分割平面、空間問題 數(shù)學(xué)公式

(1) n條直線最多分平面問題

題目：n條直線，最多可以把平面分為多少個(gè)區(qū)域。

公式：f(n)=n(n+1)/2+1

(2)折線分平面

公式：f(n)=2n^2-n+1

（3）封閉曲線分平面

公式：f(n)=n^2-n+2

(4)平面分割空間問題

公式：f(n)=(n^3+5n)/6+1

推導(dǎo)過程：

(1) n條直線最多分平面問題

題目描述:

n條直線，最多可以把平面分為多少個(gè)區(qū)域。

分析:

可能你以前就見過這題目，這充其量是一道初中的思考題。但一個(gè)類型的題目還是從簡單的入手，才容易發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

當(dāng)有n-1條直線時(shí)，平面最多被分成了f（n-1）個(gè)區(qū)域。則第n條直線要是切成的區(qū)域數(shù)最多，就必須與每條直線相交且不能有同一交點(diǎn)。 這樣就會得到n-1個(gè)交點(diǎn)。這些交點(diǎn)將第n條直線分為2條射線和n-2條線段。而每條射線和線斷將以有的區(qū)域一分為二。這樣就多出了2+（n-2）個(gè)區(qū)域。

故：

f(n)=f(n-1)+n
=f(n-2)+(n-1)+n
……
=f(1)+1+2+……+n
=n(n+1)/2+1


(2) 折線分平面（hdu2050）
根據(jù)直線分平面可知，由交點(diǎn)決定了射線和線段的條數(shù)，進(jìn)而決定了新增的區(qū)域數(shù)。當(dāng)n-1條折線時(shí)，區(qū)域數(shù)為f（n-1）。為了使增加的區(qū)域最多，則折線的兩邊的線段要和n-1條折線的邊，即2*（n-1）條線段相交。那么新增的線段數(shù)為4*（n-1），射線數(shù)為2。但要注意的是，折線本身相鄰的兩線段只能增加一個(gè)區(qū)域。
故：

f(n)=f(n-1)+4(n-1)+2-1
=f(n-1)+4(n-1)+1
=f(n-2)+4(n-2)+4(n-1)+2
……
=f(1)+4+4*2+……+4(n-1)+(n-1)
=2n^2-n+1

?

(3) 封閉曲線分平面問題
題目描述：

設(shè)有n條封閉曲線畫在平面上，而任何兩條封閉曲線恰好相交于兩點(diǎn)，且任何三條封閉曲線不相交于同一點(diǎn)，

問這些封閉曲線把平面分割成的區(qū)域個(gè)數(shù)。
分析：

當(dāng)n-1個(gè)圓時(shí)，區(qū)域數(shù)為f(n-1).那么第n個(gè)圓就必須與前n-1個(gè)圓相交，則第n個(gè)圓被分為2（n-1）段線段，

增加了2（n-1）個(gè)區(qū)域。
故：

f(n)=f(n-1)+2(n-1)
=f(1)+2+4+……+2(n-1)
=n^2-n+2

?

(4)平面分割空間問題（hdu1290）
由二維的分割問題可知，平面分割與線之間的交點(diǎn)有關(guān)，即交點(diǎn)決定射線和線段的條數(shù)，從而決定新增的區(qū)域數(shù)。試想在三維中則是否與平面的交線有關(guān)呢？

當(dāng)有n-1個(gè)平面時(shí)，分割的空間數(shù)為f（n-1）。要有最多的空間數(shù)，則第n個(gè)平面需與前n-1個(gè)平面相交，且不能有共同的交線。即最多有n-1 條交線。而這n-1條交線把第n個(gè)平面最多分割成g（n-1）個(gè)區(qū)域。（g（n）為（1）中的直線分平面的個(gè)數(shù) ）此平面將原有的空間一分為二，則最多增加g（n-1）個(gè)空間。
故：

f=f(n-1)+g(n-1) ps:g(n)=n(n+1)/2+1
=f(n-2)+g(n-2)+g(n-1)
……
=f(1)+g(1)+g(2)+……+g(n-1)
=2+(1*2+2*3+3*4+……+(n-1)n)/2+（n-1）
=(1+2^2+3^2+4^2+……+n^2-1-2-3-……-n )/2+n+1
=(n^3+5n)/6+1

?

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的分割平面、空间问题 数学公式的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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