要理解網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)與網(wǎng)絡(luò)行為之間的關(guān)系并進而考慮改善網(wǎng)絡(luò)的行為，就需要對實際網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)特征有很好的了解，并在此基礎(chǔ)上建立合適的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)淠Ｐ汀?/p>

一、從規(guī)則網(wǎng)絡(luò)說起

1、常見規(guī)則網(wǎng)絡(luò)

上圖中顯示了3中規(guī)則網(wǎng)絡(luò)：全局耦合網(wǎng)絡(luò)、最近鄰耦合網(wǎng)絡(luò)、星形耦合網(wǎng)絡(luò)。下面我們來一一介紹。

1.1 全局耦合網(wǎng)絡(luò)

如果一個網(wǎng)絡(luò)中任意兩個節(jié)點之間都有邊直接相連，那么就稱該網(wǎng)絡(luò)為一個全局耦合網(wǎng)絡(luò)，簡稱全耦合網(wǎng)絡(luò)。
但在實際中一個大規(guī)模的全耦合網(wǎng)絡(luò)維護起來非常困難，例如我們在學(xué)校，不可能所有人都認(rèn)識，也不可能什么都不干，每天去認(rèn)識人。這也反映了全耦合網(wǎng)絡(luò)作為實際網(wǎng)絡(luò)模型的局限性：大型實際網(wǎng)絡(luò)一般都是稀疏的，它們的邊的數(shù)目一般至多是O(N)，而不是O(N${}^2$)。
另一方面，盡管從全局看大規(guī)模實際網(wǎng)絡(luò)具有稀疏性，但是，網(wǎng)絡(luò)中可能會存在不少稠密的甚至是全耦合的子圖。

1.2 最近鄰耦合網(wǎng)絡(luò)

如果在一個網(wǎng)絡(luò)中，每一個節(jié)點只和它周圍的鄰居節(jié)點相連，那么就稱該網(wǎng)絡(luò)為最近鄰耦合網(wǎng)絡(luò)。這是一個得到大量研究的稀疏的規(guī)則網(wǎng)絡(luò)模型。
上圖（b）是常見的一種具有周期邊界條件的最近鄰耦合網(wǎng)絡(luò)包含圍成一個環(huán)的N個節(jié)點，其中每個節(jié)點都與它左右各K/2各鄰居點相連，這里K是一個偶數(shù)。

1.3 星形耦合網(wǎng)絡(luò)

這是另外一個常見的規(guī)則網(wǎng)絡(luò)，它有一個中心點，其余的N-1個點都只與這個中心點連接，而它們彼此之間不連接。這個模型也可推廣到具有多個中心的情形。

2、基本拓?fù)湫再|(zhì)

2.1 全耦合網(wǎng)絡(luò)

N個節(jié)點構(gòu)成的全耦合網(wǎng)絡(luò)中有N(N-1)/2條邊。在具有相同節(jié)點數(shù)的所有網(wǎng)絡(luò)中，全耦合網(wǎng)絡(luò)具有最多的邊數(shù)、最大的聚類系數(shù)C${}_{gc}$=1和最小平均路徑長度L${}_{gc}$=1。

2.2 最近鄰耦合網(wǎng)絡(luò)

（1）聚類系數(shù)：我們采用基于網(wǎng)絡(luò)中三角形數(shù)量的聚類系數(shù)的定義來計算上圖（b）所示的最近鄰耦合網(wǎng)絡(luò)的聚類系數(shù)。假設(shè)N充分大，K是一個與N無關(guān)的常數(shù)并且K<<N。首先注意到這樣一個事實：網(wǎng)絡(luò)中任意一個三角形都可以看作是從一個節(jié)點出發(fā)，先沿著同一個方向走兩條邊，然后再沿著反方向走一條邊形成的。由于反方向的邊的最大跨度為K/2，從一節(jié)點出發(fā)的三角形的數(shù)量就等于從K/2個節(jié)點中選取兩個節(jié)點的組合數(shù)，即為

另一方面，網(wǎng)絡(luò)中任意一個節(jié)點為中心的連通三元組的數(shù)目為：

于是，最近鄰耦合網(wǎng)絡(luò)的聚類系數(shù)為：


（2）平均路徑長度：網(wǎng)絡(luò)中一個節(jié)點能在一步到達的最遠的節(jié)點與該節(jié)點的格子間距為K/2。兩個格子間距為m的節(jié)點之間的距離為$?$ 2m/K $?$，即不小于 2m/K的最小整數(shù)。該網(wǎng)絡(luò)的平均路徑長度為：

對固定的K值，當(dāng)N->$\infty$時，L${}_{nc}$->$\infty$。這可以從側(cè)面解釋為什么在這樣一個局部耦合的網(wǎng)絡(luò)中很難實現(xiàn)需要全局協(xié)調(diào)的動態(tài)過程。

2.3 星形網(wǎng)絡(luò)

聚類系數(shù)：C${}_{star}$=0。
這是因為中心節(jié)點的N-1個鄰居節(jié)點之間互不相連，從而中心節(jié)點的聚類系數(shù)也為0。
平均路徑長度：

二、隨機圖

1、模型描述

與完全規(guī)則網(wǎng)絡(luò)相對應(yīng)的是完全隨機網(wǎng)絡(luò)，最為經(jīng)典的模型是ER隨機圖模型。該模型既易于描述又可通過解析方法研究。
ER隨機圖具有兩種形式的定義：

1.1 具有固定邊數(shù)的ER隨機圖G（N,M）

ER隨機圖G（N,M）構(gòu)造算法：
（1）初始化：給定N個節(jié)點和待添加的邊數(shù)M。
（2）隨機連邊：
1）隨機選取一對沒有邊相連的不同的節(jié)點，并在這對節(jié)點之間添加一條邊。
2）重復(fù)步驟1），直至在M對不同的節(jié)點對之間各添加了一條邊。
從另一個等價的角度看，該模型是從所有的具有N個節(jié)點和M條邊的簡單圖中隨機地選取出來的。正是由于隨機性的存在，盡管給定了網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點數(shù)N和邊數(shù)M，如果在計算機上重復(fù)做兩次實驗，生成的網(wǎng)絡(luò)一般也是不同的。因此，嚴(yán)格來說，隨機圖模型并不是指隨機生成的單個網(wǎng)絡(luò)，而是指一簇網(wǎng)絡(luò)。G（N,M）的嚴(yán)格定義是所有圖G上的一個概率分布P(G)：記具有N個節(jié)點和M條邊的簡單圖的數(shù)目為$\Omega$，那么對于任一這樣的簡單圖有P(G)=1/$\Omega$，而對于任一其他圖有P(G)=0。
在討論隨機圖的性質(zhì)時，通常是指這一簇網(wǎng)絡(luò)的平均性質(zhì)。例如，G（N,M）的直徑是指該簇網(wǎng)絡(luò)直徑的平均值，即有：

其中D（G）為圖G的直徑。
采用這種“平均化”的合理性：許多網(wǎng)絡(luò)模型的度量值的分布都具有顯著的尖峰特征，當(dāng)網(wǎng)絡(luò)規(guī)模變大時越來越聚集在這簇網(wǎng)絡(luò)的平均值附近。因此，當(dāng)網(wǎng)絡(luò)規(guī)模趨于無窮時，絕大部分的度量值都會與均值非常接近。

1.2 具有固定連邊概率的ER隨機圖G(N,p)

在模型G(N,p)中不固定總的邊數(shù)，而是把N個節(jié)點中任意兩個不同的節(jié)點之間有一條邊的概率固定為p，構(gòu)造算法如下：
（1）初始化：給定N個節(jié)點以及連邊概率p$\in$[0,1]。
（2）隨機連邊：
1）：選擇一對沒有邊相連的不同的節(jié)點。
2）：生成一個隨機數(shù)r$\in$(0,1)。
3）：如果r<p，那么在這對節(jié)點之間添加一條邊；否則就不添加邊。
4）：重復(fù)步驟1）到3），直至所有的節(jié)點對都被選擇過一次。
上述算法生成的隨機圖具有如下幾種情形：
（1）如果p=0，那么G(N,p)只有一種可能：N個孤立節(jié)點，邊數(shù)M=0。
（2）如果p=1，那么G(N,p)也只有一種可能：N個節(jié)點組成的全耦合網(wǎng)絡(luò)，邊數(shù)M=$\frac{1}{2}$N(N-1)。
（3）如果p$\in$（0，1），那么從理論上說，N個節(jié)點生成具有任一給定的邊數(shù)M$\in$[0,$\frac{1}{2}$N(N-1)]的網(wǎng)絡(luò)都是有可能的。

2、拓?fù)湫再|(zhì)

2.1 邊數(shù)分布

給定網(wǎng)絡(luò)節(jié)點數(shù)N和連邊概率p，生成的隨機圖恰好具有M條邊的概率為標(biāo)準(zhǔn)的二項分布：

其中，

表示具有N個節(jié)點和M條邊的簡單圖的數(shù)量；

表示有M對節(jié)點之間添加了邊，

對節(jié)點之間沒有添加邊。
邊數(shù)分布的平均值：

這一結(jié)果其實是自然的：N個節(jié)點可以組合成N(N-1)/2個節(jié)點對，而每個節(jié)點對之間存在邊的概率都為p。
邊數(shù)分布的方差：

方差刻畫了實際生成模型的邊數(shù)圍繞均值< M >的波動大小。進一步的，為了消除由于網(wǎng)絡(luò)參數(shù)不同而導(dǎo)致邊數(shù)的均值不同所帶來的影響，可以用統(tǒng)計學(xué)中的變異系數(shù)來刻畫所生成的網(wǎng)絡(luò)邊數(shù)偏離均值< M >的程度。
邊數(shù)分布的變異系數(shù)：

可以看到，對于任意給定的連邊概率p$\in$[0,1]，當(dāng)網(wǎng)絡(luò)規(guī)模增大時，邊數(shù)分布也變得越來越窄，也就越能確信仿真生成的模型中的邊數(shù)越接近均值< M >=pN(N-1)/2。
隨機圖的稀疏性：如果連邊概率p與1/N同階，即p=O（1/N），那么有：

這意味著當(dāng)網(wǎng)絡(luò)規(guī)模充分大時所得到的ER隨機圖為稀疏網(wǎng)絡(luò)。

2.2 度分布

網(wǎng)絡(luò)中任意給定節(jié)點恰好與其它k個節(jié)點有邊相連的概率為p${}^k$(1-p) ${}^{N?1?k}$，由于共有$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N?1}{k}\right)$種選取這k個其它節(jié)點的方式，因此網(wǎng)絡(luò)中任一給定節(jié)點的度為k的概率同樣服從二項分布：

度分布的均值：

這一結(jié)果也是自然的：網(wǎng)絡(luò)中任一節(jié)點與其它N-1個節(jié)點中的每個節(jié)點有邊相連的概率都為p。
度分布的方差：

度分布的變異系數(shù)：

同樣可以看到，對于任意給定的連邊概率p$\in$[0,1]，當(dāng)網(wǎng)絡(luò)規(guī)模增大時，度分布也變得越來越窄，也就能確信仿真生成的模型中各節(jié)點的度越接近均值< k >=p(N-1)。
泊松分布：當(dāng)N很大且p很小時，有

從而有：

于是二項分布可近似為泊松分布，即有

在固定平均度< k >的情形，當(dāng)N很大時，p=< k >/(N-1)變得非常小。因此，ER隨機圖也稱為泊松隨機圖。

2.3 聚類系數(shù)與平均路徑長度

網(wǎng)絡(luò)中任一節(jié)點的聚類系數(shù)定義為該節(jié)點的任意兩個鄰居節(jié)點之間有邊相連的概率。對于ER隨機圖G(N,p)而言，兩個節(jié)點之間不論是否具有共同的鄰居節(jié)點，其連接概率均為p。因此，ER隨機圖的聚類系數(shù)為

直觀上，由于ER隨機圖的聚類系數(shù)很小，意味著網(wǎng)絡(luò)中的三角形數(shù)量相對很少。對于ER隨機圖中隨機選取的一個點，網(wǎng)絡(luò)中大約有< k >個其他的點與該點之間的距離為1；大約有< k >${}^2$個其他節(jié)點與該節(jié)點之間的距離為2；以此類推，由于網(wǎng)絡(luò)總的節(jié)點數(shù)為N，設(shè)D${}_{ER}$是ER隨機圖的直徑，大體上應(yīng)該有N$～$< k >${}^{D_{ER}}$。因此，網(wǎng)絡(luò)的直徑和平均路徑長度滿足

這種平均路徑長度為網(wǎng)絡(luò)規(guī)模的對數(shù)增長函數(shù)的特性就是典型的小世界特征。因為lnN值隨N增長得很慢，這就使得即使是規(guī)模很大得網(wǎng)絡(luò)也可以具有很小得平均路徑長度和直徑。

3、巨片的涌現(xiàn)與相變

3.1 隨機圖的演化

ER隨機圖的連通性具有兩個極端情形：
（1）p=0對應(yīng)于N個孤立節(jié)點：最大連通片只包含一個節(jié)點，與網(wǎng)絡(luò)規(guī)模N無關(guān)。
（2）p=1對應(yīng)于全耦合網(wǎng)絡(luò)：最大連通片規(guī)模為N，隨著網(wǎng)絡(luò)規(guī)模的增長而增長。一般而言，如果網(wǎng)絡(luò)中的一個連通片的規(guī)模隨著網(wǎng)絡(luò)規(guī)模的增長而成比例增長，那么該連通片就是一個巨片，因為當(dāng)網(wǎng)絡(luò)規(guī)模充分大時，這個巨片會包含網(wǎng)絡(luò)中相當(dāng)比例的節(jié)點。
直觀上看，隨著連邊概率p的增加，生成的隨機圖中的邊數(shù)也在增加，網(wǎng)絡(luò)的連通性也越來越好。現(xiàn)在的問題是當(dāng)連接概率p從0開始逐漸增加到1時，最大連通片的規(guī)模是如何具體變化的呢？特別的，當(dāng)p多大時才會出現(xiàn)包含網(wǎng)絡(luò)中一定比例節(jié)點的巨片。

3.2 巨片的涌現(xiàn)

前人們系統(tǒng)地研究了當(dāng)N->$\infty$時ER隨機圖的性質(zhì)(包括巨片的出現(xiàn))與概率p之間的關(guān)系。特別的，他們發(fā)現(xiàn)ER隨機圖具有如下的涌現(xiàn)或相變性質(zhì)：ER隨機圖的許多重要性質(zhì)都是突然涌現(xiàn)的：對于任一給定的連邊概率p，要么幾乎每一個G(N，p)的實例都具有某個性質(zhì)Q。要么幾乎每一個這樣的圖都不具有性質(zhì)Q。
這里，如果當(dāng)N->$\infty$時產(chǎn)生一個具有性質(zhì)Q的ER隨機圖的概率為1，那么就稱幾乎每一個ER隨機圖都具有性質(zhì)Q。
當(dāng)N->$\infty$時ER隨機圖的巨片的相對規(guī)模S$\in$[0,1]定義為巨片中所包含的節(jié)點數(shù)占整個網(wǎng)絡(luò)節(jié)點的比例，即一個隨機選擇的節(jié)點不屬于巨片的概率。u=1-S為不屬于巨片的節(jié)點所占的比例。顯然，存在如下兩種可能：
（1）網(wǎng)絡(luò)中不存在巨片，即S=0，u=1；
（2）網(wǎng)絡(luò)中存在巨片，即S>0，u<1。
網(wǎng)絡(luò)中一個隨機選擇的節(jié)點i如果不屬于巨片，那么就說明它也沒有通過q其他任一節(jié)點與巨片相連，也即對于網(wǎng)絡(luò)中的其他任一節(jié)點j，必然有如下兩種情形之一：
（1）節(jié)點i與節(jié)點j之間沒有邊相連：此情形發(fā)生的概率為1-p。
（2）節(jié)點i與節(jié)點j之間有邊相連，但是節(jié)點j不屬于巨片：此情形發(fā)生的概率為pu。
因此，節(jié)點i沒有通過任一節(jié)點與巨片相連的概率為：

對上式兩邊取對數(shù)，有

從而

于是可以得到巨片中節(jié)點的比例S=1-u滿足

上式盡管看上去簡單，卻不存在簡單的解析解。

上圖繪制了平均度< k >取0.5、1、1.5上式三種情形的曲線。圖中的虛線是y=S，當(dāng)< k >小于1時只有一個交點，當(dāng)< k >大于1時還有另外一個交點。基于以下交點，可以得到網(wǎng)路平均度和巨片規(guī)模的關(guān)系如上圖中的（b）所示。
可以看到，在< k >小于1時，S=0意味著不存在巨片；在< k >大于1時，S>0意味著涌現(xiàn)巨片。臨近點< k >${}_c$=1也可通過下式得到：

由于ER隨即圖的平均度是< k >=p（N-1）$\approx$ pN，從而產(chǎn)生巨片的連邊概率p的臨界值為

即當(dāng)p>p${}_c$時，幾乎每一個隨機圖都包含巨片。

4、隨機圖與實際網(wǎng)絡(luò)的比較

4.1 共性特征

ER隨機圖與許多實際網(wǎng)絡(luò)相比具有如下一些共性特征：
（1）稀疏性。實際網(wǎng)絡(luò)往往是稀疏的，而當(dāng)連邊概率p與網(wǎng)絡(luò)規(guī)模的倒數(shù)同階（p$～$ O(1/N))時，ER隨機圖是一個邊數(shù)與網(wǎng)絡(luò)規(guī)模同階的稀疏圖，M$～$ 0(N)。
（2）有巨片。實際網(wǎng)絡(luò)往往存在巨片，當(dāng)p>p${}_c～$ 1/N時，ER隨機圖具有一個包含網(wǎng)絡(luò)中相當(dāng)比例節(jié)點的巨片。
（3）小世界。ER隨機圖的平均距離大體上是網(wǎng)絡(luò)規(guī)模的對數(shù)函數(shù)，L$～$InN/ln< k >，而實際網(wǎng)絡(luò)往往也具有與相同規(guī)模和密度的ER隨機圖相近的平均距離。

4.2 不同特征

但是，ER隨機圖也具有一些與實際網(wǎng)絡(luò)顯著不同的特征。
（1）聚類特性的差異。對于固定的網(wǎng)絡(luò)密度，當(dāng)N→∞時，ER隨機圖的聚類系數(shù)C${}_{ER}$=< k >/(N-1)->0，意味著ER隨機圖沒有聚類特性。例如，假設(shè)全世界70億人組成的社會網(wǎng)絡(luò)近似具有ER隨機圖結(jié)構(gòu)，那么即使平均每人有1000個朋友，網(wǎng)絡(luò)的聚類系數(shù)也會非常小(C$\approx$ 10${}^{?7}$)。實際網(wǎng)絡(luò)卻往往具有明顯的聚類特性，它們的聚類系數(shù)比相同規(guī)模的ER隨機圖的聚類系數(shù)高得多。
（2）度分布的差異。ER隨機圖的度分布近似服從均勻的泊松分布，意味著網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點的度基本都集中在平均度< k >附近。另一方面，實際網(wǎng)絡(luò)的度分布往往具有較為明顯的非均勻特征：網(wǎng)絡(luò)中會存在少量度相對很大的節(jié)點，從而意昧著網(wǎng)絡(luò)度分布與均勻的泊松分布有顯著偏離。

三、廣義隨機圖

1、配置模型

人們可以從多個角度對ER隨機圖進行擴展以使其更接近實際網(wǎng)絡(luò)。其中一個自然的推廣就是具有任一給定度分布、但在其它方面完全隨機的的廣義隨機圖。到目前為止研究最多的廣義隨機圖模型是配置模型。在配置模型中事先給定的是網(wǎng)絡(luò)的度序列{d${}_1$，d${}_2$，，，d${}_N$}，其中非負(fù)整數(shù)d${}_i$為節(jié)點i的度。顯然，度序列并不能完全任一給定，否則有可能無法生成符合度序列的簡單圖。兩個顯而易見的必要條件是：
（1）由于網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點的度值之和等于網(wǎng)絡(luò)中所有邊數(shù)的度值之和的兩倍，${\sum }_{i=1}^N$d${}_i$必須為偶數(shù)并且有：

（2）d${}_i$<=N-1，i=1，2，，，N，等號只有當(dāng)一個節(jié)點與其它所有的節(jié)點都相連時才能成立。
在上述條件的基礎(chǔ)上少許加以推廣，就可得到如下的充要條件：
**定理：**一個非負(fù)整數(shù)序列{d${}_1$，d${}_2$，，，d${}_N$}是某個簡單圖的度序列的充要條件為：
（1）${\sum }_{i=1}^N$d${}_i$為偶數(shù)。
（2）對于每個整數(shù)k，1<=k<=N，均有

例如，驗證整數(shù)序列{6，6，5，4，4，2，1}是否為某個簡單圖的度序列如下：

所以，上述整數(shù)序列不可能為某個簡單圖的度序列。
另一種給定度序列的等價方法是給定網(wǎng)絡(luò)中度為k的節(jié)點數(shù)目。n（k），k=0，1，2，，，k${}_{max}$。網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點數(shù)N和邊數(shù)M滿足

生成具有給定度序列的廣義隨即圖的配置模型算法如下：
（1）初始化：根據(jù)給定度序列確定N個節(jié)點的度值。
（2）引出線頭：從度為k${}_i$的節(jié)點i引出k${}_i$。共有${\sum }_{i=1}^N$k${}_i$=2M個線頭，M為網(wǎng)絡(luò)的邊數(shù)。
（3）隨機配對：完全隨機的選取一對線頭，把他們連在一起，形成一條邊；再在剩余的線頭中完全隨機地選取另一對線頭連成一條邊；以此進行下去，直至用完所有的線頭。
關(guān)于配置模型算法的幾點說明：
（1）度序列應(yīng)滿足的條件。由于任一無向網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點的度之和${\sum }_i$k${}_i$必然為偶數(shù)，因此，給定的度序列也必須滿足這一條件。
（2）生成具有給定度分布的網(wǎng)絡(luò)。我們可以首先基于該度分布生成一組度序列，然后再利用上述配置模型算法。
（3）等概率隨機配對。配置模型算法中的任意兩個線頭之間相連的可能性都是一樣的。正是基于這一特性，我們可以從理論上分析配置模型的一些性質(zhì)。
（4）生成模型的不唯一性。由于配置模型算法中的隨機配對，對于給定的度序列，重復(fù)兩次實驗得到的具有相同度序列的模型在其他方面可能有很大區(qū)別。事實上，2M個線頭兩兩配對組成M條邊，共有M(2M -1)種可能的配置方案，采用上述生成算法得到其中每一種配置方案的可能性都是一樣的。當(dāng)然，不同的配置方案并不一定對應(yīng)于不同的網(wǎng)絡(luò)。例如，下圖中所示的包含3個節(jié)點的配置方案都是相同的。其中，每個節(jié)點旁邊的兩個字母對應(yīng)于從該節(jié)點引出的兩個線頭。

（5）有可能產(chǎn)生自環(huán)和重邊。我們當(dāng)然可以在算法中的配對步驟不允許自環(huán)和重邊，但是這樣的話，線頭之間的配對就不在是完全隨機的了，從而使得難以對該模型做理論分析。

2、配置模型的理論分析

2.1 余平均度

配置模型的一個好處是可以基于該模型從理論上研究一些問題。我們知道，平均度為：

節(jié)點的余平均度為：

一個給定網(wǎng)絡(luò)的余平均度定義為網(wǎng)絡(luò)中每個節(jié)點的余平均度的平均值：

它反映了網(wǎng)絡(luò)中隨機選取的一個節(jié)點的鄰居節(jié)點的平均度。
實際網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點的鄰居節(jié)點的平均度往往大于網(wǎng)絡(luò)節(jié)點的平均度。

2.2 余度分布

我們知道，網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點的平均度與度分布之間具有如下關(guān)系：

類似的，余平均度也可以通過余度分布來計算

其中，余度分布P${}_n$(k)$\equiv$q${}_k$定義為網(wǎng)絡(luò)中隨機選取的一個節(jié)點的隨機選取的一個鄰居節(jié)點的度為k的概率。
現(xiàn)在我們計算配置模型的余度分布。要從一個隨機選擇的節(jié)點及另一個線頭產(chǎn)生一條邊，我們是從其它2M-1個線頭中完全隨機地任選一個，然后把這兩個線頭連在一起形成一條邊。由于每個度為k的節(jié)點都有k個線頭，因此從一個給定節(jié)點沿著一條邊到達一個鄰居節(jié)點的度為k的概率為k/(2M-1)$\approx$k/2M。而網(wǎng)絡(luò)中度為k的節(jié)點總數(shù)為Np${}_k$，因此一個隨機選擇的節(jié)點與網(wǎng)絡(luò)中任一度為k的節(jié)點有邊相連的概率為：

其中利用了2M=N< K >。
上式意味著在給定網(wǎng)絡(luò)平均度的情形下，從網(wǎng)絡(luò)中一個隨機選擇的節(jié)點出發(fā)，沿著一條邊到達一個度為k的鄰居節(jié)點的概率與kp${}_k$而不是與p${}_k$成正比。也就是說，到達的可能是比一個典型節(jié)點的度更高的節(jié)點。
基于上式，配置模型中隨機選取的一個節(jié)點的鄰居節(jié)點的平均度為：

這一結(jié)論與對于度不相關(guān)網(wǎng)絡(luò)的到的結(jié)論是一致的，于是有：

其中，網(wǎng)絡(luò)度分布的方差${\sigma }^2$總是非負(fù)的。事實上，除非網(wǎng)絡(luò)中的每個節(jié)點都有相同的度，否則方差${\sigma }^2$是嚴(yán)格為正的，此時平均度< k >當(dāng)然也大于0。因而有

盡管此式子是基于配置模型推導(dǎo)出來的，但是這一結(jié)論在許多實際網(wǎng)絡(luò)任然是成立的。

四、隨機模型與零模型

1、零模型

我們把一個實際網(wǎng)絡(luò)具有相同的節(jié)點數(shù)和相同的某些性質(zhì)A的隨機網(wǎng)絡(luò)稱為該隨機網(wǎng)絡(luò)的隨機化網(wǎng)絡(luò)。這里的某些性質(zhì)A可以是平均度、度分布、聚類系數(shù)、同配系數(shù)等，或者是他們的某種組合。從統(tǒng)計學(xué)角度看，“具有性質(zhì)A的網(wǎng)絡(luò)G也具有某一性質(zhì)P”是一個零假設(shè)，而為了要驗證這一零假設(shè)是否成立，就需要有與原網(wǎng)絡(luò)G具有相同規(guī)模和相同性質(zhì)A的隨機化網(wǎng)絡(luò)作為參考系，以判別性質(zhì)P是否為這類隨機化網(wǎng)絡(luò)的典型特征。這類隨機化網(wǎng)絡(luò)模型在統(tǒng)計學(xué)上稱為零模型。
ER隨即圖可以視為階數(shù)最低的零模型。有時我們需要具有更多約束條件的零模型：
（1）0階零模型：與原網(wǎng)絡(luò)具有相同節(jié)點數(shù)和邊數(shù)的隨機化網(wǎng)絡(luò)。
（2）1階零模型：與原網(wǎng)絡(luò)具有相同節(jié)點數(shù)和度分布的隨機化網(wǎng)絡(luò)。通常的做法是每個節(jié)點的度值都保持不變。
（3）2階零模型：與原網(wǎng)絡(luò)具有相同節(jié)點數(shù)和二階度相關(guān)特性（即聯(lián)合分布）的隨機化網(wǎng)絡(luò)。有時也考慮與原網(wǎng)絡(luò)具有相同同配系數(shù)的隨機化網(wǎng)絡(luò)。
（4）3階零模型：與原網(wǎng)絡(luò)具有相同節(jié)點數(shù)和三階度相關(guān)特性（即聯(lián)合邊度分布）的隨機化網(wǎng)絡(luò)。

如圖所示，3個節(jié)點構(gòu)成的三元組有如下兩種情況，因此3階度相關(guān)特性P(k${}_1$,k${}_2$,k${}_3$)是由P${}_{\Lambda }$(k${}_1$,k${}_2$,k${}_3$)與P${}_{\Delta }$(k${}_1$,k${}_2$,k${}_3$)共同組成的。
以此類推，我們還可以定義更高階的零模型。

上圖是一個簡單網(wǎng)絡(luò)及其0到3階度相關(guān)性質(zhì)。該網(wǎng)絡(luò)拓?fù)淇捎善?階度相關(guān)性質(zhì)完全表征。
顯然，對于一個給定網(wǎng)絡(luò)G和任意自然數(shù)d${}_1$<d${}_2$，具有與網(wǎng)絡(luò)G相同的d${}_2$階分布的模型集合一定是與網(wǎng)絡(luò)G具有相同的d${}_1$階分布的模型集合的子集，而網(wǎng)絡(luò)G的d階零模型的性質(zhì)就取為與網(wǎng)絡(luò)G具有相同的d階分布的模型集合性質(zhì)的平均。隨著d的增大，d階零模型將越來越接近給定網(wǎng)絡(luò)G。如下圖所示：

2、隨機重連

假設(shè)我們已經(jīng)有了某個實際網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)鋽?shù)據(jù)，其中包含節(jié)點之間是如何連接的完全信息(當(dāng)然也就包含了度序列的信息)。如果要生成一個與這個網(wǎng)絡(luò)具有相同度序列的隨機網(wǎng)絡(luò)模型，要怎么做？
如果嚴(yán)格要求不允許重邊或自環(huán)，那么就不能用配置模型算法。因為有限制條件，這個網(wǎng)絡(luò)的形成也不是完全隨機的。這是，就可以在原始網(wǎng)絡(luò)的基礎(chǔ)上，保持每個節(jié)點的度不變，但是使得連邊的位置盡可能的隨機化，以得到一個具有給定度序列的隨機網(wǎng)絡(luò)，此過程所用的算法就是隨機重連算法。

（1）生成0階零模型的隨機重連算法。每次隨機取出原網(wǎng)絡(luò)中的一條邊k${}_1$k${}_2$，再隨機選擇網(wǎng)絡(luò)中兩個不相鄰的節(jié)點k${}_3$和k${}_4$，并在他們之間添加一條連邊k${}_3$k${}_4$。重復(fù)此過程充分多次。
（2）生成1階零模型的隨機重連算法。每次隨機選擇原網(wǎng)絡(luò)中的兩條邊，記為k${}_1$k${}_2$和k${}_3$k${}_4$如果k${}_1$、k${}_2$、k${}_3$、k${}_4$這四個節(jié)點之間只有這兩條邊，那么就去除這兩條邊，并將節(jié)點k${}_1$和k${}_4$相連，k${}_2$和k${}_3$相連。從而得到兩條新邊k${}_1$k${}_4$和k${}_2$k${}_3$。注意到這4個節(jié)點的度值均保持不變，故網(wǎng)絡(luò)的度序列仍保持不變。重復(fù)此過程充分多次。
（3）生成2階零模型的隨機重連算法。對應(yīng)于保持聯(lián)合度分布不變，每一步采取與1階零模型相同的步驟，只是多了一個限制，即要求節(jié)點k${}_2$與k${}_4$具有相同的度值。顯然，由于這一限制，使得重連得可能性也小了。重復(fù)此過程充分多次。
隨著零模型階次的增加，約束條件進一步加強，重連的可能性會不斷減小，生成網(wǎng)絡(luò)的隨機化程度也逐漸降低。
上述隨機重連算法也可以推廣到有向圖。

五、基于零模型的拓?fù)湫再|(zhì)分析

1、比較判斷

在前面介紹網(wǎng)絡(luò)的社團結(jié)構(gòu)分析時敘述過，基于模塊度的社團檢測算法的基本想法就是把待研究的網(wǎng)絡(luò)與具有相同度序列的一階零模型做比較，以判斷劃分的社團結(jié)構(gòu)是否最優(yōu)。一般而言，基于零模型研究網(wǎng)絡(luò)特征時需要明確兩點：
（1）確定零模型。根據(jù)所要研究的特征，確定合適的保持低階特征不變的零模型。例如要研究的是度相關(guān)性(屬于二階特征)，那么就可以選擇保持度分布或度序列(一階特征)不變的一階零模型。
（2）確定比較方法。把實際網(wǎng)絡(luò)的特征與相應(yīng)的零模型做比較。具體的說，假設(shè)某種拓?fù)湫再|(zhì)在一個實際網(wǎng)絡(luò)中出現(xiàn)的次數(shù)為N(j)，在相應(yīng)的隨機化網(wǎng)絡(luò)中出現(xiàn)次數(shù)的平均值為< N(j) >，那么可以計算如下比值：

如果R(j)>1（或R(j)<1），那么就意味著實際網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計或者演化過程促進（或抑制）了該拓?fù)涮卣鞯某霈F(xiàn)。
如果要進一步刻畫某個拓?fù)淠Ｊ皆趯嶋H網(wǎng)絡(luò)中出現(xiàn)的頻率與相應(yīng)隨機化網(wǎng)絡(luò)中出現(xiàn)的頻率的差異是否顯著，那么可以采用統(tǒng)計學(xué)中的Z檢驗方法。具體的說，拓?fù)湫再|(zhì)j的統(tǒng)計重要性可用如下的Z值來刻畫：

其中，${\sigma }_r$(j)為隨機化網(wǎng)絡(luò)中拓?fù)湫再|(zhì)j的出現(xiàn)次數(shù)N${}_r$(j)的標(biāo)準(zhǔn)差。Z值得絕對值越大就表示差異越顯著。
通常得做法是在平面上繪制出比值R和Z值的圖形，稱為相關(guān)性剖面。為了便于比較不同規(guī)模的網(wǎng)絡(luò)，通常對Z值做歸一化處理，得到重要性剖面：

2、度相關(guān)性分析

網(wǎng)絡(luò)的聯(lián)合概率分布可以表示為：

其中m(k${}_1$,k${}_2$)是度為k${}_2$的節(jié)點和度為k${}_2$的節(jié)點之間的連邊數(shù)。如果k${}_1$=k${}_2$，那么$\mu$(k${}_1$,k${}_2$)=1。
我們可以通過比較一個實際網(wǎng)絡(luò)的m(k${}_1$,k${}_2$)及其相應(yīng)的1階零模型所對應(yīng)的均值< m(k${}_1$,k${}_2$) >來分析實際網(wǎng)絡(luò)的度相關(guān)性。具體的說，可以計算并繪制如下的相關(guān)性剖面：


上圖顯示的是雙對數(shù)坐標(biāo)下的互聯(lián)網(wǎng)拓?fù)涞南嚓P(guān)性剖面，該圖反映了互聯(lián)網(wǎng)拓?fù)溲莼娜缦绿卣?#xff1a;
（1）小度（k${}_1$<=3,k${}_2$>=1）之間的的連邊受到很強的抑制，R值和Z值趨于最小。
（2）中度節(jié)點（k${}_1$<100,k${}_2$>=10）之間的連邊也受到抑制，R值和Z值都比較小。
（3）小度節(jié)點（1<=k${}_1$<=3）與中度節(jié)點（10<=k${}_2$<100）之間的連邊數(shù)量顯著增強，R值和Z值都趨于最大。
（4）度最大的5個節(jié)點（k${}_1$，k${}_2$>300）中的任意兩個節(jié)點之間都有一條邊。在典型的一階隨機化網(wǎng)絡(luò)中也具有這一特征，因此，R值接近1而Z值接近0。

3、模體分析

零模型的另一個典型應(yīng)用是網(wǎng)絡(luò)的模塊化分析，在實際網(wǎng)絡(luò)中，并非所有的子圖都具有相同的重要性。
實際網(wǎng)絡(luò)可能包含各種各樣的子圖，其中一些子圖所占的比例明顯高于相應(yīng)的零模型中這些子圖所占的比例，這些子圖稱為模體，辨識出模體有助于識別網(wǎng)絡(luò)的典型局部連接模式。
為了判斷實際網(wǎng)絡(luò)中的一個子圖j是否為模體，可以比較該子圖在實際網(wǎng)絡(luò)中出現(xiàn)的次數(shù)N(j)與在相應(yīng)的隨機化網(wǎng)絡(luò)中出現(xiàn)次數(shù)的平均值< N${}_r$(j) >，一般要求

此外，在具體操作時可進一步要求：
（1）該子圖在與該實際網(wǎng)絡(luò)對應(yīng)的隨機化網(wǎng)絡(luò)中出現(xiàn)的次數(shù)大于它在實際網(wǎng)絡(luò)中出現(xiàn)次數(shù)的概率是很小的，通常要求這個概率小于某個閾值P；
（2）該子圖在實際網(wǎng)絡(luò)中出現(xiàn)的次數(shù)N(j)不小于某個下限U。

網(wǎng)絡(luò)中每個子圖j的統(tǒng)計重要性可通過重要性剖面來刻畫。上圖給出了取自不同領(lǐng)域的19個有向網(wǎng)絡(luò)中包含的所有可能的13個三元組要性剖面(TSP)，它們反映了這13個三元組在網(wǎng)絡(luò)中的相對重要性。這樣就可以根據(jù)TSP對網(wǎng)絡(luò)進行分類，具有相似TSP的網(wǎng)絡(luò)組成一個網(wǎng)絡(luò)超家族。從上圖可以清楚地看出，19個不同領(lǐng)域的實際網(wǎng)絡(luò)組成了4個網(wǎng)絡(luò)超家族。

4、同配性質(zhì)分析

前面基于零模型我們分析了無向網(wǎng)絡(luò)的度相關(guān)性，現(xiàn)在再進一步基于零模型分析有向網(wǎng)絡(luò)的度相關(guān)性。
前面的文章中講過，無向網(wǎng)絡(luò)的度同配性質(zhì)反映了度值相近的節(jié)點之間互相連接的傾向性，它可以用如下的同配系數(shù)來表征：

r>0對應(yīng)于同配，r<0對應(yīng)于異配。一般而言，同配系數(shù)的大小是與網(wǎng)絡(luò)規(guī)模和密度相關(guān)的。因此，一種更為合理的評價是把一個實際網(wǎng)絡(luò)的同配系數(shù)與相應(yīng)的零模型的同配系數(shù)做比較以判斷網(wǎng)絡(luò)的同配或異配程度。

在有向網(wǎng)絡(luò)情形，邊的方向有可能對網(wǎng)絡(luò)的同配性質(zhì)產(chǎn)生重要影響。一個有向網(wǎng)絡(luò)的同配性可以有如下4種度量：r（out，in），r（in，out），r（out，out）和r（in，in）。其中，r（out，in）量化的是高出度的節(jié)點有邊指向高入度的節(jié)點的傾向性程度，其余三種的定義類似。上圖為有向網(wǎng)絡(luò)的4種度相關(guān)性。
我們用$\alpha ,\beta \in$[in,out]標(biāo)記出度或者入度類型，并把有向邊i的源節(jié)點和目標(biāo)節(jié)點的$\alpha$度和$\beta$度分別記為j${}_i^{\alpha }$和k${}_i^{\beta }$。有向網(wǎng)絡(luò)的一組同配系數(shù)可以用如下的Pearson相關(guān)系數(shù)刻畫：

M為網(wǎng)絡(luò)邊數(shù)，<*>是平均值。這里規(guī)定每種情形下，邊都是從$\alpha$標(biāo)度的節(jié)點指向$\beta$標(biāo)度的節(jié)點。
每個相關(guān)性r（$\alpha$，$\beta$）的統(tǒng)計重要性可通過Z值來刻畫：

其中< r${}_r$（$\alpha$，$\beta$）>和${\sigma }_r$（$\alpha$，$\beta$）分別為一階零模型的同配系數(shù)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。通常網(wǎng)絡(luò)規(guī)模越大Z值也越大，但我們可以對Z值作歸一化處理以消除網(wǎng)絡(luò)規(guī)模的影響，得到如下定義的同配重要性剖面(ASP)：

ASP（$\alpha$，$\beta$）>0表明實際網(wǎng)絡(luò)比具有相同度序列的零模型更為同配，此時稱網(wǎng)絡(luò)是Z同配的；ASP（$\alpha$，$\beta$）<0則表明實際網(wǎng)絡(luò)比相應(yīng)的零模型更為異配，此時稱網(wǎng)絡(luò)是Z異配的。

總結(jié)

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