在有限的時間內，計算出一個盡可能大的素數

一.問題點

• 有限時間：在一個可接受的時間范圍內，并非依靠暴力求解
• 盡可能大：可計算素數的上限
• 素數：因數只有1和它本身的自然數

二.素數的生成

n 位的十進制位的大素數生成步驟如下:

產生一個 n 位的隨機數p

若最低位為偶數, 則將它加1, 以確保該素數為奇數, 從而保證了平均節省一半的運算時間

檢查以確保 p 不能被任何小素數整除, 如 3, 5, 7, 11 等等，目的是排除 p 是合數的絕大部分可能性, 減少了下面步驟對 p 進行素數測試的總次數, 從而大大節省了運算時間。我采用了除2 以外(因已經檢驗過 p 的奇偶性)的所有小于 20 的素數, 來測試 p 對于它們的整除性

產生一個隨機數 a, 對 a 進行 Rabin- Miller測試，如果 p 通過測試, 則另外產生一個隨 機數 a, 再重新進行測試選取較小的 a 值，以保證較快的運算速度，作 3次Rabin-Miller 測試(1次看起來已足夠, 但為保證較高的精確性, 可以多做幾次)

如果 p 通過測試, 則 p 是素數,否則將原被測試數加 2, 得到一個新的數, 再對新數進行測試, 直到找到一個素數為止

三.Miller-Rabin 算法

Miller-Rabin 算法是一種基于概率的素性測試算法，因此該算法與一般的基于事實的真素性測試方法的區別是：存在一定的誤判率。但是在對于某個較大的待測數字進行多次測試的情況下，誤判率可以控制在可忽略范圍內。Miller-Rabin算法基于 Fermat 算法，屬于后者的變形、改進。

首先引入 Fermat定理：n是一個奇素數，a是任何整數(1 ≤ a ≤ n-1) ，則a^(n-1)≡1(mod n)根據此定理可以知道，對于給定的待測數字 n，可以通過設定素性測試算法，計算 w = a^(n-1)%n的結果來判定。

• W!=1，n一定不是素數；

• W==1，n可能是素數；

再引入二次探測定理，如果 n 是一個整數，且 0<x<n，則：x2%p=1 有： x= 1 / x = p-1。若n是素數,則( n-1 )一定是偶數,因此可令(n-1)=m*(2^q),其中m是正奇數( 若n是偶數,則上面的m*(2^q)一定可以分解成一個正奇數乘以2的k次方的形式 ),q是非負整數。

借助 Fermat 定理，進行如下測試：a^(m)%n、a^(2m)%n、a^(4m)%n、a^（m*(2^q)）%n。進行這些測試的過程為：Miller-Rabin 測試。

誤判率：若 n 是素數,a 是小于 n 的正整數,則 n 對以 a 為基的Miller 測試,結果為真。Miller 測試進行 k次,將合數當成素數處理的錯誤概率最多不會超過 4^(-k)。

四.Java程序實現

/*** 題目8：計算一個盡可能大的素數* 題目描述：在有限的時間內，計算出一個盡可能大的素數。*/ package edu.sust;import java.util.Random; import java.util.Scanner;public class PrimeNumber {public static void main(String[] args) {long startTime = System.currentTimeMillis(); //開始時間Scanner scanner = new Scanner(System.in);long executeTime;//程序執行時間System.out.println("請輸入程序運行的時間(毫秒為單位)：");executeTime = scanner.nextLong();long endTime = System.currentTimeMillis(); //結束時間int maxPrime = 2; //最大素數while (endTime - startTime < executeTime) {int num = getRandom();if (num > maxPrime) {if (MillerRabin(num, 3))maxPrime = num;}endTime = System.currentTimeMillis();}System.out.println(maxPrime);scanner.close();}public static int getRandom() {Random random = new Random();int num = random.nextInt(Integer.MAX_VALUE);if ((num & 1) != 1) {num++;//若最低位為偶數, 則將它加1, 以確保該素數為奇數}//檢查以確保 p 不能被任何小素數整除int[] primes = {3, 5, 7, 11, 13, 17, 19};for (int i = 0; i < primes.length; i++) {if (num % primes[i] == 0)return -1;}return num;}/*** 利用費馬小定理求大數冪取模** @param a 底數* @param b 指數* @param n 模數* @return 返回(a ^ b) mod n的值*/public static int FermatPower(int a, int b, int n) {int result = 1;while (b > 0) {if ((b & 1) == 1)result = (result * a) % n;if ((a * a) % n == 1 && a != 1 && a != n - 1)return -1;// 二次探測b >>= 1;a = (a * a) % n;}return result;}/*** Miller-Rabin素性測試** @param n 待測隨機數* @param time 檢測次數* @return 若通過測試，返回true，否則返回false*/public static boolean MillerRabin(int n, int time) {Random random = new Random();for (int i = 0; i < time; i++) {if (FermatPower(random.nextInt(n - 1) + 2, n - 1, n) != 1)return false;}return true;} }

參考文獻

劉少濤, 凌捷. 數據加密算法與大素數的生成及運算[J]. 廣東工業大學學報, 2001(04):27-31.

張宏, 劉曉霞, 張若巖. RSA公鑰密碼體制中安全大素數的生成[J]. 計算機技術與發展, 2008(09):137-139+143.

韓了了, 傅興華, 劉新華, et al. 一種基于RSA公鑰密碼體制大素數的生成方法[J]. 貴州大學學報(自然科學版), 2005(04):101-104.

總結

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