? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?線性代數(shù)之矩陣導數(shù)微分

?矩陣微分及性質(zhì)

矩陣微分的形式見下：

類似函數(shù)的微分，矩陣微分有如下性質(zhì)：

其中矩陣轉(zhuǎn)置的微分等于矩陣微分的轉(zhuǎn)置：

?矩陣導數(shù)與微分

矩陣微分和導數(shù)有如下關(guān)系：?

?再結(jié)合矩陣跡和矩陣導數(shù)，則有：

二次型函數(shù)矩陣求導

假設(shè)有如下二次型函數(shù) ，求其對x的導數(shù)。這里A是個方陣，x是個列向量。

解決過程:

Step 1 由矩陣微分定義有：

Step 2 ?由微分矩陣跡的性質(zhì)：

則可將上式變換為：

Step 3 再有乘積矩陣的微分性質(zhì)

則上式展開為：

Step 4 其中Step 3里的右式里仍是乘積矩陣的微分，再次展開

Step 5 這里A是個常量，所以 是0矩陣，即有：

Step 6 由跡的性質(zhì)，兩個矩陣和的跡等于各自跡的和：

則可以展開為：

Step 7 再由如下性質(zhì)：

1 矩陣的跡等于矩陣逆的跡的性質(zhì)

2 矩陣乘逆的性質(zhì)

3 矩陣轉(zhuǎn)置的微分的性質(zhì)

則上式轉(zhuǎn)換為：

Step 8 在根據(jù)由跡的性質(zhì)，兩個矩陣和的跡等于各自跡的和，得

Step 9 合并相同的項，則得

Step 10 由矩陣導數(shù)微分的性質(zhì)

則 上式里的矩陣導數(shù)為：

即得最終結(jié)果。

特別的如何A是個對稱矩陣，則

總結(jié)

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