线性代数之矩阵导数微分
生活随笔
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线性代数之矩阵导数微分
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? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?線性代數(shù)之矩陣導數(shù)微分
?矩陣微分及性質(zhì)
矩陣微分的形式見下:
類似函數(shù)的微分,矩陣微分有如下性質(zhì):
其中矩陣轉(zhuǎn)置的微分等于矩陣微分的轉(zhuǎn)置:
?矩陣導數(shù)與微分
矩陣微分和導數(shù)有如下關(guān)系:?
?再結(jié)合矩陣跡和矩陣導數(shù),則有:
二次型函數(shù)矩陣求導
假設(shè)有如下二次型函數(shù) ,求其對x的導數(shù)。這里A是個方陣,x是個列向量。
解決過程:
Step 1 由矩陣微分定義有:
Step 2 ?由微分矩陣跡的性質(zhì):
則可將上式變換為:
Step 3 再有乘積矩陣的微分性質(zhì)
則上式展開為:
Step 4 其中Step 3里的右式里仍是乘積矩陣的微分,再次展開
Step 5 這里A是個常量,所以 是0矩陣,即有:
Step 6 由跡的性質(zhì),兩個矩陣和的跡等于各自跡的和:
則可以展開為:
Step 7 再由如下性質(zhì):
1 矩陣的跡等于矩陣逆的跡的性質(zhì)
2 矩陣乘逆的性質(zhì)
3 矩陣轉(zhuǎn)置的微分的性質(zhì)
則上式轉(zhuǎn)換為:
Step 8 在根據(jù)由跡的性質(zhì),兩個矩陣和的跡等于各自跡的和,得
Step 9 合并相同的項,則得
Step 10 由矩陣導數(shù)微分的性質(zhì)
則 上式里的矩陣導數(shù)為:
即得最終結(jié)果。
特別的如何A是個對稱矩陣,則
總結(jié)
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