文章目錄

• 關(guān)系的運(yùn)算
• • 基本運(yùn)算
  • 關(guān)系的復(fù)合運(yùn)算
  • 關(guān)系的逆運(yùn)算
• 關(guān)系的性質(zhì)
• • 一. 自反性和反自反性
  • 二.對(duì)稱性和反對(duì)稱性
  • 三. 傳遞性
  • 關(guān)系性質(zhì)的判定定理
• 關(guān)系的性質(zhì)閉包
• • 關(guān)系的冪運(yùn)算
  • 傳遞閉包的關(guān)系矩陣
  • 閉包關(guān)系的性質(zhì)
  • 多重閉包

關(guān)系的運(yùn)算

定義5.2.1:
設(shè)R，S是X到Y(jié)的二元關(guān)系，則R∪S，R∩S，R-S，~R，R ? S也是X到Y(jié)的二元關(guān)系。
?二元關(guān)系是以序偶為元素的集合，因此可以對(duì)它進(jìn)行集合的運(yùn)算，如∩、∪、-、 ~和?運(yùn)算而產(chǎn)生新的集合。

基本運(yùn)算

例子：

關(guān)系的復(fù)合運(yùn)算

(實(shí)例引導(dǎo))
設(shè)有家族成員集合A：
?R1是A上的姐弟關(guān)系，<x，y>?R1，表示x是y的姐妹，
?R2是A上的父子關(guān)系，<y，z>?R2，表示y是z的父親。
由于y的中間作用，x與z之間產(chǎn)生了一種新的關(guān)系：姑侄關(guān)系。




關(guān)系復(fù)合運(yùn)算性質(zhì)：

關(guān)系的逆運(yùn)算

逆運(yùn)算的性質(zhì)：

關(guān)系的性質(zhì)

一. 自反性和反自反性

定義5.3.1:

?從關(guān)系有向圖看自反性:每個(gè)結(jié)點(diǎn)都有環(huán)。
?從關(guān)系矩陣看自反性：主對(duì)角線都為1。
?從關(guān)系有向圖看反自反性:每個(gè)結(jié)點(diǎn)都無(wú)環(huán)。
?從關(guān)系矩陣看反自反性：主對(duì)角線都為0。

集合A上自反、反自反關(guān)系的個(gè)數(shù)
例5.3.1:
? 設(shè)|A|=n，試計(jì)算A上所有具有自反和反自反性質(zhì)關(guān)系R
的個(gè)數(shù)。

二.對(duì)稱性和反對(duì)稱性

?從關(guān)系有向圖看對(duì)稱性:在兩個(gè)不同的結(jié)點(diǎn)之間，若有邊的話，則有方向相反的兩條邊。
?從關(guān)系矩陣看對(duì)稱性：以主對(duì)角線對(duì)稱的矩陣。
? 由R的關(guān)系圖看反對(duì)稱性：兩個(gè)不同的結(jié)點(diǎn)之間最
多有一條邊。
? 從關(guān)系矩陣看反對(duì)稱性：以主對(duì)角線對(duì)稱的兩個(gè)
元素中最多有一個(gè)1。
? 對(duì)稱與反對(duì)稱不是完全對(duì)立的，有些關(guān)系它既是對(duì)稱也是反對(duì)稱的，如空關(guān)系和恒等關(guān)系；亦存在既不對(duì)稱也不是反對(duì)稱的關(guān)系。

三. 傳遞性

?從關(guān)系圖和關(guān)系矩陣中不易看清是否有傳遞性。一般直接根據(jù)傳遞的定義來(lái)檢查。
?檢查時(shí)要特別注意使得傳遞定義表達(dá)式的前件為F的時(shí)候此表達(dá)式為T，即是傳遞的。
即：對(duì)任意的x,y,z∈A，如果<x,y>?R或者<y,z>?R，則R在A上是傳遞的。

空關(guān)系是一種特殊關(guān)系，指關(guān)系集A×B中的子集?。非空集合中的空關(guān)系是反自反的、對(duì)稱的、反對(duì)稱的和傳遞的，但不是自反的；

關(guān)系性質(zhì)的判定定理

關(guān)系的性質(zhì)閉包

閉包定義：

自反閉包對(duì)稱閉包傳遞閉包計(jì)算方法：

傳遞閉包：

整數(shù)集上的自反閉包

關(guān)系的冪運(yùn)算

單位元（幺元）







鴿巢原理一般指抽屜原理，是組合數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的原理。抽屜原理的含義：如果每個(gè)抽屜代表一個(gè)集合，每一個(gè)蘋果代表一個(gè)元素，假如有n+1個(gè)元素放到n個(gè)集合中，其中必定有一個(gè)集合里至少有兩個(gè)元素

傳遞閉包的關(guān)系矩陣

Warshall算法

閉包關(guān)系的性質(zhì)

R是A上關(guān)系，則
⑴ R是自反的，當(dāng)且僅當(dāng) r(R )=R。
⑵ R是對(duì)稱的，當(dāng)且僅當(dāng) s(R )=R。
⑶ R是傳遞的，當(dāng)且僅當(dāng) t(R )=R。

多重閉包

二元關(guān)系的閉包仍然是二元關(guān)系，還可以繼續(xù)對(duì)求得的關(guān)系求閉包。
? 例如，R是A上的二元關(guān)系, r?是它的自反閉包，還可以求r?的對(duì)稱閉包。r?的對(duì)稱閉包記為s(r?)，簡(jiǎn)記為sr?，讀作R的自反閉包的對(duì)稱閉包。
? 類似的，R的對(duì)稱閉包的自反閉包r(s?)簡(jiǎn)記為rs?，R的對(duì)稱閉包的傳遞閉包t(s?)，簡(jiǎn)記為ts?，……

總結(jié)

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