在說高精度加減乘除運算之前，我們先搞明白什么是高精度運算？

???????實際上高精度就是說參與運算的數據和運算結果的范圍，超出標準數據類型能表示的數據大小范圍的運算。這個時候，如果要得到正確的計算結果，顯然不能依靠普通方法實現了。而要在普通運算原理的基礎上，加以輔助算法來實現超大數據的計算。例如：求兩個100位的數據的和，或者計算兩個100位的數字乘積。這時就要用到高精度算法了。

一、高精度加法

?高精度加法的實現原理：

1、計算結果的位數

358934760892734899共18位

38960302975237462共17位

故結果不會超過19位。

2、將要計算的數字分割成多段，按照順序排列（這里以0-32767作為每一存儲單位存儲的數的限制）：

（為提高空間利用效率，可以一個存儲單位存儲多位數。）

3、將兩數相加。

4、輸出結果。

從高位到低位依次輸出。除最高位以外，其他低位上不足4位的要在前面補上0。

5、代碼示例：

#include<iostream> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; const int L=110; string add(string a,string b)//只限兩個非負整數相加 {string ans;int na[L]={0},nb[L]={0};int la=a.size(),lb=b.size();for(int i=0;i<la;i++) na[la-1-i]=a[i]-'0';for(int i=0;i<lb;i++) nb[lb-1-i]=b[i]-'0';int lmax=la>lb?la:lb;for(int i=0;i<lmax;i++) na[i]+=nb[i],na[i+1]+=na[i]/10,na[i]%=10;if(na[lmax]) lmax++;for(int i=lmax-1;i>=0;i--) ans+=na[i]+'0';return ans; } int main() {string a,b;while(cin>>a>>b) cout<<add(a,b)<<endl;return 0; }

6、例題

https://www.luogu.org/problemnew/show/P1601

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1002

二、高精度減法

?高精度減法的實現原理：

1、高精度減法相比高精度加法來說，稍微復雜一點，因為減法在差為負數時處理的細節更多一點：當被減數小于減數時，差為負數，差的絕對值是減數減去被減數；在程序實現上用一個變量來存儲符號位，用另一個數組存差的絕對值。

2、實現流程

(1).先比較大小

(2).決定輸出符號，為正還是為負

(3).按位減法，并注意處理借位
?

3、代碼示例：

#include<iostream> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; const int L=110; string sub(string a,string b)//只限大的非負整數減小的非負整數 {string ans;int na[L]={0},nb[L]={0};int la=a.size(),lb=b.size();for(int i=0;i<la;i++) na[la-1-i]=a[i]-'0';for(int i=0;i<lb;i++) nb[lb-1-i]=b[i]-'0';int lmax=la>lb?la:lb;for(int i=0;i<lmax;i++){na[i]-=nb[i];if(na[i]<0) na[i]+=10,na[i+1]--;}while(!na[--lmax]&&lmax>0) ;lmax++;for(int i=lmax-1;i>=0;i--) ans+=na[i]+'0';return ans; } int main() {string a,b;while(cin>>a>>b) cout<<sub(a,b)<<endl;return 0; }

6、例題

https://www.luogu.org/problemnew/show/P2142

三、高精度乘法

高精度乘法實現原理：

1、由于數字較大，無法使用簡單的數據結構進行存儲，選用數組和字符串來存儲數字，字符串方便我們對于高位整數的輸入，而整形數組的簡便有利于每個位數的計算，結合兩者優點便可實現高精度乘法。

2、實現過程：

(1).通過兩個字符串輸入兩個整數

(2).引入兩個數組，將每個整數切割存儲到數組里面

(3).進行每一位的運算

(4).處理進位

(5).輸出結果

3、高精度乘高精度的樸素算法

#include<iostream> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; const int L=110; string mul(string a,string b)//高精度乘法a,b,均為非負整數 {string s;int na[L],nb[L],nc[L],La=a.size(),Lb=b.size();//na存儲被乘數，nb存儲乘數，nc存儲積fill(na,na+L,0);fill(nb,nb+L,0);fill(nc,nc+L,0);//將na,nb,nc都置為0for(int i=La-1;i>=0;i--) na[La-i]=a[i]-'0';//將字符串表示的大整形數轉成i整形數組表示的大整形數for(int i=Lb-1;i>=0;i--) nb[Lb-i]=b[i]-'0';for(int i=1;i<=La;i++)for(int j=1;j<=Lb;j++)nc[i+j-1]+=na[i]*nb[j];//a的第i位乘以b的第j位為積的第i+j-1位（先不考慮進位）for(int i=1;i<=La+Lb;i++)nc[i+1]+=nc[i]/10,nc[i]%=10;//統一處理進位if(nc[La+Lb]) s+=nc[La+Lb]+'0';//判斷第i+j位上的數字是不是0for(int i=La+Lb-1;i>=1;i--)s+=nc[i]+'0';//將整形數組轉成字符串return s; } int main() {string a,b;while(cin>>a>>b) cout<<mul(a,b)<<endl;return 0; }

5、高精度乘高精度FFT優化算法

#include <iostream> #include <cstdio> #include <algorithm> #include <cstring> #include <cmath> #include <map> #include <queue> #include <set> #include <vector> using namespace std; #define L(x) (1 << (x)) const double PI = acos(-1.0); const int Maxn = 133015; double ax[Maxn], ay[Maxn], bx[Maxn], by[Maxn]; char sa[Maxn/2],sb[Maxn/2]; int sum[Maxn]; int x1[Maxn],x2[Maxn]; int revv(int x, int bits) {int ret = 0;for (int i = 0; i < bits; i++){ret <<= 1;ret |= x & 1;x >>= 1;}return ret; } void fft(double * a, double * b, int n, bool rev) {int bits = 0;while (1 << bits < n) ++bits;for (int i = 0; i < n; i++){int j = revv(i, bits);if (i < j)swap(a[i], a[j]), swap(b[i], b[j]);}for (int len = 2; len <= n; len <<= 1){int half = len >> 1;double wmx = cos(2 * PI / len), wmy = sin(2 * PI / len);if (rev) wmy = -wmy;for (int i = 0; i < n; i += len){double wx = 1, wy = 0;for (int j = 0; j < half; j++){double cx = a[i + j], cy = b[i + j];double dx = a[i + j + half], dy = b[i + j + half];double ex = dx * wx - dy * wy, ey = dx * wy + dy * wx;a[i + j] = cx + ex, b[i + j] = cy + ey;a[i + j + half] = cx - ex, b[i + j + half] = cy - ey;double wnx = wx * wmx - wy * wmy, wny = wx * wmy + wy * wmx;wx = wnx, wy = wny;}}}if (rev){for (int i = 0; i < n; i++)a[i] /= n, b[i] /= n;} } int solve(int a[],int na,int b[],int nb,int ans[]) {int len = max(na, nb), ln;for(ln=0; L(ln)<len; ++ln);len=L(++ln);for (int i = 0; i < len ; ++i){if (i >= na) ax[i] = 0, ay[i] =0;else ax[i] = a[i], ay[i] = 0;}fft(ax, ay, len, 0);for (int i = 0; i < len; ++i){if (i >= nb) bx[i] = 0, by[i] = 0;else bx[i] = b[i], by[i] = 0;}fft(bx, by, len, 0);for (int i = 0; i < len; ++i){double cx = ax[i] * bx[i] - ay[i] * by[i];double cy = ax[i] * by[i] + ay[i] * bx[i];ax[i] = cx, ay[i] = cy;}fft(ax, ay, len, 1);for (int i = 0; i < len; ++i)ans[i] = (int)(ax[i] + 0.5);return len; } string mul(string sa,string sb) {int l1,l2,l;int i;string ans;memset(sum, 0, sizeof(sum));l1 = sa.size();l2 = sb.size();for(i = 0; i < l1; i++)x1[i] = sa[l1 - i - 1]-'0';for(i = 0; i < l2; i++)x2[i] = sb[l2-i-1]-'0';l = solve(x1, l1, x2, l2, sum);for(i = 0; i<l || sum[i] >= 10; i++) // 進位{sum[i + 1] += sum[i] / 10;sum[i] %= 10;}l = i;while(sum[l] <= 0 && l>0) l--; // 檢索最高位for(i = l; i >= 0; i--) ans+=sum[i] + '0'; // 倒序輸出return ans; } int main() {cin.sync_with_stdio(false);string a,b;while(cin>>a>>b) cout<<mul(a,b)<<endl;return 0; }

6、高精度乘單精度

#include<iostream> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; const int L=100005; int na[L]; string mul(string a,int b)//高精度a乘單精度b {string ans;int La=a.size();fill(na,na+L,0);for(int i=La-1;i>=0;i--) na[La-i-1]=a[i]-'0';int w=0;for(int i=0;i<La;i++) na[i]=na[i]*b+w,w=na[i]/10,na[i]=na[i]%10;while(w) na[La++]=w%10,w/=10;La--;while(La>=0) ans+=na[La--]+'0';return ans; } int main() {string a;int b;while(cin>>a>>b) cout<<mul(a,b)<<endl;return 0; }

7、例題

https://www.luogu.org/problemnew/show/P1303

四、高精度除法

1、高精度除高精度

#include<iostream> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; const int L=110; int sub(int *a,int *b,int La,int Lb) {if(La<Lb) return -1;//如果a小于b，則返回-1if(La==Lb){for(int i=La-1;i>=0;i--)if(a[i]>b[i]) break;else if(a[i]<b[i]) return -1;//如果a小于b，則返回-1}for(int i=0;i<La;i++)//高精度減法{a[i]-=b[i];if(a[i]<0) a[i]+=10,a[i+1]--;}for(int i=La-1;i>=0;i--)if(a[i]) return i+1;//返回差的位數return 0;//返回差的位數} string div(string n1,string n2,int nn)//n1,n2是字符串表示的被除數，除數,nn是選擇返回商還是余數 {string s,v;//s存商,v存余數int a[L],b[L],r[L],La=n1.size(),Lb=n2.size(),i,tp=La;//a，b是整形數組表示被除數，除數，tp保存被除數的長度fill(a,a+L,0);fill(b,b+L,0);fill(r,r+L,0);//數組元素都置為0for(i=La-1;i>=0;i--) a[La-1-i]=n1[i]-'0';for(i=Lb-1;i>=0;i--) b[Lb-1-i]=n2[i]-'0';if(La<Lb || (La==Lb && n1<n2)) {//cout<<0<<endl;return n1;}//如果a<b,則商為0，余數為被除數int t=La-Lb;//除被數和除數的位數之差for(int i=La-1;i>=0;i--)//將除數擴大10^t倍if(i>=t) b[i]=b[i-t];else b[i]=0;Lb=La;for(int j=0;j<=t;j++){int temp;while((temp=sub(a,b+j,La,Lb-j))>=0)//如果被除數比除數大繼續減{La=temp;r[t-j]++;}}for(i=0;i<L-10;i++) r[i+1]+=r[i]/10,r[i]%=10;//統一處理進位while(!r[i]) i--;//將整形數組表示的商轉化成字符串表示的while(i>=0) s+=r[i--]+'0';//cout<<s<<endl;i=tp;while(!a[i]) i--;//將整形數組表示的余數轉化成字符串表示的</span>while(i>=0) v+=a[i--]+'0';if(v.empty()) v="0";//cout<<v<<endl;if(nn==1) return s;if(nn==2) return v; } int main() {string a,b;while(cin>>a>>b) cout<<div(a,b,1)<<endl;return 0; }

2、高精度除單精度

#include<iostream> #include<algorithm> using namespace std; string div(string a,int b)//高精度a除以單精度b {string r,ans;int d=0;if(a=="0") return a;//特判for(int i=0;i<a.size();i++){r+=(d*10+a[i]-'0')/b+'0';//求出商d=(d*10+(a[i]-'0'))%b;//求出余數}int p=0;for(int i=0;i<r.size();i++)if(r[i]!='0') {p=i;break;}return r.substr(p); } int main() {string a;int b;while(cin>>a>>b){cout<<div(a,b)<<endl;}return 0; }

五、高精度取模

1、高精度對高精度取模

(已在高精度除高精度中實現，此處不再贅述)

2、高精度對單精度取模

#include<iostream> #include<algorithm> using namespace std; int mod(string a,int b)//高精度a除以單精度b {int d=0;for(int i=0;i<a.size();i++) d=(d*10+(a[i]-'0'))%b;//求出余數return d; } int main() {string a;int b;while(cin>>a>>b){cout<<mod(a,b)<<endl;}return 0; }

?六、高精度階乘

#include<iostream> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; const int L=100005; int a[L]; string fac(int n) {string ans;if(n==0) return "1";fill(a,a+L,0);int s=0,m=n;while(m) a[++s]=m%10,m/=10;for(int i=n-1;i>=2;i--){int w=0;for(int j=1;j<=s;j++) a[j]=a[j]*i+w,w=a[j]/10,a[j]=a[j]%10;while(w) a[++s]=w%10,w/=10;}while(!a[s]) s--;while(s>=1) ans+=a[s--]+'0';return ans; } int main() {int n;while(cin>>n) cout<<fac(n)<<endl;return 0; }

七、高精度冪

#include <iostream> #include <cstdio> #include <algorithm> #include <cstring> #include <cmath> #include <map> #include <queue> #include <set> #include <vector> using namespace std; #define L(x) (1 << (x)) const double PI = acos(-1.0); const int Maxn = 133015; double ax[Maxn], ay[Maxn], bx[Maxn], by[Maxn]; char sa[Maxn/2],sb[Maxn/2]; int sum[Maxn]; int x1[Maxn],x2[Maxn]; int revv(int x, int bits) {int ret = 0;for (int i = 0; i < bits; i++){ret <<= 1;ret |= x & 1;x >>= 1;}return ret; } void fft(double * a, double * b, int n, bool rev) {int bits = 0;while (1 << bits < n) ++bits;for (int i = 0; i < n; i++){int j = revv(i, bits);if (i < j)swap(a[i], a[j]), swap(b[i], b[j]);}for (int len = 2; len <= n; len <<= 1){int half = len >> 1;double wmx = cos(2 * PI / len), wmy = sin(2 * PI / len);if (rev) wmy = -wmy;for (int i = 0; i < n; i += len){double wx = 1, wy = 0;for (int j = 0; j < half; j++){double cx = a[i + j], cy = b[i + j];double dx = a[i + j + half], dy = b[i + j + half];double ex = dx * wx - dy * wy, ey = dx * wy + dy * wx;a[i + j] = cx + ex, b[i + j] = cy + ey;a[i + j + half] = cx - ex, b[i + j + half] = cy - ey;double wnx = wx * wmx - wy * wmy, wny = wx * wmy + wy * wmx;wx = wnx, wy = wny;}}}if (rev){for (int i = 0; i < n; i++)a[i] /= n, b[i] /= n;} } int solve(int a[],int na,int b[],int nb,int ans[]) {int len = max(na, nb), ln;for(ln=0; L(ln)<len; ++ln);len=L(++ln);for (int i = 0; i < len ; ++i){if (i >= na) ax[i] = 0, ay[i] =0;else ax[i] = a[i], ay[i] = 0;}fft(ax, ay, len, 0);for (int i = 0; i < len; ++i){if (i >= nb) bx[i] = 0, by[i] = 0;else bx[i] = b[i], by[i] = 0;}fft(bx, by, len, 0);for (int i = 0; i < len; ++i){double cx = ax[i] * bx[i] - ay[i] * by[i];double cy = ax[i] * by[i] + ay[i] * bx[i];ax[i] = cx, ay[i] = cy;}fft(ax, ay, len, 1);for (int i = 0; i < len; ++i)ans[i] = (int)(ax[i] + 0.5);return len; } string mul(string sa,string sb) {int l1,l2,l;int i;string ans;memset(sum, 0, sizeof(sum));l1 = sa.size();l2 = sb.size();for(i = 0; i < l1; i++)x1[i] = sa[l1 - i - 1]-'0';for(i = 0; i < l2; i++)x2[i] = sb[l2-i-1]-'0';l = solve(x1, l1, x2, l2, sum);for(i = 0; i<l || sum[i] >= 10; i++) // 進位{sum[i + 1] += sum[i] / 10;sum[i] %= 10;}l = i;while(sum[l] <= 0 && l>0) l--; // 檢索最高位for(i = l; i >= 0; i--) ans+=sum[i] + '0'; // 倒序輸出return ans; } string Pow(string a,int n) {if(n==1) return a;if(n&1) return mul(Pow(a,n-1),a);string ans=Pow(a,n/2);return mul(ans,ans); } int main() {cin.sync_with_stdio(false);string a;int b;while(cin>>a>>b) cout<<Pow(a,b)<<endl;return 0; }

八、高精度GCD

#include<iostream> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; const int L=110; string add(string a,string b) {string ans;int na[L]={0},nb[L]={0};int la=a.size(),lb=b.size();for(int i=0;i<la;i++) na[la-1-i]=a[i]-'0';for(int i=0;i<lb;i++) nb[lb-1-i]=b[i]-'0';int lmax=la>lb?la:lb;for(int i=0;i<lmax;i++) na[i]+=nb[i],na[i+1]+=na[i]/10,na[i]%=10;if(na[lmax]) lmax++;for(int i=lmax-1;i>=0;i--) ans+=na[i]+'0';return ans; } string mul(string a,string b) {string s;int na[L],nb[L],nc[L],La=a.size(),Lb=b.size();//na存儲被乘數，nb存儲乘數，nc存儲積fill(na,na+L,0);fill(nb,nb+L,0);fill(nc,nc+L,0);//將na,nb,nc都置為0for(int i=La-1;i>=0;i--) na[La-i]=a[i]-'0';//將字符串表示的大整形數轉成i整形數組表示的大整形數for(int i=Lb-1;i>=0;i--) nb[Lb-i]=b[i]-'0';for(int i=1;i<=La;i++)for(int j=1;j<=Lb;j++)nc[i+j-1]+=na[i]*nb[j];//a的第i位乘以b的第j位為積的第i+j-1位（先不考慮進位）for(int i=1;i<=La+Lb;i++)nc[i+1]+=nc[i]/10,nc[i]%=10;//統一處理進位if(nc[La+Lb]) s+=nc[La+Lb]+'0';//判斷第i+j位上的數字是不是0for(int i=La+Lb-1;i>=1;i--)s+=nc[i]+'0';//將整形數組轉成字符串return s; } int sub(int *a,int *b,int La,int Lb) {if(La<Lb) return -1;//如果a小于b，則返回-1if(La==Lb){for(int i=La-1;i>=0;i--)if(a[i]>b[i]) break;else if(a[i]<b[i]) return -1;//如果a小于b，則返回-1}for(int i=0;i<La;i++)//高精度減法{a[i]-=b[i];if(a[i]<0) a[i]+=10,a[i+1]--;}for(int i=La-1;i>=0;i--)if(a[i]) return i+1;//返回差的位數return 0;//返回差的位數} string div(string n1,string n2,int nn)//n1,n2是字符串表示的被除數，除數,nn是選擇返回商還是余數 {string s,v;//s存商,v存余數int a[L],b[L],r[L],La=n1.size(),Lb=n2.size(),i,tp=La;//a，b是整形數組表示被除數，除數，tp保存被除數的長度fill(a,a+L,0);fill(b,b+L,0);fill(r,r+L,0);//數組元素都置為0for(i=La-1;i>=0;i--) a[La-1-i]=n1[i]-'0';for(i=Lb-1;i>=0;i--) b[Lb-1-i]=n2[i]-'0';if(La<Lb || (La==Lb && n1<n2)) {//cout<<0<<endl;return n1;}//如果a<b,則商為0，余數為被除數int t=La-Lb;//除被數和除數的位數之差for(int i=La-1;i>=0;i--)//將除數擴大10^t倍if(i>=t) b[i]=b[i-t];else b[i]=0;Lb=La;for(int j=0;j<=t;j++){int temp;while((temp=sub(a,b+j,La,Lb-j))>=0)//如果被除數比除數大繼續減{La=temp;r[t-j]++;}}for(i=0;i<L-10;i++) r[i+1]+=r[i]/10,r[i]%=10;//統一處理進位while(!r[i]) i--;//將整形數組表示的商轉化成字符串表示的while(i>=0) s+=r[i--]+'0';//cout<<s<<endl;i=tp;while(!a[i]) i--;//將整形數組表示的余數轉化成字符串表示的</span>while(i>=0) v+=a[i--]+'0';if(v.empty()) v="0";//cout<<v<<endl;if(nn==1) return s;if(nn==2) return v; } bool judge(string s)//判斷s是否為全0串 {for(int i=0;i<s.size();i++)if(s[i]!='0') return false;return true; } string gcd(string a,string b)//求最大公約數 {string t;while(!judge(b))//如果余數不為0，繼續除{t=a;//保存被除數的值a=b;//用除數替換被除數b=div(t,b,2);//用余數替換除數}return a; } int main() {cin.sync_with_stdio(false);string a,b;while(cin>>a>>b) cout<<gcd(a,b)<<endl;return 0; }

九、高精度進制轉換

#include<iostream> #include<algorithm> using namespace std; //將字符串表示的10進制大整數轉換為m進制的大整數 //并返回m進制大整數的字符串 bool judge(string s)//判斷串是否為全零串 {for(int i=0;i<s.size();i++)if(s[i]!='0') return 1;return 0; } string solve(string s,int n,int m)//n進制轉m進制只限0-9進制，若涉及帶字母的進制，稍作修改即可 {string r,ans;int d=0;if(!judge(s)) return "0";//特判while(judge(s))//被除數不為0則繼續{for(int i=0;i<s.size();i++){r+=(d*n+s[i]-'0')/m+'0';//求出商d=(d*n+(s[i]-'0'))%m;//求出余數}s=r;//把商賦給下一次的被除數r="";//把商清空ans+=d+'0';//加上進制轉換后數字d=0;//清空余數}reverse(ans.begin(),ans.end());//倒置下return ans; } int main() {string s;while(cin>>s){cout<<solve(s,10,7)<<endl;}return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的高精度计算(High-Precision_Calculation)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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