一 01背包問題

1.1題目

有N件物品和一個容量為V 的背包。放入第i件物品耗費的空間是Ci，得到 的價值是Wi。

求解將哪些物品裝入背包可使價值總和最大。

1.2 基本思路

這是最基礎的背包問題，特點是：每種物品僅有一件，可以選擇放或不 放。

用子問題定義狀態：即F[i, v]表示前i件物品恰放入一個容量為v的背包可以 獲得的最大價值。

則其狀態轉移方程便是：

F[i, v] = max { F [i ? 1, v], F [i ? 1, v ? Ci ] + Wi }

對于“將前i件物品放入容量為v的背包 2 中”這個子問題，若只考慮第i件物品的策略（放或不放），

那么就可以轉化 為一個只和前i ? 1件物品相關的問題。

如果不放第i件物品，那么問題就轉化 為“前i ? 1件物品放入容量為v的背包中”，價值為F[i ? 1, v]；

如果放第i件物 品，那么問題就轉化為“前i ? 1件物品放入剩下的容量為v ? Ci的背包中”，

此時能獲得的最大價值就是F[i ? 1, v ? Ci ]再加上通過放入第i件物品獲得的價 值Wi。

#include<iostream> #include<cstdio> using namespace std; const int maxn = 105; int dp[maxn][maxn]; int c[maxn];//第i件物品耗費的空間是Ci int w[maxn];//得到的價值是Wi。 int main() {int v;//背包容量int n;//N件物品while(scanf("%d %d",&v,&n) != EOF){for(int i = 1;i <= n; i++){scanf("%d",&c[i]);}for(int i = 1;i <= n; i++){scanf("%d",&w[i]);}//動態規劃邊界問題for(int i = 0;i <= n; i++){dp[i][0] = dp[0][i] = 0;}for(int i = 1;i <= n; i++){//枚舉物品for(int j = 1;j <= v; j++){//枚舉背包容量if(j < c[i]){ //當前背包容量放不下這件物品dp[i][j] = dp[i - 1][j];}else{ //當前背包容量可以放下這件物品dp[i][j] = max(dp[i - 1][j],dp[i - 1][j - c[i]] + w[i]);}}}printf("%d\n",dp[n][v]);}return 0; }

1.3 優化空間空間復雜度

以上方法的時間和空間復雜度均為O（V*N），其中時間復雜已經不能再優化，但是空間復雜度可以優化到O（N）。

先考慮上面講的基本思路是如何實現的，肯定是有一個主循環 i = 1....N,每次算出來二維數組f[i][0....v]的所有值；

如果只用一個數組f[0...V]，能不能保證第i次循環結束后 f[v]中表示的就是我們定義的狀態 f[i][v]呢？

f[i][v]是由f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]兩個子問題遞推出來，能否保證在推f[i][[v]時（即在第i次主循環中推f[v]時）能夠得到f[i-1][v]和

f[i-1][v-c[i]]的值呢？事實上，這要求在每次循環中我們以v=V......0的順序推 f[v],這樣才能保證推 f[v]時，f[v-c[i]]保存的是狀態 f[i-1][v-c[i]] 的值。

#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> using namespace std; const int maxn = 105; int dp[maxn]; int c[maxn];//第i件物品耗費的空間是Ci int w[maxn];//得到的價值是Wi。 int main() {int v;//背包容量int n;//N件物品while(scanf("%d %d",&v,&n) != EOF){for(int i = 0;i < n; i++){scanf("%d",&c[i]);}for(int i = 0;i < n; i++){scanf("%d",&w[i]);}//動態規劃邊界問題memset(dp,0,sizeof(dp));for(int i = 0;i < n; i++){//枚舉物品for(int j = v;j >= c[i]; j--){//枚舉背包容量//當前背包容量可以放下這件物品dp[j] = max(dp[j],dp[j - c[i]] + w[i]);}}printf("%d\n",dp[v]);}return 0; }

1.4 初始化的細節問題

求最優解的背包問題中，有兩種問法：

1.求恰好裝滿背包時的最優解。

初始化時，f[0]=0,f[1...v]為-INF（INF=0x3f3f3f3f),這樣最終得到的f[N]是一種恰好裝滿背包的最優解

2.沒有要求必須把背包裝滿，而是只希望價格盡量大，初始化時應該將f[0..V]全部設 為0。

初始化的f數組事實上就是在沒有任何物品可以放入背包時的合 法狀態。

如果要求背包恰好裝滿，那么此時只有容量為0的背包，可能的價值為0，只能被nothing“恰好 裝滿”，其它容量的背包均沒有合法的解，屬于未定義的狀態，它們的值就都應該是?∞了。

如果 背包并非必須被裝滿，那么任何容量的背包都有一個合法解“什么都不裝”，這個解的價值為0， 所以初始時狀態的值也就全部為0了。

二 完全背包問題

2.1題目

有N種物品和一個容量為V的背包，每種物品都有無限件可用。第i種物品的費用是c[i]， 價值是w[i]。求解將哪些物品裝入背包可使這些物品的費用總和不超過背包容量，且價值總和最 大。

2.2基本思路

這個問題非常類似于01背包問題，所不同的是每種物品有無限件。也就是從每種 物品的角度考慮，與它相關的策略已并非取或不取兩種，而是有取0件、取1件、取2件……等很 多種。如果仍然按照解01背包時的思路，令f[i][v]表示前i種物品恰放入一個容量為v的背包的最 大權值。仍然可以按照每種物品不同的策略寫出狀態轉移方程：

f[i][v] = max{f[i?1][v?k×c[i]] + k×w[i]}???? 0 <= k×c[i] <= v

這跟01背包問題一樣有O(VN)個狀態需要求解，但求解每個狀態的時間已經不是常數了，求解 狀態f[i][v]的時間是Θ( v / c[i])，總的復雜度可以認為是Θ(V ×∑ V / c[i])，是比較大的。

#include<cstdio> #include<iostream> using namespace std; const int maxn = 1005; int dp[maxn][maxn]; int c[maxn],w[maxn]; int main() {int n,v;while(scanf("%d %d",&v,&n) != EOF){for(int i = 0;i < maxn; i++){dp[i][0] = dp[0][i] = c[i] = w[i] = 0;}for(int i = 1;i <= n; i++){scanf("%d",&c[i]);}for(int i = 1;i <= n; i++){scanf("%d",&w[i]);}for(int i = 1;i <= n; i++){for(int j = 1;j <= v; j++){dp[i][j] = dp[i - 1][j];if(c[i] <= j){dp[i][j] = max(dp[i][j],dp[i][j - c[i]] + w[i]);}}}printf("%d\n",dp[n][v]);}return 0; }

一個簡單有效的優化

完全背包問題有一個很簡單有效的優化：若兩件物品i、 j滿 足c[i] <= c[j]且w[i] >= w[j]，則將物品j去掉，不用考慮。這個優化的正確性顯然：任何情況下都可 將價值小費用高得j換成物美價廉的i，得到至少不會更差的方案。對于隨機生成的數據，這個方 法往往會大大減少物品的件數，從而加快速度。然而這個并不能改善最壞情況的復雜度，因為 有可能特別設計的數據可以一件物品也去不掉。

首先將費用大于V的物品去掉，然后使用類似計數排序的做法，計算出費用相同 的物品中價值最高的是哪個，可以Θ(V + N)地完成這個優化。

//完全背包 #include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int maxn=1e4+10; int n;//n種物品 int v;//背包容量 int c[maxn]; int w[maxn]; int dp[maxn]; int main() {while(scanf("%d%d",&v,&n)!=EOF){for(int i=0;i<n;i++)scanf("%d",&c[i]);//每個物品的體積for(int i=0;i<n;i++)scanf("%d",&w[i]);//每物品的價值memset(dp,0,sizeof(dp));for(int i=0;i<n;i++)//枚舉所有的物品for(int j=c[i];j<=v;j++)//枚舉背包容量dp[j]=max(dp[j],dp[j-c[i]]+w[i]);//狀態轉移方程printf("%d\n",dp[v]);}return 0; }

三 多重背包問題

3.1 題目

有N種物品和一個容量為V 的背包。第i種物品最多有Mi件可用，每件耗費 的空間是Ci，價值是Wi。求解將哪些物品裝入背包可使這些物品的耗費的空間 總和不超過背包容量，且價值總和最大。

3.2 基本算法

這題目和完全背包問題很類似。基本的方程只需將完全背包問題的方程略 微一改即可。 因為對于第i種物品有Mi+1種策略：取0件，取1件……取Mi件。令F[i, v]表 示前i種物品恰放入一個容量為v的背包的最大價值，則有狀態轉移方程：

F[i，v] = max{ F[i ? 1, v ? k ? Ci ] + k ? Wi | 0 ≤ k ≤ Mi }? ? ? ?復雜度是O(V * ΣMi)。

3.3 轉化為01背包問題

另一種好想好寫的基本方法是轉化為01背包求解：

方法一：O(V * ΣMi)?

把第i種物品換成Mi件01 背包中的物品，則得到了物品數為ΣMi的01背包問題。直接求解之，復雜度仍 然是O(V * ΣMi)。

#include<iostream> #include<cstdio> using namespace std; const int maxn = 5005; int dp[maxn][maxn]; int c[maxn];//第i件物品耗費的空間是Ci int w[maxn];//得到的價值是Wi。 int main() {int v;//背包容量int n;//N件物品int T;scanf("%d",&T);while(T--){scanf("%d %d",&v,&n);int p=1;for(int i = 1;i <= n; i++){int cost,value,num;scanf("%d%d%d",&cost,&value,&num);while(num--){c[p]=cost;w[p]=value;p++;} }//動態規劃邊界問題for(int i = 0;i <= n; i++){dp[i][0] = dp[0][i] = 0;}for(int i = 1;i <= p; i++){//枚舉p件物品for(int j = 1;j <= v; j++){//枚舉背包容量if(j < c[i]){ //當前背包容量放不下這件物品dp[i][j] = dp[i - 1][j];}else{ //當前背包容量可以放下這件物品dp[i][j] = max(dp[i - 1][j],dp[i - 1][j - c[i]] + w[i]);}}}printf("%d\n",dp[p-1][v]);}return 0; }

方法二：O(V * ΣlogMi)?

但是我們期望將它轉化為01背包問題之后，能夠像完全背包一樣降低復雜 度。 仍然考慮二進制的思想，我們考慮把第i種物品換成若干件物品，使得原問 題中第i種物品可取的每種策略——取0 . . . Mi件——均能等價于取若干件代換 以后的物品。另外，取超過Mi件的策略必不能出現。

方法是：將第i種物品分成若干件01背包中的物品，其中每件物品有一個系 數。這件物品的費用和價值均是原來的費用和價值乘以這個系數。令這些系數 分別為1, 2, 2 ^2 . . . 2 ^ (k?1) , Mi ? 2^ (k ) + 1，且k是滿足Mi ? 2 ^ k + 1 > 0的最大整數。

例 如，如果Mi為13，則相應的k = 3，這種最多取13件的物品應被分成系數分別 為1, 2, 4, 6的四件物品。 分成的這幾件物品的系數和為Mi，表明不可能取多于Mi件的第i種物品。另 外這種方法也能保證對于0 . . . Mi間的每一個整數，均可以用若干個系數的和表 示。這里算法正確性的證明可以分0 . . . 2 ^ (k?1)和2 ^ k . . . Mi兩段來分別討論得出， 這樣就將第i種物品分成了O(logMi)種物品，將原問題轉化為了復雜度 為O(V * ΣlogMi)?的01背包問題，是很大的改進。

#include<iostream> #include<cstdio> using namespace std; const int maxn = 5005; int dp[maxn][maxn]; int c[maxn];//第i件物品耗費的空間是Ci int w[maxn];//得到的價值是Wi。 int main() {int v;//背包容量int n;//N件物品int T;scanf("%d",&T);while(T--){scanf("%d %d",&v,&n);int p=1;for(int i = 1;i <= n; i++){int cost,value,num;scanf("%d%d%d",&cost,&value,&num);int k=1;while(num-(k*2)+1>0){c[p]=k*cost;w[p]=k*value;k*=2;p++;}k=(num-k+1);c[p]=k*cost;w[p]=k*value;p++; }//動態規劃邊界問題for(int i = 0;i <= n; i++){dp[i][0] = dp[0][i] = 0;}for(int i = 1;i <= p; i++){//枚舉p件物品for(int j = 1;j <= v; j++){//枚舉背包容量if(j < c[i]){ //當前背包容量放不下這件物品dp[i][j] = dp[i - 1][j];}else{ //當前背包容量可以放下這件物品dp[i][j] = max(dp[i - 1][j],dp[i - 1][j - c[i]] + w[i]);}}}printf("%d\n",dp[p-1][v]);}return 0; }

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的01背包问题+完全背包问题+多重背包问题的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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