快速傅里葉變換

快速傅里葉變換（英語：Fast Fourier Transform, FFT），是快速計算序列的離散傅里葉變換（DFT）或其逆變換的方法。傅里葉分析將信號從原始域（通常是時間或空間）轉換到頻域的表示或者逆過來轉換。FFT會通過把DFT矩陣分解為稀疏（大多為零）因子之積來快速計算此類變換。?因此，它能夠將計算DFT的復雜度從只用DFT定義計算需要的??，降低到??，其中???為數據大小。

快速傅里葉變換廣泛的應用于工程、科學和數學領域。這里的基本思想在1965年才得到普及，但早在1805年就已推導出來。?1994年美國數學家吉爾伯特·斯特朗把FFT描述為“我們一生中最重要的數值算法”，它還被IEEE科學與工程計算期刊列入20世紀十大算法

庫利－圖基快速傅里葉變換算法（Cooley-Tukey算法）是最常見的快速傅里葉變換算法。這一方法以分治法為策略遞歸地將長度為N?=?N1N2的DFT分解為長度分別為N1和N2的兩個較短序列的DFT，以及與旋轉因子的復數乘法。這種方法以及FFT的基本思路在1965年J. W. Cooley和J. W. Tukey合作發表An algorithm for the machine calculation of complex Fourier series之后開始為人所知。但后來發現，實際上這兩位作者只是重新發明了高斯在1805年就已經提出的算法（此算法在歷史上數次以各種形式被再次提出）。

庫利－圖基算法最有名的應用，是將序列長為N的DFT分區為兩個長為N/2的子序列的DFT，因此這一應用只適用于序列長度為2的冪的DFT計算，即基2-FFT。實際上，如同高斯和庫利與圖基都指出的那樣，庫利－圖基算法也可以用于序列長度N為任意因數分解形式的DFT，即混合基FFT，而且還可以應用于其他諸如分裂基FFT等變種。盡管庫利－圖基算法的基本思路是采用遞歸的方法進行計算，大多數傳統的算法實現都將顯示的遞歸算法改寫為非遞歸的形式。另外，因為庫利－圖基算法是將DFT分解為較小長度的多個DFT，因此它可以同任一種其他的DFT算法聯合使用。

快速傅里葉變換是一個很有工程價值的算法，廣泛地應用于音頻、圖像等數字信號處理軟件中。傅里葉變換本身的理論很深，這里僅以快速多項式乘法為例介紹它在算法競賽中的應用。快速傅里葉變換（FFT）是用來計算離散傅里葉變換（DFT)及其逆變換（IDFT）的快速算法。DFT把時域信號變換為頻域信號。時域和頻域只是兩種信號分析的方法，并不是指兩種不同類別的信號。DFT有一個很有意思的性質：時域卷積，頻域乘積；頻域卷積，時域乘積；如果你不知道什么是卷積（convolution),也沒關系，請記住：多項式乘法實際上是多項式系數向量的卷積。

多項式乘法。給定兩個單變量多項式A(x),B(x),次數均不超過n，如何快速計算二者的乘積呢？最簡單的方法就是把系數兩兩相乘，再相加。這樣計算的時間復雜度是 O（n^2),當n很大時，速度會很慢。注意，高精度整數的乘法是多項式乘法的特殊情況，所以多項式乘法的快速乘法也可以用來做高精度乘法。

上述算法之所以慢是因為表示方法不好。雖然”系數序列“是最自然的表示方法，但卻不適合用來計算乘法。在多項式快速乘法中，需要用點值法來表示一個多項式，點值表示一個”點—值“對的序列{(x0,y0),(x1,y1).......(x(n-1),y(n-1))}，它代表一個多項式，點值法非常適合做乘法：只要兩個多項式的點集{ xi }相同，則只需要把對應的值乘起來就可以了，只需要O(n)時間。但問題在于輸入輸出的時候仍需要采用傳統的系數表示法，因此需要快速地在系數表示和點值表示之間轉換。還記得上面那句話嗎？時域卷積，頻域乘積；也就是說，多項式的系數表示法對應于時域，而點值表示法對應于頻域。因此，只需要用FFT計算出一個DFT，就可以完成轉換。

單位根。這樣算出來的點值表示法，對應的求值點是那些？答案是2n次單位根。所謂”n次單位根“，是指滿足x^n=1的復數。在復數域，1恰好有n個單位根e^(2k*PI*i / n),其中i是虛數單位，e^(iu)=cos u+i*sin u.單位根非常特殊，因此FFT才可以在更短時間內求出多項式在這些點的取值。

利用FFT進行快速多項式乘法的步驟：

1.補0：在兩個多項式的最前面補0，得到兩個2n次多項式，設系數向量分別是V1和V2

2.求值：用FFT計算 f1=DFT(v1)和 f2=DFT(v2).這里的f1和f2分別是兩個輸入多項式在2n次單位根處的各個取值（即點值表示）

3.乘法：把兩個向量f1和f2的每一維對應相乘，得到向量f。它對應多項式乘積的點值表示

4.插值：用FFT計算v=IDFT(f),其中n就是乘積的系數向量

多項式求值算法

給定多項式：A(x)=a0+a1*x+a2*x^2+a3*x^3+......+a(n-1)*x^(n-1)

設x為1的2n次方根，對所有的x計算A(x)的值

算法1：對每個x做下述運算，依次計算每個項 ai*x^i,(i=0,1,2,3....n-1),然后對 ai*x^i(i=0,1,2,3....n-1)求和

每一項都需要重新計算，時間復雜度是O(n^3)

算法2：依次對x做下述運算，減少不必要的重新計算，A1(x)=a(n-1),

數據結構優化

有時盡管狀態找好了，轉移方程的想好了，但時間復雜度比較大，需要用數據結構進行優化。常見的優化有二進制優化、單調隊列優化、斜率優化、四邊形不等式優化等。

1、二進制優化

主要是優化背包問題，背包九講里面有介紹，比較簡單，這里只附上幾道題目。

hdu 1059 Diving?

hdu 1171 Big Event in Hdu

poj 1048 Follow My Magic

2、單調隊列優化

推薦論文：http://wenku.baidu.com/view/4d23b4d128ea81c758f578ae.html

推薦博客：http://www.cnblogs.com/neverforget/archive/2011/10/13/ll.html

hdu 3401 Trade??

poj 3245 Sequece Partitioning?二分+單調隊列優化

3、斜率優化

推薦論文：用單調性優化動態規劃

推薦博客：http://www.cnblogs.com/ronaflx/archive/2011/02/05/1949278.html

hdu 3507 Print Article

poj 1260 Pearls

hdu 2829 Lawrence

hdu 2993 Max Average Problem

4、四邊形不等式優化

推薦博客：http://www.cnblogs.com/ronaflx/archive/2011/03/30/1999764.html

推薦博客：http://www.cnblogs.com/zxndgv/archive/2011/08/02/2125242.html

hdu 2952 Counting Sheep

poj 1160 Post Office

hdu 3480 Division

hdu 3516 Tree Construction

hdu 2829 Lawrence

四邊形不等式優化

今天第一次學習四邊形不等式優化dp，感覺優化效果十分給力，不過數學味道比較濃重，證明比較復雜。因此這里刪繁就簡，給出關于四邊形不等式優化必須要明白的地方，以后直接套用條件即可。

四邊形不等式優化條件

1.在動態規劃中，經常遇到如下式的狀態轉移方程：

m(i,j) = min{?m(i,k-1),m(k,j) } + w(i,j)? (i<=k<=j) (min也可以改為max）

m(i,j) 表示在【i，j】區間上的某個最優值，w(i,j)表示轉移時需要付出的代價，該方程的時間復雜度為O(n^3).

2.下面我們用四邊形不等式來優化上述方程：

（1）區間包含的單調性

如果對于 i <= i' < j <= j'，有w(i' , j) <= w(i , j')?,那么說明 W 具有區間包含的單調性。

（形象的理解為如果小區間包含于大區間，那么小區間的w值不超過大區間的w值）

（2）四邊形不等式

如果對于 i <= i' < j <= j' ,有 w( i , j ) + w( i' , j' ) <= w ( i , j' )+w( i' , j' )?,我們稱函數w滿足四邊形不等式

（形象的理解為兩個交錯區間的和不超過小區間與大區間的和）

兩個定理：

定理一：如果W函數同時滿足區間包含的單調性和四邊形不等式，那么函數m也滿足四邊形不等式

我們再定義S(i,j)表示m(i,j)取得最優值時對應的下標，（即 i<= k <= j 時，k處的w值最大，則s(i,j)=k )

此時有如下定理：

定理二：假如 m(i,j)滿足四邊形不等式，那么s(i,j)單調，即 s(i,j) <= s(i,j+1) <= s(i+1,j+1)

有了上述兩個定理后，如果w函數滿足區間包含單調性和四邊形不等式性質，那么有s(i,j-1) <= s(i,j) <= s(i+1,j)

原來的狀態轉移方程可以改寫為下式：

m(i,j)=min{m(i,k-1),m(k,j)}+w(i,j)? ?(min也可以改為max）

由于這個方程枚舉的是區間長度L=j-i，而s(i,j-1)和s(i-1,j)的區間長度為L-1，是之前已經計算過的，可以直接調用。不僅如此，區間的長度最多有n個，對于固定的長度L，不同的狀態也有n個，故時間復雜度為O(n^2),而原來的復雜度為O(n^3),實現了四邊形不等式的優化。今后只需要根據方程的形式，以及w函數是否滿足上述兩條性質，即可考慮使用四邊形不等式來優化。

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的dp进阶之FFT加速+数据结构优化+不等式优化的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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