一、定義

計算機科學中一類特殊的數據結構的統稱。堆通常是一個可以被看做一棵樹的數組對象。

二、特點

Heap是一種數據結構具有以下的特點：

1）完全二叉樹；

2）heap中存儲的值是偏序；

Min-heap: 父節點的值小于或等于子節點的值；
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Max-heap: 父節點的值大于或等于子節點的值；

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三、算法思想

不必將值一個個地插入堆中，通過交換形成堆。假設根的左、右子樹都已是堆，并且根的元素名為R。這種情況下，有兩種可能：

（1） R的值小于或等于其兩個子女，此時堆已完成；

（2） R的值大于其某一個或全部兩個子女的值，此時R應與兩個子女中值較小的一個交換，結果得到一個堆，除非R仍然大于其新子女的一個或全部的兩個。這種情況下，我們只需簡單地繼續這種將R“拉下來”的過程，直至到達某一個層使它小于它的子女，或者它成了葉結點。

四、篩選法

首先將要排序的所有關鍵碼放到一棵完全二叉樹的各個結點中（這時的完全二叉樹并不具備堆的特性）。顯然，所有的結點Ki都沒有子女結點，因此以這樣的Ki為根的子樹已經是堆，然后從 的結點Ki開始，逐步把以為根的子樹排成堆，直到以K0為根的子樹排成堆，就完成了建堆過程。

在考慮將以Ki為根的子樹排成堆時，以Ki+1，Ki+2，…，Kn-1為根的子樹已經是堆，所以這時如果有Ki≤K2i+1和Ki≤K2i+2，則不必改變任何結點的位置，以Ki為根的子樹就已經是堆；否則就要適當調整子樹中結點的位置以滿足堆的定義。由于Ki的左、右子樹都已經是堆，根結點是堆中最小的結點，所以調整后Ki的值必定是原來K2i+1和K2i+2中較小的一個。不妨假定K2+1較小，將Ki與K2i+1交換位置，這樣調整后Ki≤K2i，Ki≤K2i+1，并且以K2i+2為根的子樹原來已經是堆，不必再作任何調整，只有以K2i+1為根的子樹由于K2i+1的值已經發生變化（與Ki交換了），所以有可能不滿足堆的定義（當K2i+1的左、右子樹已經是堆）。這時可重復上述過程，考慮將K2i+1以為根的子樹排成堆。如此一層一層遞推下去，最多可以一直進行到樹葉。由于每步都保證將子樹中最小的結點交換到子樹的根部，所以這個過程是不會反饋的。它就像過篩一樣，把最小的關鍵碼一層一層選擇出來。

五、建堆效率

n個結點的堆，高度d =log2n。根為第0層，則第i層結點個數為2i，考慮一個元素在堆中向下移動的距離。大約一半的結點深度為d-1，不移動（葉）。四分之一的結點深度為d-2，而它們至多能向下移動一層。樹中每向上一層，結點的數目為前一層的一半，而子樹高度加一。

這種算法時間代價為Ο（n)

由于堆有log n層深，插入結點、刪除普通元素和刪除最小元素的平均時間代價和時間復雜度都是Ο（log n）。

六、操作

（1）build:建立一個空堆；

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（2）insert:向堆中插入一個新元素；

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（3）update：將新元素提升使其符合堆的性質；

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（4）get：獲取當前堆頂元素的值；

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（5）delete：刪除堆頂元素；

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（6）heapify：使刪除堆頂元素的堆再次成為堆。

七、代碼

那么我們開始講解操作過程吧，我們以小根堆為例

　　　剛剛那組未處理過的數據中我們很容易就能看出，根節點1元素8絕對不是最小的

　　　我們很容易發現它的一個兒子節點3(元素2)比它來的小，我們怎么將它放到最高點呢？很簡單，直接交換嘛~~

　　　但是，我們又發現了，3的一個兒子節點7(元素1)似乎更適合在根節點。

　　　這時候我們是無法直接和根節點交換的，那我們就需要一個操作來實現這個交換過程，那就是上浮?shift_up。

　　　操作過程如下：

　　　從當前結點開始，和它的父親節點比較，若是比父親節點來的小，就交換，然后將當前詢問的節點下標更新為原父親節點下標；否則退出。　

　　　　　　模擬操作圖示:

　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　偽代碼如下：

Shift_up( i ) {while( i / 2 >= 1){if( 堆數組名[ i ] < 堆數組名[ i/2 ] ){swap( 堆數組名[ i ] , 堆數組名[ i/2 ]) ;i = i / 2;}else break; ｝

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　　　　　　這一次上浮完畢之后呢，我們又發現了一個問題，貌似節點3(元素8)不太合適放在那，而它的子節點7(元素2)

　　　　好像才應該在那個位置。

　　　　　　此時的你應該會說:“賜予我力量，讓節點7上浮吧，我是ACMer！”

　　　　　　然而，上帝(我很不要臉的說是我)賜予你另外一種力量，讓節點3下沉！

　　　　　　那么問題來了：節點3應該往哪下沉呢？

　　　　　　我們知道，小根堆是盡力要讓小的元素在較上方的節點，而下沉與上浮一樣要以交換來不斷操作，所以我們應該

　　　　讓節點7與其交換。　　　　　

　　　　　　由此我們可以得出下沉的算法了：　　　

　　　　　　讓當前結點的左右兒子(如果有的話)作比較，哪個比較小就和它交換，

　　　　并更新詢問節點的下標為被交換的兒子節點下標，否則退出。

　　　　　　模擬操作圖示：

　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　偽代碼如下：

Shift_down( i , n ) //n表示當前有n個節點 {while( i * 2 <= n){T = i * 2 ;if( T + 1 <= n && 堆數組名[ T + 1 ] < 堆數組名[ T ])T++;if( 堆數組名[ i ] < 堆數組名[ T ] ){swap( 堆數組名[ i ] , 堆數組名[ T ] );i = T;}else break; }

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　　　　　　講完了上浮和下沉，接下來就是插入操作了~~~~

　　　　　　我們前面用的插入是直接插入，所以數據才會雜亂無章，那么我們如何在插入的時候邊維護堆呢？

　　　　其實很簡單，每次插入的時候呢，我們都往最后一個插入，讓后使它上浮。

　　　　　　(這個不需要圖示了吧…)

　　　　　　偽代碼如下：

Push ( x ) {n++;堆數組名[ n ] = x;Shift_up( n ); }

　　　　　　咳咳，說完了插入，我們總需要會彈出吧~~~~~

　　　　　　彈出，顧名思義就是把頂元素彈掉，但是，彈掉以后不是群龍無首嗎？？

　　　　　　我們如何去維護這堆數據呢?

　　　　　　稍加思考，我們不難得出一個十分巧妙的算法：

　　　　讓根節點元素和尾節點進行交換，然后讓現在的根元素下沉就可以了!

　　　　　　(這個也不需要圖示吧…)

　　　　　　偽代碼如下：

Pop ( x ){swap( 堆數組名[1] , 堆數組名[ n ] );n--;Shift_down( 1 ); }

　　　　　　接下來是取頂…..我想不需要說什么了吧，根節點數組下標必定是1，返回堆[ 1 ]就OK了~~

　　　　注意：每次取頂要判斷堆內是否有元素，否則..你懂的

　　　　　　圖示和偽代碼省略，如果你這都不會那你可以重新開始學信息學了，當然如果你是小白….這種稍微高級的數據

　　　　結構還是以后再說吧。

　　　　　　說完這些，我們再來說說堆排序。之前說過堆是無法以數組下標的順序來來排序的對吧?

　　　　　　所以我個人認為呢，并不存在堆排序這樣的操作，即便網上有很多堆排序的算法，但是我這里有個更加方便的算法：

　　　　開一個新的數組，每次取堆頂元素放進去，然后彈掉堆頂就OK了~

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　　　　　　偽代碼如下：

Heap_sort( a[] ) {k=0;while( size > 0 ){k++;a[ k ] = top();pop(); } }

　　　　　　堆排序的時間復雜度是O(nlogn)理論上是十分穩定的，但是對于我們來說并沒有什么卵用。

　　　　　　我們要排序的話，直接使用快排即可，時間更快，用堆排還需要O(2*n)的空間。這也是為什么我說堆的操作

　　　　時間復雜度在O(1)~O(logn)。

八、例題

https://www.luogu.org/problemnew/show/P2085（題解：https://blog.csdn.net/weixin_43272781/article/details/88425544）

http://codevs.cn/problem/1063/

九、參考文章

https://www.cnblogs.com/wangchaowei/p/8288216.html

https://www.cnblogs.com/chenweichu/articles/5710567.html

https://www.cnblogs.com/JVxie/p/4859889.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的堆(Heap)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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