一、圓周率π計算?

/* *@Author: STZG *@Language: C++ */ #include <bits/stdc++.h> using namespace std; long a=10000,b,c=56000,d,e,f[56001],g; int main(){for(;b-c ; )f[b++]=a/5;for(;d=0,g=c*2;c-=14,printf("%.4d",e+d/a),e=d%a)for(b=c;d+=f[b]*a,f[b]=d%--g,d/=g--,--b;d*=b);//cout << "Hello world!" << endl;return 0; }

二、數學公式

π =?2?+?1/3?*?(2?+?2/5?*?(2?+?3/7?*?(2?+?...??(2?+?k/2k+1?*?(2?+?...?))...)))

三、分析

#include?<stdio.h> int?a=10000,b,c=2800,d,e,f[2801],g; main()?{ int?i; for(i=0;i<c;i++)f[i]=a/5; while(c!=0){d=0;g=c*2;b=c;while(1){d=d+f[b]*a;g--;f[b]=d%g;d=d/g;g--;b--;if(b==0)?break;d=d*b;}c=c-14;printf("%.4d",e+d/a);e=d%a;} }

要想計算出無限精度的PI，我們需要上述的迭代公式運行無數次，并且其中每個分數也是完全精確的，這在計算機中自然是無法實現的。那么基本實現思想就是迭代足夠多次，并且每個分數也足夠精確，這樣就能夠計算出PI的前n位來。上面這個程序計算800位，迭代公式一共迭代2800次。

int?a=10000,b,c=2800,d,e,f[2801],g;

這句話中的2800就是迭代次數。

由于float或者double的精度遠遠不夠，因此程序中使用整數類型（實際是長整型），分段運算（每次計算4位）。我們可以看到輸出語句printf("%.4d",e+d/a);?其中%.4就是把計算出來的4位輸出，我們看到c每次減少14（?c=c-14;），而c的初始大小為2800，因此一共就分了200段運算，并且每次輸出4位，所以一共輸出了800位。

由于使用整型數運算，因此有必要乘上一個系數，在這個程序中系數為1000，也就是說，公式如下：

1000*pi?=?2K+?1/3?*?(2K+?2/5?*?(2K+?3/7?*?(2K+?...?(2K+?k/2k+1?*?(2K+?...?))...)))

這里的2K表示2000，也就是f[2801]數組初始化以后的數據,a=10000,a/5=2000,所以下面的程序把f中的每個元素都賦值為2000：
for(i=0;i<c;i++)
f[i]=a/5;

你可能會覺得奇怪，為什么這里要把一個常數儲存到數組中去，請繼續(xù)往下看。我們先來跟蹤一下程序的運行：

while(c!=0)??//假設這是第一次運行，c=2800，為迭代次數{d=0;g=c*2;??//這里的g是用來做k/(2k+1)中的分子b=c;??//這里的b是用來做k/(2k+1)中的分子while(1)while(1){d=d+f[b]*a;??//f中的所有的值都為2000，這里在計算時又把系數擴大了a=10000倍。這樣做的目的稍候介紹，你可以看到輸出的時候是d/a,所以這不影響計算g--;f[b]=d%g;??//先不管這一行d=d/g;??//第一次運行的g為2*2799+1，你可以看到g做了分母g--;b--;if(b==0)?break;d=d*b;??//這里的b為2799，可以看到b做了分子。}c=c-14;printf("%.4d",e+d/a);e=d%a;}

只需要粗略的看看上面的程序，我們就大概知道它的確是使用的那個迭代公式來計算Pi的了，不過不知道到現在為止你是否明白了f數組的用處。如果沒有明白，請繼續(xù)閱讀。
d=d/g,這一行的目的是除以2k+1，我們知道之所以程序無法精確計算的原因就是這個除法。即使用浮點數，答案也是不夠精確的，因此直接用來計算800位的Pi是不可能的。那么不精確的成分在哪里？很明顯：就是那個余數d%g。程序用f數組把這個誤差儲存起來，在下次計算的時候使用。現在你也應該知道為什么d=d+f[b]*a;中間需要乘上a了吧。把分子擴大之后，才好把誤差精確的算出來。
d如果不乘10000這個系數，則其值為2000，那么運行d=d/g；則是2000/(2*2799+1)，這種整數的除法答案為0，根本無法迭代下去了。
現在我們知道程序就是把余數儲存起來，作為下次迭代的時候的參數，那么為什么這么做就可以使得下次迭代出來的結果為接下來的數字呢？
這實際上和我們在紙上作除法很類似：

　　　0142
　　/———
　7/　1
　　　10
　　　?7
——————
　　　?30
　　　?28
——————
　　　　20
　　　　14
——————
　　　　?6
.....

我們可以發(fā)現，在做除法的時候，我們通常把余數擴大之后再來計算，f中既然儲存的是余數，而f[b]*a;則正好把這個余數擴大了a倍，然后如此循環(huán)下去，可以計算到任意精度。
這里要說明的是，事實上每次計算出來的d并不一定只有4位數，例如第一次計算的時候，d的值為31415926，輸出4位時候，把低四位的值儲存在e中間，e=d%a，也就是5926。

最后，這個c=c-14不太好理解。事實上沒有這條語句，程序計算出來的仍然正確。只是因為如果迭代2800次，無論分數如何精確，最后Pi的精度只能夠達到800。
你可以把程序改為如下形式嘗試一下：

for(i=0;i<800;i++){{d=0;g=c*2;b=c;while(1){d=d+f[b]*a;g--;f[b]=d%g;d=d/g;g--;b--;if(b==0)?break;d=d*b;}//c=c-14;??//不要這句話。printf("%.4d",e+d/a);e=d%a;}

最后的答案仍然正確。
不過我們可以看到內循環(huán)的次數是c次，也就是說每次迭代計算c次。而每次計算后續(xù)位數的時候，迭代次數減少14，而不影響精度。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的圆周率π的精确计算的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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