http://www.csie.ntnu.edu.tw/~u91029/PointLinePlane.html

內積後取絕對值，求得的是投影量，再除以投影標的的單位向量，則得到投影長度。

外積後取絕對值，求得的是平行四邊形的面積量，再除以底的單位向量，則得到高。

struct?Point?{double?x,?y;};????//?點的資料結構

typedef?Point?Vector;???????????//?向量的資料結構，和點一樣

?

//?向量的長度

double?length(Vector&?v)

{

????return?sqrt(v1.x?*?v1.x?+?v2.y?*?v2.y);

//??return?sqrt(dot(v,?v));

}

?

void?print_d1_and_d2()

{

????Point?p,?p1,?p2;

????Vector?v1?=?p1?-?p,?v2?=?p2?-?p;

????cout?<<?"d1:"?<<?fabs(dot(v1,?v2))?/?length(v1);

????cout?<<?"d2:"?<<?fabs(cross(v1,?v2))?/?length(v1);

}

內積、外積跟角度的關係

void?print_θ()

{

????Point?p,?p1,?p2;

????Vector?v1?=?p1?-?p,?v2?=?p2?-?p;

????double?l1?=?length(v1),?l2?=?length(v2);

????cout?<<?"cos(θ):"?<<?dot(v1,?v2)?/?l1?/?l2;

????cout?<<?"sin(θ):"?<<?cross(v1,?v2)?/?l1?/?l2;

????cout?<<?"θ:"?<<?acos(dot(v1,?v2)?/?l1?/?l2);????//?[0,?π]

????cout?<<?"θ:"?<<?asin(cross(v1,?v2)?/?l1?/?l2);??//?[-π/2,?π/2]

}

注意到 acos 與 asin 的回傳值，回傳的結果是弳度量（ radian ）而非度度量（ grade ），而且回傳值的範圍也不同。一般都以內積與 acos 求得介於 0? 到 180? 之間的夾角大小。

內積與向量夾角

利用內積的性質，可以粗略判斷夾角大小：內積大於 0 時，兩向量夾角小於 90? ；等於 0 時，夾角等於 90? ；小於零時，夾角大於 90? 且小於 180? 。

//?向量oa與向量ob進行內積。可以判斷∠aob之大小。

double?dot(Point&?o,?Point&?a,?Point&?b)

{

????return?(a.x-o.x)?*?(b.x-o.x)?+?(a.y-o.y)?*?(b.y-o.y);

}

外積與向量旋轉

外積大於 0 時，兩向量前後順序為逆時針順序（在 180? 之內）；等於 0 時，兩向量平行，也就是指夾角等於 0? 或 180? ；小於 0 時，兩向量前後順序為順時針順序（在 180? 之內）。

//?向量oa與向量ob進行外積，可以判斷oa到ob旋轉的方向。

double?cross(Point&?o,?Point&?a,?Point&?b)

{

????return?(a.x-o.x)?*?(b.y-o.y)?-?(a.y-o.y)?*?(b.x-o.x);

}

舉例來說，要判斷多邊形凹凸，就沿著多邊形外圍繞一圈，看看每一條邊是不是折向同方向即可。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的基本的计算几何的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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