最java大子矩阵和问题_最大子矩阵问题实例解析
問題：
求一個(gè)M*N的矩陣的最大子矩陣和。
比如在如下這個(gè)矩陣中：
0 -2 -7 0
9 2 -6 2
-4 1 -4 1
-1 8 0 -2
擁有最大和的子矩陣為：
9 2
-4 1
-1 8
其和為15。
思路：
首先，這個(gè)子矩陣可以是任意大小的，而且起始點(diǎn)也可以在任何地方，所以，要把最大子矩陣找出來，我們要考慮多種情況。
假定原始矩陣的行數(shù)為M，那么對于子矩陣，它的行數(shù)可以是1到M的任何一個(gè)數(shù)，而且，對于一個(gè)K行(K < M)的子矩陣，它的第一行可以是原始矩陣的第1行到 M - K + 1 的任意一行。
例子：
對于上面的矩陣，如果子矩陣的行數(shù)是2，那么它可以是下面幾個(gè)矩陣的子矩陣：
0 -2 -7 0
9 2 -6 2
或者
9 2 -6 2
-4 1 -4 1
或者
-4 1 -4 1
-1 8 0 -2
在每一種情況里(我們這里有三種)，我們還要找出一個(gè)最大的子矩陣，當(dāng)然，這只是一種情況的最大子矩陣(局部最大)，不一定是global最大。但是，如果我們知道每一種情況的最大，要找出global最大，那就小菜一碟兒了。
在講在一個(gè)特殊情況下求最大子矩陣之前，先講一個(gè)事實(shí)：
假設(shè)這個(gè)最大子矩陣的維數(shù)是一維，要找出最大子矩陣, 原理與求“最大子段和問題” 是一樣的。最大子段和問題的遞推公式是 b[j]=max{b[j-1]+a[j], a[j]}，b[j] 指的是從0開始到j(luò)的最大子段和。
Java實(shí)現(xiàn)示例：假設(shè)原始矩陣為：[9，? 2， -6，? 2]， 那么b[] = {9, 11, 5, 7}, 那么最大字段和為11， 如果找最大子矩陣的話，那么這個(gè)子矩陣是 [9， 2]
求最大子段和的代碼如下：
public int maxSubsequence(int[] array) {
if (array.length == 0) {
return 0;
}
int max = Integer.MIN_VALUE;
int[] maxSub = new int[array.length];
maxSub[0] = array[0];
for (int i = 1; i < array.length; i++) {
maxSub[i] = (maxSub[i-1] > 0) ? (maxSub[i-1] + array[i]) : array[i];
if (max < maxSub[i]) {
max = maxSub[i];
}
}
return max;
}
但是，原始矩陣可以是二維的。假設(shè)原始矩陣是一個(gè)3 * n 的矩陣，那么它的子矩陣可以是 1 * k, 2 * k, 3 * k，(1 <= k <= n)。 如果是1*K，這里有3種情況：子矩陣在第一行，子矩陣在第二行，子矩陣在第三行。如果是 2 * k，這里有兩種情況，子矩陣在第一、二行，子矩陣在第二、三行。如果是3 * k，只有一種情況。
為了能夠找出最大的子矩陣，我們需要考慮所有的情況。假設(shè)這個(gè)子矩陣是 2 *k, 也就是說它只有兩行，要找出最大子矩陣，我們要從左到右不斷的遍歷才能找出在這種情況下的最大子矩陣。如果我們把這兩行上下相加，情況就和求“最大子段和問題” 又是一樣的了。
為了找出在原始矩陣?yán)锏淖畲笞泳仃?#xff0c;我們要遍歷所有的子矩陣的可能情況，也就是說，我們要考慮這個(gè)子矩陣有可能只有1行，2行，。。。到n行。而在每一種情況下，我們都要把它所對應(yīng)的矩陣部分上下相加才求最大子矩陣(局部)。
比如，假設(shè)子矩陣是一個(gè)3*k的矩陣，而且，它的一行是原始矩陣的第二行，那么，我們就要在
9 2 -6 2
-4 1 -4 1
-1 8 0 -2
里找最大的子矩陣。
如果把它上下相加，我們就變成了 4, 11, -10,1， 從這個(gè)數(shù)列里可以看出，在這種情況下，最大子矩陣是一個(gè)3*2的矩陣，最大和是15.
為了能夠在原始矩陣?yán)锖芸斓玫綇?i 行到 j 行 的上下值之和，我們這里用到了一個(gè)輔助矩陣，它是原始矩陣從上到下加下來的。
假設(shè)原始矩陣是matrix, 它每一層上下相加后得到的矩陣是total，那么我們可以通過如下代碼實(shí)現(xiàn)：
int[][] total = matrix;
for (int i = 1; i < matrix[0].length; i++) {
for (int j = 0; j < matrix.length; j++) {
total[i][j] += total[i-1][j];
}
}
如果我們要求第 i 行到第 j 行之間上下值的和，我們可以通過total[j][k] - total[i-1][k] 得到, k 的范圍從1 到 matrix[0].length - 1。
有了這些知識點(diǎn)，我們只需要在所有的情況下，把它們所對應(yīng)的局部最大子矩陣進(jìn)行比較，就可以得到全局最大的子矩陣。代碼如下：
public int subMaxMatrix(int[][] matrix) {
int[][] total = matrix;
for (int i = 1; i < matrix[0].length; i++) {
for (int j = 0; j < matrix.length; j++) {
total[i][j] += total[i-1][j];
}
}
int maximum = Integer.MIN_VALUE;
for (int i = 0; i < matrix.length; i++) {
for (int j = i; j < matrix.length; j++) {
//result 保存的是從 i 行 到第 j 行 所對應(yīng)的矩陣上下值的和
int[] result = new int[matrix[0].length];
for (int f = 0; f < matrix[0].length; f++) {
if (i == 0) {
result[f] = total[j][f];
} else {
result[f] = total[j][f] - total[i - 1][f];
}
}
int maximal = maxSubsequence(result);
if (maximal > maximum) {
maximum = maximal;
}
}
}
return maximum;
}
C語言相關(guān)的實(shí)現(xiàn)
題目
題目描述：
已知矩陣的大小定義為矩陣中所有元素的和。給定一個(gè)矩陣，你的任務(wù)是找到最大的非空(大小至少是1 * 1)子矩陣。
比如，如下4 * 4的矩陣
0 -2 -7 0
9 2 -6 2
-4 1 -4 1
-1 8 0 -2
的最大子矩陣是
9 2
-4 1
-1 8
這個(gè)子矩陣的大小是15。
輸入：
輸入是一個(gè)N * N的矩陣。輸入的第一行給出N (0 < N <= 100)。
再后面的若干行中，依次(首先從左到右給出第一行的N個(gè)整數(shù)，再從左到右給出第二行的N個(gè)整數(shù)……)給出矩陣中的N2個(gè)整數(shù)，整數(shù)之間由空白字符分隔(空格或者空行)。
已知矩陣中整數(shù)的范圍都在[-127, 127]。
輸出：
測試數(shù)據(jù)可能有多組，對于每組測試數(shù)據(jù)，輸出最大子矩陣的大小。
樣例輸入：
4
0 -2 -7 0
9 2 -6 2
-4 1 -4? 1
-1 8? 0 -2
樣例輸出：
15
AC代碼
#include
#include
int main(void)
{
int i, j, h, k, n, max, sum, cur, matrix[101][101];
while (scanf("%d", &n) != EOF) {
// 初始化接收矩陣
for (i = 0; i < n; i ++) {
for (j = 0; j < n; j ++)
scanf("%d", *(matrix + i) + j);
}
// 動(dòng)態(tài)規(guī)劃(類似于一維數(shù)組連續(xù)最大子序列和)
max = matrix[0][0];
for (i = 0; i < n; i ++) {
// i，j確定上下界
for (j = i; j < n; j ++) {
// 初始化
for (k = i, sum = 0; k <= j; k ++)
sum += matrix[k][0];
if (sum > max)
max = sum;
for (h = 1; h < n; h ++) {
for (k = i, cur = 0; k <= j; k ++)
cur += matrix[k][h];
if (sum >= 0)
sum += cur;
else
sum = cur;
if (sum > max) max = sum;
}
}
}
printf("%d\n", max);
}
return 0;
}
總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的最java大子矩阵和问题_最大子矩阵问题实例解析的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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