a－1)<0，解得a>2；

當1∈B時，1－2＋a－1＝0，解得a＝2，且此時B＝{1}，符合題意；

當2∈B時，4－4＋a－1＝0，解得a＝1，此時B＝{0,2}，不合題意．綜上所述，a的取值范圍是{a|a≥2}．

[答案]　(1)C　(2){a|a≥2}

易錯防范

1．本例(1)中的M∩N＝{2,3}有兩層含義：①2,3是集合M，N的元素；②集合M，N只有這兩個公共元素．因此解出字母后，要代入原集合進行檢驗，這一點極易被忽視．

2．在本例(2)中，A∩B＝B?B?A，B可能為空集，極易被忽視．

交集和并集的運算練習題

補集及綜合應用

全集全集的定義及表示

(1)定義：如果一個集合含有我們所研究問題中涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集．

(2)符號表示：全集通常記作U.

疑難解析：

對全集概念的理解

“全集”是一個相對的概念，并不是固定不變的，它是依據具體的問題來加以選擇的．例如：我們常把實數集R看作全集，而當我們在整數范圍內研究問題時，就把整數集Z看作全集.

補集

補集的概念和性質

疑難解析

理解補集應關注三點

(1)補集既是集合之間的一種關系，同時也是集合之間的一種運算．求集合A的補集的前提是A是全集U的子集，隨著所選全集的不同，得到的補集也是不同的，因此，它們是互相依存、不可分割的兩個概念．

(2)?UA包含三層意思：①A?U；②?UA是一個集合，且?UA?U；③?UA是由U中所有不屬于A的元素構成的集合．

(3)若x∈U，則x∈A或x∈?UA，二者必居其一．

補集運算

[例1]　(1)(廣東高考)已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，則集合?U(A∪B)＝(　　)

A．{x|x≥0}　　　B．{x|x≤1}

C．{x|0≤x≤1} ? ? ? D．{x|0＜x＜1}

(2)設U＝{x|－5≤x

[解析]　

(1)A∪B＝{x|x≤0，或x≥1}，

所以?U(A∪B)＝{x|0

(2)法一：在集合U中，

∵x∈Z，

則x的值為－5，－4，－3,3,4,5，

∴U＝{－5，－4，－3,3,4,5}．

又∵A＝{x|x2－2x－15＝0}＝{－3,5}，

∴?UA＝{－5，－4,3,4}，?UB＝{－5，－4,5}．

求補集的方法

求給定集合A的補集通常利用補集的定義去求，從全集U中去掉屬于集合A的元素后，由所有剩下的元素組成的集合即為A的補集．

例題：已知全集U，集合A＝{1,3,5,7}，?UA＝{2,4,6}，?UB＝{1,4,6}，求集合B.

解：∵A＝{1,3,5,7}，?UA＝{2,4,6}，

∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}．又∵?UB＝{1,4,6}，

∴B＝{2,3,5,7}.

集合的交、并、補綜合運算

解題技巧

解決集合交、并、補運算的技巧

(1)如果所給集合是有限集，則先把集合中的元素一一列舉出來，然后結合交集、并集、補集的定義來求解．在解答過程中常常借助于Venn圖來求解．這樣處理起來，相對來說比較直觀、形象且解答時不易出錯．

(2)如果所給集合是無限集，則常借助數軸，把已知集合及全集分別表示在數軸上，然后進行交、并、補集的運算．解答過程中要注意邊界問題．

練習：

已知全集U＝{x|x<10，x∈N*}，A＝{2,4,5,8}，B＝{1,3,5,8}，求

?U(A∪B)，?U(A∩B)，(?UA)∩(?UB)，(?UA)∪(?UB)．

解：∵A∪B＝{1,2,3,4,5,8}，

U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，

∴?U(A∪B)＝{6,7,9}．

∵A∩B＝{5,8}，

∴?U(A∩B)＝{1,2,3,4,6,7,9}．

∵?UA＝{1,3,6,7,9}，?UB＝{2,4,6,7,9}，

∴(?UA)∩(?UB)＝{6,7,9}，

(?UA)∪(?UB)＝{1,2,3,4,6,7,9}．

說明：作出Venn圖，如圖所示，由圖形也可以直接觀察出來結果．

補集的綜合應用

解題技巧

利用補集求參數應注意兩點

(1)與集合的交、并、補運算有關的參數問題一般利用數軸求解，涉及集合間關系時不要忘掉空集的情形．

(2)不等式中的等號在補集中能否取到，要引起重視，還要注意補集是全集的子集．

練習題：

已知集合A＝{x|x0}．若A∩(?RB)＝?，求實數a的取值范圍．

解：∵B＝{x|x0}，

∴?RB＝{x|－1≤x≤0}，

因而要使A∩(?RB)＝?，結合數軸分析(如圖)，

可得a≤－1.

即實數a的取值范圍是{a|a≤－1}．

易錯分析

1.補集思想的綜合應用

[典例]　(12分)已知集合A＝{x|x2－4x＋2m＋6＝0}，B＝{x|x<0}，若A∩B≠?，求實數m的取值范圍．

解題流程

練習：

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的求两个集合是否有交集 c语言_高中数学：集合与函数概念知识点总结的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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