凸函數

定義：凸函數

說

是凸函數，起碼想到使用上式。此外，又凸又凹，是仿射函數。

幾何意義：凸函數

分析：

• 很直觀，即與兩點連接的線段上的點
• 注意凸規劃里凸是向下凸的

凸函數的幾個定理：逐個證明

(1)

如上，證明可以用數學歸納法證明：

• 為何要在③中提取出來，因為這樣的系數才是（因為有）
• 才可用應用②中我們對做的假設

(2)

分析：

• 把“非負組合”理解為一個，然后直接用定義即可

(3)

分析：

• 明確正面的目標
• 使用題目給的性質、凸函數性質，即可

(4)

分析：

• 遇到，考慮放縮（上圖存在筆誤，即應該是）
• 共經歷了兩層放縮：凸函數的性質一層、一層

(5)

分析：

• 你可以去理解“什么是正齊次函數”，也可不去（因為對證明題目沒什么幫助）
  • 我的理解是，在中是一次的，因為可以被提出來

分析：

• 證明充要條件，當然充分性與必要性都要證明
• 注意：是正齊次函數，是已知、是條件，而非要正面的東西
• 對于充分性的證明，因為是已有性質，因此可以取特殊值，來繼續推導

梯度

定義：梯度

定義：Hesse矩陣

定理：

如上，

、、分別分別代表y軸值，我將其標注了出來。

該定理的證明

分析：

• 在充分性的證明中，最重要的是構造
• 然后利用已有的性質，進行代換，向著目標推進（目標是凸函數的定義式）

分析：

• 在必要性的證明中，巧妙地利用了時，出現梯度，引出了符號

該定理的嚴格形式

分析：

• 對于充分性證明，與不嚴格時相同；
• 對于必要性證明，則不同
  • 利用了不嚴格時的定理，引出帶有與的不等式
  • 顯然，我們需要把去掉，則要結合嚴格凸的式子
  • 使用將其結合

定理：海賽陣半正定與凸函數

證明：海賽陣半正定與凸函數

分析：

• 都沒有直接引用凸函數定義式，而是以用與凸函數等價的
• 都應用了二階展開（泰勒公式）

定理：正定則嚴格凸

注意逆定理不成立。

判別：更方便的方法

直接用定理判斷是否正定，不方便，這里提供了“主子式”的判別方法。

計算實例如上。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的严格凸函数充分必要条件_「管理数学基础」3.2 凸分析：凸函数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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