18.03 微分方程 Differential Equations

第四單元 一階常微分方程組

Unit 4 First-Order Systems

第24講 一階常微分方程組
第25講 常系數齊次線性方程組
第26講 常系數齊次線性方程組（續）
第27講 2′2齊次線性方程組作圖
第28講 非齊次方程組矩陣方法
第29講 矩陣指數
第30講 常系數解耦線性方程組
第31講 非線性自治方程組
第32講 極限環
第33講 非線性方程組和一階常微分方程之間的關聯

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第24講 一階常微分方程組

Introduction to First-order Systems of ODEs

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本課程剩下的時間學習微分方程組，我們所求解的微分方程組僅有一個自變量t，但是可以有多個因變量。若有兩個因變量x和y，則方程組形式為：

此類方程組為一階方程組，只存在一階導數，基本上我們也只討論一階方程組。這里所討論方程組為線性方程組，即因變量必須滿足線性要求，表達式滿足：

當系數a,b,c,d 為常數時，稱為常系數方程組，與之相對的情況是這些系數是自變量的函數。齊次方程組是指在方程中沒有 這類不包含有因變量 r(t) 的項，即齊次方程組中

， 。

通過方程組的初值條件可以確定解函數中的常數，在本方程組中解函數中的常數個數為2，它等于方程組的總階數。而初值條件的個數要和解中常數個數相同，通常的初值條件為

， 。

一階線性微分方程組的常見模型和一階方程大體相同，例如：混合模型、放射性衰變、熱傳導等等。這些模型中涉及兩個以上的對象時，就會從獨立的方程轉變為方程組，例如兩個容器的混合問題，再比如電路中有兩個相連接的RC回路的情況。而如果在電路模型的兩個回路上再添加一個包含電感的回路，則方程的總階數會變為1+1+2=4（電感引入二階微分方程）。

例：熱傳導問題。

容器中的水溫度為Te(t)，在水中加熱一個雞蛋，雞蛋不是均質物體，蛋黃和蛋白的性質有差異，蛋黃的溫度為T1，蛋白的溫度為T2。根據牛頓傳導定律有：

將變量的順序調整為

情況1文火煮蛋：水溫從100度開始衰減

。

情況2將煮好的雞蛋放入冰水，則Te(t)=0。

討論情況2，即齊次方程。若常系數為

，則方程為：

，初值條件設定為 。

方法一：消去一個因變量

。從方程一得到 ，代入第二個方程得到 ，整理得到 。

注意到這是一個二階微分方程，一個微分方程組經過化簡得到一個微分方程，則得到的方程階數等于方程組的總階數。另一方面，方程中所有的參數都是正的，因為這個方程描述的狀態最后會趨近于穩態值0，而不是發散或者某種振蕩狀態，因此要求方程的參數都為正，以此可以驗證計算的正誤。

特征方程

。特征方程的解 。因此解函數為 。求T2不要模仿以上求解過程重新運算一遍，這樣不止運算量大，并且會得到兩個待定常數，而初值條件僅允許解函數有兩個常數。正確的方法是將求得的T1代入T2表達式得到 。代入初值條件 ，得到解為 。解函數給出了蛋黃和蛋白溫度隨著時間的變化。

方法二：幾何法只討論等式右側沒有自變量t 的微分方程，即自治方程，但它可以不是線性方程組

。橫縱坐標分別是 。在物理中，這條曲線為參數化曲線。

給定任何一個起始點，就會得到一條通過它的解曲線。而導數

為運動的速度矢量。如果只有曲線圖，則給出的只有軌跡，并沒有表示出運動的快慢，即速度的大小。而畫出每一點的導數向量，得到的就是物理或者多變量微積分中常用的速度場。

注意速度場和方向場，軌跡和積分曲線的差異，33講老師專門講了這個問題。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的一阶微分方程的物理意义_MIT—微分方程笔记24 一阶常微分方程组的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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