馮?諾伊曼還是20世紀最重要的數(shù)學家之一，在純粹數(shù)學和應用數(shù)學方面都有杰出的貢獻。他的工作大致可以分為兩個時期。

1940年以前，主要是純粹數(shù)學的研究：在數(shù)理邏輯方面提出簡單而明確的序數(shù)理論，并對集合論進行新的公理化，其中明確區(qū)別集合與類。其后，他研究希爾伯特空間上線性自伴算子譜理論，從而為量子力學打下數(shù)學基礎；1930年起，他證明了平均遍歷定理，開拓了遍歷理論的新領域；1933年，他運用緊致群解決了希爾伯特第五問題；此外，他還在測度論、格論和連續(xù)幾何學方面也有開創(chuàng)性的貢獻；從1936～1943年，他和默里合作，創(chuàng)造了算子環(huán)理論，即現(xiàn)在所謂的馮?諾伊曼代數(shù)。

1940年以后，馮?諾伊曼轉向應用數(shù)學。如果說他的純粹數(shù)學成就屬于數(shù)學界，那么他在力學、經(jīng)濟學、數(shù)值分析和電子計算機方面的工作則屬于全人類。第二次世界大戰(zhàn)開始，馮?諾伊曼因戰(zhàn)事的需要研究可壓縮氣體運動，建立沖擊波理論和湍流理論，發(fā)展了流體力學；從1942年起，他同莫根施特恩合作，寫作《博弈論和經(jīng)濟行為》一書，這是博弈論(又稱對策論)中的經(jīng)典著作，這使他成為數(shù)理經(jīng)濟學的奠基人之一。

馮?諾伊曼對世界上第一臺電子計算機ENIAC(電子數(shù)字積分計算機)的設計提出過建議，這對后來計算機的設計有決定性的影響，至今仍為電子計算機設計者所遵循。

總結

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