美式期權二叉樹定價及MATLAB程序

金融隨機分析課程

美式期權的二叉樹定價

1、對于連續隨機游走： 可以用離散格隨機游走模型來表示，即標的資產的價格只在離散時間點，2,3,…,N取值，表示很小但非無窮小的時間步長；如果標的資產在時刻m的價格為，那么在時刻 m+1 其價格有兩種可能的值:和，并且標的資產的價格從上升到的概率為p。

2、風險中性假設在風險中性條件下，隨機微分方程：

中的可以用r來表示。即

風險中性條件下，在時刻m衍生證券的價格是其在時刻 m+1 的期望值按照無風險利率r貼現所得到的，即。

期權的計算

期權的計算是從二叉樹圖的末端(時刻T)開始向后倒退進行的。T時刻期權的價值已知。對于一個看漲期權來說，有

對于一個看跌期權來說，有

其中，n 0,1,2,…,N, K為執行價格。

在風險中性條件下，時刻的每個結點上的期權值都可以用T時刻期權價值的期望值在時間內用利率r貼現求出；同理，時刻的每個結點的期權值可以用時刻的期望值在時間內用利率r貼現求出，其它結點依次類推。

而如果對于美式期權，必須檢查二叉樹圖的每個結點，以確定提前執行是否比繼續持有時間更為有利。最后，向后倒推通過所有結點就求出了當前時刻的期權價值。

下面對美式期權定價問題進行研究：

美式看漲期權被提前執行時，其內涵價值為

n 0,1,2,…,m

對于看期權來說，有

n 0,1,2,…,m

在m時刻從節點 m,n 向 m+1 時刻的結點 m+1,n+1 移動的概率為p；向 m+1 時刻的結點 m+1,n 移動的概率為1-p。

假設期權不提前執行，有：

若期權提前執行，必須與內涵價值相比較。那么，對于看漲期權，有

對于看跌期權，有

計算美式看漲期權的價格的Matlab實現(基于具體的算例)

Matlab程序如下：

%輸入具體參數

S0 100; %當前股價

K 105; %執行價格

r 0.05; %利率

T 1; %期權有效期

sigma 0.3; %波動率

q 0.02; %紅利率

n 1000; %步數

dt T/n; %時間步長

%計算二叉樹各參數

u exp sigma*sqrt dt ; %計算上升比率

d 1/u; %計算下降比率

p exp r-q *dt -d / u-d ; %計算上升的概率

%構造二叉樹矩陣，i表示行數，j表示列數，Sx為股價矩陣，fx為期權的內在價值

for j 1:n+1 for i 1:j Sx i,j S0* u^ j-i * d^ i-1 ; fx i,j max Sx i,j -K,0 ; end;

end;

%計算美式期權價格矩陣Afx和歐式期權價格矩陣Efx

for i 1:n+1 %到期時 j n+1 期權價格 Afx i,n+1 fx i,n+1 ; Efx i,n+1 fx i,n+1 ;

end;

for jj 1:n %倒推前面各期 j n-1,n-2,…,1 期權價格 j n+1-jj; for i 1:j Efx i,j exp -r*dt * p*Efx i,j+1 + 1-p *Efx i+1,j+1 ; Afx i,j max exp -r*dt * p*Afx i,j+1 + 1-p *Afx i+1,j+1 ,fx i,j ; end;

end;

%輸出結果

AmeOptionPrice Afx 1,1

ErouOptionPrice Efx 1,1

AmeOptionPrice 10.座機電話號碼587509

ErouOptionPrice 10.座機電話號碼424911

總結

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