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概念

平面內(nèi)兩條線(xiàn)段位置關(guān)系的判定在很多領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用，比如游戲、CAD、圖形處理等，而兩線(xiàn)段交點(diǎn)的求解又是該算法中重要的一環(huán)。本文將盡可能用通俗的語(yǔ)言詳細(xì)的描述一種主流且性能較高的判定算法。

外積，又稱(chēng)叉積，是向量代數(shù)（解析幾何）中的一個(gè)概念。兩個(gè)二維向量v₁(x₁, y₁)和v₂(x₂, y₂)的外積v₁×v₂=x₁y₂-y₁x₂。如果由v₁到v₂是順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，外積為負(fù)，反之為正，為0表示二者方向相同（平行）。此外，文中涉及行例式和方程組的概念，請(qǐng)參閱線(xiàn)性代數(shù)的相關(guān)內(nèi)容。

為方便計(jì)算，對(duì)坐標(biāo)點(diǎn)的大小比較作如下定義：x坐標(biāo)較大的點(diǎn)為大，x坐標(biāo)相等但y坐標(biāo)較大的為大，x與y都相等的點(diǎn)相等。一條線(xiàn)段中較小的一端為起點(diǎn)，較大的一端為終點(diǎn)。

?

問(wèn)題

給定兩條線(xiàn)段的端點(diǎn)坐標(biāo)，求其位置關(guān)系，并求出交點(diǎn)（如果存在）。

?

分析

兩條線(xiàn)段的位置關(guān)系大體上可以分為三類(lèi)：有重合部分、無(wú)重合部分但有交點(diǎn)（相交）、無(wú)交點(diǎn)。為避免精度問(wèn)題，首先要將所有存在重合的情況排除。

重合可分為：完全重合、一端重合、部分重合三種情況。顯然，兩條線(xiàn)段的起止點(diǎn)都相同即為完全重合；只有起點(diǎn)相同或只有終點(diǎn)相同的為一端重合（注意：坐標(biāo)較小的一條線(xiàn)段的終點(diǎn)與坐標(biāo)較大的一條線(xiàn)段的起點(diǎn)相同時(shí)應(yīng)判定為相交）。要判斷是否部分重合，必須先判斷是否平行。設(shè)線(xiàn)段L₁(p₁->p₂)和L₂(p₃->p₄)，其中p1(x₁, y₁)為第一條線(xiàn)段的起點(diǎn)，p₂(x₂, y₂)為第一條線(xiàn)段的終點(diǎn)，p₃(x₃, y₃)為第二條線(xiàn)段的起點(diǎn)，p₄(x₄, y₄)為第二段線(xiàn)段的終點(diǎn)，由此可構(gòu)造兩個(gè)向量：

• v₁(x₂-x₁, y₂-y₁)，v₂(x₄-x₃, y₄-y₃)

若v₁與v₂的外積v₁×v₂為0，則兩條線(xiàn)段平行，有可能存在部分重合。再判斷兩條平行線(xiàn)段是否共線(xiàn)，方法是用L1的一端和L2的一端構(gòu)成向量v_s并與v₂作外積，如果v_s與v₂也平行則兩線(xiàn)段共線(xiàn)（三點(diǎn)共線(xiàn)）。在共線(xiàn)的前提下，若起點(diǎn)較小的線(xiàn)段終點(diǎn)大于起點(diǎn)較大的線(xiàn)段起點(diǎn)，則判定為部分重合。

沒(méi)有重合，就要判定兩條線(xiàn)是否相交，主要的算法還是依靠外積。然而外積的計(jì)算開(kāi)銷(xiāo)比較大，如果不相交的情況比較多，可先做快速排斥實(shí)驗(yàn)：將兩條線(xiàn)段視為兩個(gè)矩形的對(duì)角線(xiàn)，并構(gòu)造出這兩個(gè)矩形。如果這兩個(gè)矩形沒(méi)有重疊部分（x坐標(biāo)相離或y坐標(biāo)相離）即可判定為不相交。

然后執(zhí)行跨立試驗(yàn)。兩條相交的線(xiàn)段必然相互跨立，簡(jiǎn)單的講就是p₁和p₂兩點(diǎn)位于L₂的兩側(cè)且p₃和p₄兩點(diǎn)位于L₁的兩側(cè)，這樣就可利用外積做出判斷了。分別構(gòu)造向量s₁(p₃, p₁), s₂(p₃, p₂)，如果s₁×v₂與s₂×v₂異號(hào)(s₁->v₂與s₂->v₂轉(zhuǎn)動(dòng)的方向相反），則說(shuō)明p₁和p₂位于L₂的兩側(cè)。同理可判定p₃和p₄是否跨立L₁。如果上述四個(gè)叉積中任何一個(gè)等于0，則說(shuō)明一條線(xiàn)段的端點(diǎn)在另一條線(xiàn)上。

當(dāng)判定兩條線(xiàn)段相交后，就可以進(jìn)行交點(diǎn)的求解了。當(dāng)然，求交點(diǎn)可以用平面幾何方法，列點(diǎn)斜式方程來(lái)完成。但這樣作會(huì)難以處理斜率為0的特殊情況，且運(yùn)算中會(huì)出現(xiàn)多次除法，很難保證精度。這里將使用向量法求解。

設(shè)交點(diǎn)為(x₀, y₀)，則下列方程組必然成立：

x₀-x₁=k₁(x₂-x₁)

y₀-y₁=k₁(y₂-y₁)

x₀-x₃=k₂(x₄-x₃)

y₀-y₃=k₂(y₄-y₃)

其中k₁和k₂為任意不為0的常數(shù)（若為0，則說(shuō)明有重合的端點(diǎn)，這種情況在上面已經(jīng)被排除了）。1式與2式聯(lián)系，3式與4式聯(lián)立，消去k₁和k₂可得：

x₀(y₂-y₁)-x₁(y₂-y₁)=y₀(x₂-x₁)-y₁(x₂-x₁)

x₀(y₄-y₃)-x₃(y₄-y₃)=y₀(x₄-x₃)-y₃(x₄-x₃)

將含有未知數(shù)x₀和y₀的項(xiàng)移到左邊，常數(shù)項(xiàng)移動(dòng)到右邊，得：

(y₂-y₁)x₀+(x₁-x₂)y₀=(y₂-y₁)x₁+(x₁-x₂)y₁

(y₄-y₃)x₀+(x₃-x₄)y₀=(y₄-y₃)x₃+(x₃-x₄)y₃

設(shè)兩個(gè)常數(shù)項(xiàng)分別為b₁和b₂：

• b₁=(y₂-y₁)x₁+(x₁-x₂)y₁
• b₂₌(y₄-y₃)x₃+(x₃-x₄)y₃

系數(shù)行列式為D，用b₁和b₂替換x₀的系數(shù)所得系數(shù)行列式為D₁，替換y₀的系數(shù)所得系數(shù)行列式為D₂，則有：

• |D|=(x₂-x₁)(y₄-y₃)-(x₄-x₃)(y₂-y₁)
• |D₁|=b₂(x₂-x₁)-b₁(x₄-x₃)
• |D₂|=b₂(y₂-y₁)-b₁(y₄-y₃)

由此，可求得交點(diǎn)坐標(biāo)為：

• x₀=|D₁|/|D|, y₀=|D₂|/|D|

解畢。

判斷兩線(xiàn)段相交
經(jīng)典方法，就是跨立試驗(yàn)了，即如果一條線(xiàn)段跨過(guò)另一條線(xiàn)段，則線(xiàn)段的兩個(gè)端點(diǎn)分別在另一條線(xiàn)段的兩側(cè)。但是，還需要檢測(cè)邊界情況，即兩條線(xiàn)段中可能某條線(xiàn)段的某個(gè)端點(diǎn)正好落在另一條線(xiàn)段上。這也是算法導(dǎo)論中介紹的算法。
程序模擬如下：

int direction(point* pi, point* pj, point* pk){

???? point p1, p2;

????

???? p1.x = pk->x - pi->x;

???? p1.y = pk->y - pi->y;

????

???? p2.x = pj->x - pi->x;

???? p2.y = pj->y - pi->y;

????

????return crossProduct(&p1, &p2);

}

int onSegment(point* pi, point* pj, point* pk){

????int minx, miny, maxx, maxy;

????if (pi->x > pj->x){

???????? minx = pj->x;

???????? maxx = pi->x;???

???? }

????else{

???????? minx = pi->x;

???????? maxx = pj->x;

???? }

????

????if (pi->y > pj->y){

???????? miny = pj->y;

???????? maxy = pi->y;???

???? }

????else{

???????? miny = pi->y;

???????? maxy = pj->y;

???? }

????

????if (minx <= pk->x && pk->x <= maxx && miny <= pk->y && pk->y <= maxy)

????????return 1;

????else

????????return 0;

}

int segmentIntersect(point* p1, point* p2, point* p3, point* p4){

????int d1 = direction(p3, p4, p1);

????int d2 = direction(p3, p4, p2);

????int d3 = direction(p1, p2, p3);

????int d4 = direction(p1, p2, p4);

????if (d1 * d2 < 0 && d3 * d4 < 0)

????????return 1;

????else if (!d1 && onSegment(p3, p4, p1))

????????return 1;

????else if (!d2 && onSegment(p3, p4, p2))

????????return 1;

????else if (!d3 && onSegment(p1, p2, p3))

????????return 1;

????else if (!d4 && onSegment(p1, p2, p4))

????????return 1;

????else

????????return 0;

}

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的平面内两条线段的位置关系(相交)判定与交点求解的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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