?隨便取一個 0 到 1 之間的數，再加上另一個 0 到 1 之間的隨機數，然后再加上一個 0 到 1 之間的隨機數??直到和超過 1 為止。一個有趣的問題：平均需要加多少次，才能讓和超過 1 呢？答案是 e 次。

為了證明這一點，讓我們先來看一個更簡單的問題：任取兩個 0 到 1 之間的實數，它們的和小于 1 的概率有多大？容易想到，滿足 x+y<1 的點 (x, y) 占據了正方形 (0, 1)×(0, 1) 的一半面積，因此這兩個實數之和小于 1 的概率就是 1/2 。類似地，三個數之和小于 1 的概率則是 1/6，底面積X高除以3 ，它是平面 x+y+z=1 在單位立方體中截得的一個三棱錐。這個 1/6 可以利用截面與底面的相似比關系，通過簡單的積分求得：

???????∫(0..1) (x^2)*1/2 dx = 1/6

??

?
????可以想到，四個 0 到 1 之間的隨機數之和小于 1 的概率就等于四維立方體一角的“體積”，它的“底面”是一個體積為 1/6 的三維體，在第四維上對其進行積分便可得到其“體積”

???????∫(0..1) (x^3)*1/6 dx = 1/24

????依此類推， n 個隨機數之和不超過 1 的概率就是 1/n! ，反過來 n 個數之和大于 1 的概率就是 1 - 1/n! ，因此加到第 n 個數才剛好超過 1 的概率就是

???????(1 - 1/n!) - (1 - 1/(n-1)!) = (n-1)/n!

????因此，要想讓和超過 1 ，需要累加的期望次數為

???????∑(n=2..∞) n * (n-1)/n! = ∑(n=1..∞) n/n! = e

http://www.matrix67.com/blog/archives/3507

總結

以上是生活随笔為你收集整理的概率和为1的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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