文章目錄

• 關系的運算
• • 基本運算
  • 關系的復合運算
  • 關系的逆運算
• 關系的性質
• • 一. 自反性和反自反性
  • 二.對稱性和反對稱性
  • 三. 傳遞性
  • 關系性質的判定定理
• 關系的性質閉包
• • 關系的冪運算
  • 傳遞閉包的關系矩陣
  • 閉包關系的性質
  • 多重閉包

關系的運算

定義5.2.1:
設R，S是X到Y的二元關系，則R∪S，R∩S，R-S，~R，R ? S也是X到Y的二元關系。
?二元關系是以序偶為元素的集合，因此可以對它進行集合的運算，如∩、∪、-、 ~和?運算而產生新的集合。

基本運算

例子：

關系的復合運算

(實例引導)
設有家族成員集合A：
?R1是A上的姐弟關系，<x，y>?R1，表示x是y的姐妹，
?R2是A上的父子關系，<y，z>?R2，表示y是z的父親。
由于y的中間作用，x與z之間產生了一種新的關系：姑侄關系。




關系復合運算性質：

關系的逆運算

逆運算的性質：

關系的性質

一. 自反性和反自反性

定義5.3.1:

?從關系有向圖看自反性:每個結點都有環。
?從關系矩陣看自反性：主對角線都為1。
?從關系有向圖看反自反性:每個結點都無環。
?從關系矩陣看反自反性：主對角線都為0。

集合A上自反、反自反關系的個數
例5.3.1:
? 設|A|=n，試計算A上所有具有自反和反自反性質關系R
的個數。

二.對稱性和反對稱性

?從關系有向圖看對稱性:在兩個不同的結點之間，若有邊的話，則有方向相反的兩條邊。
?從關系矩陣看對稱性：以主對角線對稱的矩陣。
? 由R的關系圖看反對稱性：兩個不同的結點之間最
多有一條邊。
? 從關系矩陣看反對稱性：以主對角線對稱的兩個
元素中最多有一個1。
? 對稱與反對稱不是完全對立的，有些關系它既是對稱也是反對稱的，如空關系和恒等關系；亦存在既不對稱也不是反對稱的關系。

三. 傳遞性

?從關系圖和關系矩陣中不易看清是否有傳遞性。一般直接根據傳遞的定義來檢查。
?檢查時要特別注意使得傳遞定義表達式的前件為F的時候此表達式為T，即是傳遞的。
即：對任意的x,y,z∈A，如果<x,y>?R或者<y,z>?R，則R在A上是傳遞的。

空關系是一種特殊關系，指關系集A×B中的子集?。非空集合中的空關系是反自反的、對稱的、反對稱的和傳遞的，但不是自反的；

關系性質的判定定理

關系的性質閉包

閉包定義：

自反閉包對稱閉包傳遞閉包計算方法：

傳遞閉包：

整數集上的自反閉包

關系的冪運算

單位元（幺元）







鴿巢原理一般指抽屜原理，是組合數學中一個重要的原理。抽屜原理的含義：如果每個抽屜代表一個集合，每一個蘋果代表一個元素，假如有n+1個元素放到n個集合中，其中必定有一個集合里至少有兩個元素

傳遞閉包的關系矩陣

Warshall算法

閉包關系的性質

R是A上關系，則
⑴ R是自反的，當且僅當 r(R )=R。
⑵ R是對稱的，當且僅當 s(R )=R。
⑶ R是傳遞的，當且僅當 t(R )=R。

多重閉包

二元關系的閉包仍然是二元關系，還可以繼續對求得的關系求閉包。
? 例如，R是A上的二元關系, r?是它的自反閉包，還可以求r?的對稱閉包。r?的對稱閉包記為s(r?)，簡記為sr?，讀作R的自反閉包的對稱閉包。
? 類似的，R的對稱閉包的自反閉包r(s?)簡記為rs?，R的對稱閉包的傳遞閉包t(s?)，簡記為ts?，……

總結

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