Luogu P1439

令f[i][j]表示a的前i個元素與b的前j個元素的最長公共子序列

可以得到狀態轉移方程:

if (a[i]==b[j]) dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;

dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j],dp[i][j-1]);

時空復雜度都為O(n²)

對于本題這種做法顯然是無法接受的。

我們可以對這個題目進行轉化。仔細看題，可以發現a,b兩個序列都是1-n的排列。

那么，我們可以利用映射，將a中的數一一映射成為1,2,3,4,5……,n

再把b中的數一一對應更改。由于a中的數是升序的，所以b中的最長上升子序列的長度就是a與b的最長公共子序列。LCS問題就轉化成了LIS問題。

例如樣例

a的 3 2 1 4 5映射為1 2 3 4 5

則b從1 2 3 4 5變為3 2 1 4 5

結合上面的分析就會變得很容易理解了。

#include<algorithm>

#include<cstdio>

using namespace std;

int n,a[100005],b[100005],k[100005],dp[100005],ans;

int main()

{

	scanf("%d",&n);

	for (int i=1;i<=n;i++)

	{

		scanf("%d",&a[i]);

		k[a[i]]=i;

	}

	for (int i=1;i<=n;i++)

	{

		scanf("%d",&b[i]);

		b[i]=k[b[i]];

	}

	dp[1]=1;

	for (int i=2;i<=n;i++)

	{

		for (int j=1;j<i;j++)

		{

			if (b[i]>b[j]) dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);

			else dp[i]=max(1,dp[i]);

		}

	}

	for (int i=1;i<=n;i++)

		ans=max(ans,dp[i]);

	printf("%d",ans);

	return 0;

}

這個動態規劃可以很輕松地寫出來，但是我們發現時間還是不夠優秀。

那么我們就要對這個算法進行優化。對于LIS問題，有一種廣為人知的O(nlogn)的解法。

dp[i]中存儲長度為i的LIS的最后一個數。

如果符合單調上升就直接增長長度并記錄，否則就利用STL二分查找出dp數組中第一個大于b[i]的位置，替換它。

舉個例子，例如 3 6 2 4 7 8

一開始的序列{3}，接著變成{3,6}

遇到2之后我們將3替換{2,6}，為什么可以進行替換呢？

因為后面還有一個4可以替換掉6，構成一條更優的序列。（保證結尾盡可能小，就能保證序列盡可能優）

如果后面沒有4呢？那么也沒有關系，因為這個2即使修改了也對答案沒有任何影響。

（想一想為什么）

dp[1]=b[1];

len=1;

for (int i=2;i<=n;i++)

{

	if (b[i]>dp[len]) dp[++len]=b[i];//記錄并增長長度。

	else

	{

		int x=upper_bound(dp+1,dp+1+len,b[i])-dp;

		dp[x]=b[i];

		//利用STL二分查找出dp數組中第一個大于b[i]的位置，替換它。

	}

}

完整代碼如下：

#include<algorithm>

#include<cstdio>

using namespace std;

int n,a[100005],b[100005],k[100005],dp[100005],ans,len;

int main()

{

	scanf("%d",&n);

	for (int i=1;i<=n;i++)

	{

		scanf("%d",&a[i]);

		k[a[i]]=i;//映射

	}

	for (int i=1;i<=n;i++)

	{

		scanf("%d",&b[i]);

		b[i]=k[b[i]];//對應修改

	}

	dp[1]=b[1];

	len=1;

	for (int i=2;i<=n;i++)

	{

		if (b[i]>dp[len]) dp[++len]=b[i];

		else

		{

			int x=upper_bound(dp+1,dp+1+len,b[i])-dp;

			dp[x]=b[i];

		}

	}

	printf("%d",len);

	return 0;

}

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【Luogu P1439】最长公共子序列（LCS）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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