漫画：图的 “最短路径” 问题 | 技术头条
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作者：蠢萌的小灰
轉自：程序員小灰
—————? 第二天? —————
如何遍歷呢？
第一層，遍歷頂點A：
第二層，遍歷A的鄰接頂點B和C：
第三層，遍歷頂點B的鄰接頂點D、E，遍歷頂點C的鄰接頂點F：
第四層，遍歷頂點E的鄰接頂點G，也就是目標節點：
由此得出，圖中頂點A到G的（第一條）最短路徑是A-B-E-G：
換句話說，就是尋找從A到G之間，權值之和最小的路徑。
————————————
究竟什么是迪杰斯特拉算法？它是如何尋找圖中頂點的最短路徑呢？
這個算法的本質，是不斷刷新起點與其他各個頂點之間的?“距離表”。
讓我們來演示一下迪杰斯特拉的詳細過程：
第1步，創建距離表。表中的Key是頂點名稱，Value是從起點A到對應頂點的已知最短距離。但是，一開始我們并不知道A到其他頂點的最短距離是多少，Value默認是無限大：
第2步，遍歷起點A，找到起點A的鄰接頂點B和C。從A到B的距離是5，從A到C的距離是2。把這一信息刷新到距離表當中：
第3步，從距離表中找到從A出發距離最短的點，也就是頂點C。
第4步，遍歷頂點C，找到頂點C的鄰接頂點D和F（A已經遍歷過，不需要考慮）。從C到D的距離是6，所以A到D的距離是2+6=8；從C到F的距離是8，所以從A到F的距離是2+8=10。把這一信息刷新到表中：
接下來重復第3步、第4步所做的操作：
第5步，也就是第3步的重復，從距離表中找到從A出發距離最短的點（C已經遍歷過，不需要考慮），也就是頂點B。
第6步，也就是第4步的重復，遍歷頂點B，找到頂點B的鄰接頂點D和E（A已經遍歷過，不需要考慮）。從B到D的距離是1，所以A到D的距離是5+1=6，小于距離表中的8；從B到E的距離是6，所以從A到E的距離是5+6=11。把這一信息刷新到表中：
（在第6步，A到D的距離從8刷新到6，可以看出距離表所發揮的作用。距離表通過迭代刷新，用新路徑長度取代舊路徑長度，最終可以得到從起點到其他頂點的最短距離）
第7步，從距離表中找到從A出發距離最短的點（B和C不用考慮），也就是頂點D。
第8步，遍歷頂點D，找到頂點D的鄰接頂點E和F。從D到E的距離是1，所以A到E的距離是6+1=7，小于距離表中的11；從D到F的距離是2，所以從A到F的距離是6+2=8，小于距離表中的10。把這一信息刷新到表中：
第9步，從距離表中找到從A出發距離最短的點，也就是頂點E。
第10步，遍歷頂點E，找到頂點E的鄰接頂點G。從E到G的距離是7，所以A到G的距離是7+7=14。把這一信息刷新到表中：
第11步，從距離表中找到從A出發距離最短的點，也就是頂點F。
第10步，遍歷頂點F，找到頂點F的鄰接頂點G。從F到G的距離是3，所以A到G的距離是8+3=11，小于距離表中的14。把這一信息刷新到表中：
就這樣，除終點以外的全部頂點都已經遍歷完畢，距離表中存儲的是從起點A到所有頂點的最短距離。顯然，從A到G的最短距離是11。（路徑：A-B-D-F-G）
按照上面的思路，我們來看一下代碼實現：
/**
* Dijkstra最短路徑算法
*/
public static Map<Integer, Integer> dijkstra(Graph graph, int startIndex) {
//創建距離表，存儲從起點到每一個頂點的臨時距離
Map<Integer, Integer> distanceMap = new HashMap<Integer,Integer>();
//記錄遍歷過的頂點
Set<Integer> accessedSet = new HashSet<Integer> ();
//圖的頂點數量
int size = graph.vertexes.length;
//初始化最短路徑表，到達每個頂點的路徑代價默認為無窮大
for(int i=1; i<size; i++){
distanceMap.put(i, Integer.MAX_VALUE);
}
//遍歷起點，刷新距離表
accessedSet.add(0);
List<Edge> edgesFromStart = graph.adj[startIndex];
for(Edge edge : edgesFromStart)
{
distanceMap.put(edge.index, edge.weight);
}
//主循環，重復 遍歷最短距離頂點和刷新距離表 的操作
for(int i=1; i<size; i++)
{
//尋找最短距離頂點
int minDistanceFromStart = Integer.MAX_VALUE;
int minDistanceIndex = -1;
for(int j=1; j<size; j++)
{
if(!accessedSet.contains(j) && distanceMap.get(j) < minDistanceFromStart)
{
minDistanceFromStart = distanceMap.get(j);
minDistanceIndex = j;
}
}
if(minDistanceIndex == -1){
break;
}
//遍歷頂點，刷新距離表
accessedSet.add(minDistanceIndex);
for(Edge edge : graph.adj[minDistanceIndex])
{
if(accessedSet.contains(edge.index)){
continue;
}
int weight = edge.weight;
int preDistance = distanceMap.get(edge.index);
if(weight != Integer.MAX_VALUE && (minDistanceFromStart+ weight < preDistance))
{
distanceMap.put(edge.index, minDistanceFromStart + weight);
}
}
}
return distanceMap;
}
public static void main(String[] args) {
Graph graph = new Graph(7);
initGraph(graph);
Map<Integer, Integer> distanceMap = dijkstra(graph, 0);
int distance = distanceMap.get(6);
System.out.println(distance);
}
/**
* 圖的頂點
*/
private static class Vertex {
String data;
Vertex(String data) {
this.data = data;
}
}
/**
* 圖的邊
*/
private static class Edge {
int index;
int weight;
Edge(int index, int weight) {
this.index = index;
this.weight = weight;
}
}
/**
* 圖
*/
private static class Graph {
private Vertex[] vertexes;
private LinkedList<Edge> adj[];
Graph(int size){
//初始化頂點和鄰接矩陣
vertexes = new Vertex[size];
adj = new LinkedList[size];
for(int i=0; i<adj.length; i++){
adj[i] = new LinkedList<Edge>();
}
}
}
private static void initGraph(Graph graph){
graph.vertexes[0] = new Vertex("A");
graph.vertexes[1] = new Vertex("B");
graph.vertexes[2] = new Vertex("C");
graph.vertexes[3] = new Vertex("D");
graph.vertexes[4] = new Vertex("E");
graph.vertexes[5] = new Vertex("F");
graph.vertexes[6] = new Vertex("G");
graph.adj[0].add(new Edge(1, 5));
graph.adj[0].add(new Edge(2, 2));
graph.adj[1].add(new Edge(0, 5));
graph.adj[1].add(new Edge(3, 1));
graph.adj[1].add(new Edge(4, 6));
graph.adj[2].add(new Edge(0, 2));
graph.adj[2].add(new Edge(3, 6));
graph.adj[2].add(new Edge(5, 8));
graph.adj[3].add(new Edge(1, 1));
graph.adj[3].add(new Edge(2, 6));
graph.adj[3].add(new Edge(4, 1));
graph.adj[3].add(new Edge(5, 2));
graph.adj[4].add(new Edge(1, 6));
graph.adj[4].add(new Edge(3, 1));
graph.adj[4].add(new Edge(6, 7));
graph.adj[5].add(new Edge(2, 8));
graph.adj[5].add(new Edge(3, 2));
graph.adj[5].add(new Edge(6, 3));
graph.adj[6].add(new Edge(4, 7));
graph.adj[6].add(new Edge(5, 3));
}
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總結
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