離散數學復習命題公式的范式

離散數學平面圖對偶圖和著色問題

離散數學謂詞邏輯

離散數學-圖的運算與基本概念、導出子圖、路與連通

離散數學關系的基本運算和關系的性質閉包

離散數學-歐拉圖和哈密頓圖

文章目錄

• 偶圖
• • 偶圖的匹配
• 可增廣道

偶圖

偶圖
定義10.2.1 若無向圖G = <V, E>的結點集V能夠劃分為兩個子集V1, V2，滿足V1∩V2 =空集，且V1∪V2 = V，使得G中任意一條邊的兩個端點，一個屬于V1，另一個屬于V2，則稱G為偶圖(Bipartite Graph)或二分圖(Bigraph)。V1和V2稱為互補結點子集，偶圖通常記為G=<V1,E,V2>。
? 偶圖沒有自回路。
? 平凡圖和零圖可看成特殊的偶圖

在偶圖G = <V1, E, V2>中，若V1中的每個結點與V2中的每個結點都有且僅有一條邊相關聯，則稱偶圖G為 完全偶圖(Complete Bipartite Graph)
?或完全二分圖(Complete Bigraph)，記為Ki,j，其中，i = |V1|，j = |V2|。

平凡圖(Trivial graph)指僅有一個結點的圖，是離散數學與圖論的范疇。如果圖G是一個(1，0)圖，則稱為平凡圖，或者說是由一個孤立點組成的圖叫平凡圖。否則稱為非平凡圖

偶圖的判定（充分必要條件）

偶圖的判定
?實際應用中，定理10.2.1本身使用不多，常使用它的逆否命題來判斷一個圖不是偶圖。
?無向圖G 不是偶圖的充分必要條件是G中存在長度為奇數的回路。

偶圖的匹配

定義10.2.2 在偶圖G = <V1, E, V2>中,V1 = {v1, v2, …, vq},若存在E的子集E’ = {(v1, v1’),(v2, v2’),…,(vq, vq’),其中v1’, v2’, …, vq’ 是V2中的q個不同的結點}，則稱G的子圖G’ = <V1, E’, V2>為從V1到V2的一個完全匹配(Complete Matching)，簡稱匹配。
?V1中的任一結點在V2中均有不同的結點對應；
?如果V2中的任一結點在V1中均有不同的結點對應，稱為從V2到V1的一個完全匹配。

偶圖匹配的充分、必要條件
?由匹配定義知：在偶圖G = <V1, E, V2>中，若存在V1到V2的單射f，使得對任意v∈V1，都有(v, f(v))∈E，則存在V1到V2的完備匹配。
? 充分條件
?由單射的性質知,不是所有的偶圖都有完備匹配，存在X-完備匹配的必要非充分條件是|V1| ≤ |V2|。
?|V1| >|V2|可推出不存在X-完備匹配

霍爾定理
定理10.2.2 (霍爾定理) 偶圖G = <V1, E, V2>中存在從V1到V2的完備匹配的充分必要條件是V1中任意k個結點至少與V2中的k個結點相鄰，k = 1, 2, …, |V1|。
?定理10.2.2中的條件通常稱為相異性條件

（充分條件）定理10.2.3 設G = <V1,E,V2>是一個偶圖。如果滿足條件:
(1) V1中每個結點至少關聯t條邊；
(2) V2中每個結點至多關聯t條邊;則G中存在從V1到V2的匹配。其中t為正整數。
證明: 由條件(1)知，V1中k個結點至少關聯tk條邊(1≤k≤|V1|)，由條件(2)知，這tk條邊至少與V2中k個結點相關聯，于是V1中的k個結點至少與V2中的k個結點相鄰接，滿足相異性條件，所以G中存在從V1到V2的匹配。
定理10.2.3中的條件通常稱為t條件
判斷t條件相對較簡單，只需要計算V1中結點的最小度數和V2中結點的最大度數即可。
?該條件只是充分條件，若不滿足t條件，可以進一步通過相異性條件進行檢驗

可增廣道

貝爾格定理


匈牙利算法

總結

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