离散数学平面图对偶图和着色问题
離散數學復習命題公式的范式
離散數學平面圖對偶圖和著色問題
離散數學謂詞邏輯
離散數學-圖的運算與基本概念、導出子圖、路與連通
離散數學關系的基本運算和關系的性質閉包
離散數學-歐拉圖和哈密頓圖
文章目錄
- 平面圖定義
- 平面圖的判定
- 1.觀察法
- 2.歐拉公式判定
- 3.庫拉托夫斯基定理
- 對偶圖
- 著色問題
- 布魯克斯定理 維津定理
平面圖定義
交叉點和交叉邊：
有些圖形不論如何改畫，除去結點外，總有邊相交叉。
?即不管怎樣改畫，至少有一條邊與其他邊相交叉，故它是非平面圖。
?平面圖可應用到地下管網,電子線路等方面。
平面圖的判定
1.觀察法
2.歐拉公式判定
?在平面圖G的一個平面表示中，由邊所包圍的其內部不包含圖(其它結點和邊)的結點和邊的區域，稱為G的一個面(Surface)。
?包圍該面的諸邊所構成的回路稱為這個面的邊界 (Bound) 。
?面r的邊界的長度稱為該面的次數(Degree)，記為D?。
?區域面積有限的面稱為有限面(Finite Surface)，區域面積無限的面稱為無限面(Infinite Surface)。
?平面圖有且僅有一個無限面。
定理10.3.1：平面圖中所有面的次數之和等于邊數的二倍。
證明：
任何一條邊，或者是兩個面邊界的公共邊，或者是在一個面中作為邊界被重復計算兩次，故平面圖所有面的次數之和等于其邊數的二倍。
?1750年，歐拉發現，任何一個凸多面體，若有n個頂點、m條棱和r個面，則有n-m+r = 2。這個公式可以推廣到平面圖上來，稱之為歐拉公式
定理10.3.2：設G = <V, E>是連通平面圖，若它有n個結點、m條邊和r個面，則有：n-m+r=2 (存在自回路也適用）
證明： 對G的邊數m進行歸納。
?若m = 0，由于G是連通圖，故必有n = 1，這時只有一個無限面，即r = 1。所以n-m+r = 1-0+1 = 2
定理成立。
若m=1，此時有兩種情況：
?該邊是自回路，則有n=1，r=2，這時
n-m+r=1-1+2=2
?該邊不是自回路，則有n=2，r=1，這時
n-m+r=2-1+1=2
所以m=1時，定理也成立。
? 假設對少于m條邊的所有連通平面圖，歐拉公式
成立。現考慮m條邊的連通平面圖，設它有n個
結點。分以下兩種情況：
?m條邊的情況：
?若G是樹，那么m=n-1，這時r=1。所以
n-m+r=n-(n-1)+1=2
?若G不是樹，則G中必有回路，因此有基本回路，設e是某基本回路的一條邊，則G’=<V,E-{e}>仍是連通平面圖，它有n個結點，m-1條邊和r-1個面，按歸納假設知：n-(m-1)+(r-1)=2
整理得：n-m+r=2
?所以對m條邊時，歐拉公式也成立。
定理10.3.2推論：設G是一個(n,m)簡單連通平面圖，
若m＞1，則有:m≤3n-6（注意是簡單連通平面圖，簡單圖沒有自回路和平行邊）
?不等式m≤3n-6是判斷一個簡單連通圖是平面圖的必要非充分條件。
?滿足不等式的簡單連通圖未必是平面圖。
?但該推論的逆否命題卻非常有用，可以用它來判定某些圖是非平面圖。
例子：證明完全圖K5是非平面圖
定理：設G為一平面連通簡單圖，其結點數n≥4,邊數為m，且G不以K3為其子圖，則有m≤2n-4。
證明：由于G是不以K3為子圖的簡單圖，故G中每個面的邊界長度不小于4。而G的k個面的邊界長度和
，所以2m ≥4k，再結合歐拉公式n-m+k=2, 則有m≤2n-4。
例子：不使用觀察法證明圖K3,3是一個非平面圖。
?證明： 事實上，假設K3,3是一個平面圖，那么它的每個面的次數均不能小于等于3，即每個面的次數均大于等于k(k≥4)，
?m=9, 2n-4=12-4=8, 有m ≥ 2n-4，結合上頁定理，所以K3,3一定不是平面圖
3.庫拉托夫斯基定理
對于任意給定的圖G=<V,E>:
?設e=(u,v)是G的任意一條邊，如果在圖G中刪除該邊并新增一個結點w及兩條邊e1=(u,w)，e2=(w,v)，則稱該操作為對圖G邊切割操作；
?設w是G中任意一個度數為2的結點，且是邊e1=(u,w)和e2=(w,v)的公共結點，如果在圖G中刪除結點w及邊e1和e2，并增加邊e1=(u,v),則稱該操作為對圖G的結點貫通操作；
?對圖G的邊切割操作和結點貫通操作統稱為對圖G的同胚操作。
?定理10.3.4(庫拉托夫斯基定理)，
一個圖是平面圖的充分必要條件是它的任何子圖都不同胚于K5或K3,3。（任意一個圖判斷是否是平面圖的充要條件）
?定理10.3.4(庫拉托夫斯基定理) 一個圖是平面圖的充分必要條件是它的任何子圖都不可能收縮為K5或K3,3。
?定理10.3.3推論 一個圖是非平面圖的充分必要條件是它存在一個能收縮為K5或K3,3的子圖。
?K5和K3,3被稱為庫拉托夫斯基圖。
對偶圖
對偶圖的概念
對偶圖的結論：
著色問題
著色圖的性質
布魯克斯定理 維津定理
應用：
邊著色
維津定理
面著色
?面著色可以轉化為點著色來完成。
?定理：地圖G是k-面可色的，當且僅當它的對偶圖G*是k-可色圖。
?定理：若圖G是一個簡單平面圖，則該圖中至少存在一個度數小于或等于5的結點。
?五色定理：設G=<V,E>是任意給定的一個連通簡單平面圖，則G的點色數為5。
?四色猜想：連通簡單平面圖的色數不超過4。
總結
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