算法练习day15——190403（简介、求n!、汉诺塔、打印字符串的子序列、打印字符串的全排列、母牛生小牛、最小路径和、累加和是否达到给定值）
1. 簡介
動態(tài)規(guī)劃是為了優(yōu)化暴力嘗試的。
2. 求n!
2.1 一般思路
public static long getFactorial2(int n) {long result = 1L;for (int i = 1; i <= n; i++) {result *= i;}return result; }2.2 遞歸
- 要求n!，求出(n-1)!，再乘以n即可；
- 求(n-1)!，先求出(n-2)!，再乘以(n-1)即可；
- ...
- 需要有個Base case，即n=1時，不再遞歸，直接返回1。
即：n!的結(jié)果依賴于n-1；n-1依賴于n-2；...；2依賴于1。
計算的時候，將順序逆過來，由1得到2，再得到3，...，再得到n-1，得到n。
一般方法的思路：把不依賴于別的的狀態(tài)給出，然后計算依賴于它的的狀態(tài)，在往后計算
public static long getFactorial1(int n) {if (n == 1) {return 1L;}return (long) n * getFactorial1(n - 1); }3.漢諾塔問題
打印n層漢諾塔從最左邊移動到最右邊的全部過程
3.1 簡介
如圖：
將左桿上的盤全部移到右桿上，中桿可作為輔助，要求大盤不能壓小盤。
3.1.1 具體步驟
3.2 遞歸思路分析
有from，to，help三個桿，1~N個盤在from桿上，需把它們移到to桿上。可以利用help桿。
運行結(jié)果：
3.3 將上述遞歸過程拆為6個子過程
L->R（M作為輔助）具體包括：
L->M（R作為輔助）具體包括：
后面四個步驟類似。
3.4 代碼實現(xiàn)
package Recursive;public class Hanoi {public static void main(String[] args) {moveLeftToRight(3);}public static void moveLeftToRight(int N) {if(N==1)System.out.println("Move "+N+" from 左 to 右");else{moveLeftToMiddle(N-1);System.out.println("Move "+N+" from 左 to 右");moveMiddleToRight(N-1);}}public static void moveLeftToMiddle(int N) {if(N==1)System.out.println("Move "+N+" from 左 to 中");else{moveLeftToRight(N-1);System.out.println("Move "+N+" from 左 to 中");moveRightToMiddle(N-1);}}public static void moveMiddleToRight(int N) {if(N==1)System.out.println("Move "+N+" from 中 to 右");else{moveMiddleToLeft(N-1);System.out.println("Move "+N+" from 中 to 右");moveLeftToRight(N-1);}}public static void moveRightToMiddle(int N) {if(N==1)System.out.println("Move "+N+" from 右 to 中");else{moveRightToLeft(N-1);System.out.println("Move "+N+" from 右 to 中");moveLeftToMiddle(N-1);}}public static void moveRightToLeft(int N) {if(N==1)System.out.println("Move "+N+" from 右 to 左");else{moveRightToMiddle(N-1);System.out.println("Move "+N+" from 右 to 左");moveMiddleToLeft(N-1);}}public static void moveMiddleToLeft(int N) {if(N==1)System.out.println("Move "+N+" from 中 to 左");else{moveMiddleToRight(N-1);System.out.println("Move "+N+" from 中 to 左");moveRightToLeft(N-1);}} }4.打印字符串的子序列（不是子串），包括空序列
4.1 分析
每走一步，都有兩個決策：
- 加當(dāng)前位置上的字符
- 不加這個字符
4.2 代碼實現(xiàn)
package Recursive;public class PrintAllSub {public static void main(String[] args) {String str="abc";printAllSub(str.toCharArray(),0,"");}public static void printAllSub(char[] str,int i,String res) {if(i==str.length) {System.out.println(res);return;}printAllSub(str,i+1,res);printAllSub(str,i+1,res+str[i]);} }運行結(jié)果：
5.打印一個字符串的全排列
5.1 分析
第一步：確認(rèn)第一個位置的字符，即第一個位置的字符一次和后面位置的字符進(jìn)行交換
第二步：確認(rèn)第二個位置的字符，...
...
最后，知道表示位置的index=字符串長度時，打印。
5.2 代碼實現(xiàn)
package Recursive;public class PrintAllPermutations {public static void main(String[] args) {String str="abc";printAllPermutations(str);}public static void printAllPermutations(String str) {char[] chs=str.toCharArray();process(chs,0);}public static void process(char[] chs,int i) {if(i==chs.length) {System.out.println(chs);return;}else {for(int j=i;j<chs.length;j++) {swap(chs,i,j);process(chs,i+1);swap(chs,i,j);//回歸原始位置，繼續(xù)下一輪交換}}}public static void swap(char[] chs, int i,int j) {char temp=chs[i];chs[i]=chs[j];chs[j]=temp;} }運行結(jié)果：
6.母牛生小牛
母牛每年生一只母牛，新出生的母牛成長三年后也能每年生一只母牛，假設(shè)牛不會死。
求N年后，母牛的數(shù)量。
6.1 分析
規(guī)律：
原因：第N年的牛個數(shù)=第N-1年牛的個數(shù)（牛不會死，去年的牛會保留到今年來）+向前數(shù)三年的牛的個數(shù)（新生的牛=可以生牛的母牛個數(shù)）
做法：寫出前幾項，得出規(guī)律，看規(guī)律是否合理。
時間復(fù)雜度：
有個更優(yōu)的，時間復(fù)雜度為
- 利用線性代數(shù)中矩陣乘法來解。
- 斐波那契數(shù)列也存在的解
7.暴力遞歸試出動態(tài)規(guī)劃——最小路徑和
給一個二維數(shù)組，其中的每個數(shù)都是正數(shù)。要求從左上角走到右下角，每一步只能向右或者向下。沿途經(jīng)過的數(shù)字要累加起來，返回最小的路徑和。
7.1 遞歸版本
package Recursive;public class MinRoadSum {public static void main(String[] args) {int[][] arr= {{3,2,1,0},{7,5,0,1},{3,7,6,2}};System.out.println(minRoadSum(arr));}public static int minRoadSum(int[][] arr) {int res=process(arr,0,0);//當(dāng)前數(shù)組，當(dāng)前的行號，當(dāng)前列號，當(dāng)前路徑和return res;}//從(i,j)出發(fā)，到達(dá)右下角的位子public static int process(int[][] arr,int i,int j) {int hlen=arr.length-1;int llen=arr[0].length-1;if(i==hlen&&j==llen) return arr[i][j];if(i==hlen)//只能往右走return arr[i][j]+process(arr,i,j+1);if(j==llen)//只能往下右走return arr[i][j]+process(arr,i+1,j);int down=process(arr,i+1,j);//下邊位置到右下角的最短路徑和int right=process(arr,i,j+1);return arr[i][j]+Math.min(down, right);} }這是暴力：
有大量重復(fù)解產(chǎn)生，如上圖中的f(1,1)。
整個過程中，重復(fù)狀態(tài)很多——暴力遞歸不行的原因。
7.2 改進(jìn)
在求解子過程時，將結(jié)果保存，下次用到的時候直接拿，可減少計算量。
——把1-1作為一個key，將f(1,1)作為value，存入哈希表中
7.3 遞歸可以改為動態(tài)規(guī)劃的要求
——在展開遞歸的過程中，有重復(fù)的計算，而且這個重復(fù)的狀態(tài)與到達(dá)它的路徑無關(guān)。
比如點(1,1)，它到右下角點的最短路徑與(0,0)是通過哪條路徑到達(dá)它的無關(guān)。
——這種問題叫做無后效性問題。——只要參數(shù)定了（如，1，1），返回值就確定了（f(1,1)是一定的）。
有后效性問題：漢諾塔問題、N皇后問題。——之前作出的選擇會影響后面的決策。
上題中，i和j一旦確定，返回值就是確定的。那么可以將所有的返回值存在和路徑數(shù)組大小一樣的數(shù)組dp中。
- dp數(shù)組中位置(i,j)表示：路徑數(shù)組中的位置(i,j)到右下角點的最短路徑和。
我們要的最終結(jié)果是(0,0)位置的值，標(biāo)為※，
然后看可以確定的位置的值——base case，即右下角位置的值，就是matrix中右下角位置的值0；
if(i==hlen&&j==llen) return arr[i][j];接著看設(shè)置不被依賴的值：最后一行和最后一列
如果在最后一行，則當(dāng)前位置的值=當(dāng)前matrix位置中對應(yīng)的值+右邊位置的最短路徑和（即dp中此位置右邊的值）
if(i==hlen)//只能往右走return arr[i][j]+process(arr,i,j+1);if(j==llen)//只能往下走return arr[i][j]+process(arr,i+1,j);最后一列也一樣：
接著分析一個普遍位置是怎么依賴的：
int down=process(arr,i+1,j);//下邊位置到右下角的最短路徑和 int right=process(arr,i,j+1);return arr[i][j]+Math.min(down,right);在當(dāng)前(i,j)，它需要：
- 右邊的位置：(i,j+1)
- 左邊的位置：(i+1,j)
- 選兩者中較小的
由于最后一行和最后一列已確定，則右下角位置的左上方的值就可以確定。它左邊的位置也可以求出來：
中間的位置從右到左，再從下到上，依次推倒頂部，即可得到答案。
以上就是暴力遞歸改為動態(tài)規(guī)劃的統(tǒng)一套路。
- 寫出可變版本
- 分析可變參數(shù)
- 哪些可變參數(shù)可以代表返回值的狀態(tài)
- 參數(shù)時幾維的，dp就是一張幾維表
- 在dp中標(biāo)出最終需要的點
- 回到base case中，將完全不依賴的位置的值設(shè)置好
- 分析一個普遍位置需要哪些位置，逆著回去，就會說填表的順序。
8.累加和是否可達(dá)到給定值
給定一個數(shù)組arr，其中的數(shù)全為正數(shù)。如果可以任意選擇arr中的數(shù)字。能不能累加得到正數(shù)aim。返回true或false。
8.1 分析
和子序列一樣
比如給定：
3，2，7，13
aim=9。是否能加到9？
f(0,0)：目前在0位置，形成的和是0；
可按照子序列的方法分析，在每個位置選擇要不要前一個位置的數(shù)。
到最后一層的時候，如果發(fā)現(xiàn)有一個累加和為9，返回true，然后一直往上，每一層只要有一個true，則最后結(jié)果肯定為true。
8.2 代碼實現(xiàn)
package Recursive;public class IsHaveSum {public static void main(String[] args) {int[] arr= {1,4,8};int aim=12;System.out.println(isHaveSum(arr,0,0,aim));}public static boolean isHaveSum(int[] arr,int i,int sum,int aim) {if(i==arr.length)return sum==aim;return isHaveSum(arr,i+1,sum,aim)||isHaveSum(arr,i+1,sum+arr[i],aim);} }8.3 分析是否有后效性
一個序列為3,2,5,...：
- 選3，2，沒選5，則是f(3,5)。
- 沒選3，2，選了5，還是f(3,5)
所以是無后效性的。
3和5一旦確定，則返回值肯定確定。
(arr,i,sum,aim)：四個參數(shù)中，arr和aim是確定的，i和sum是變化的——二維表
- LEN：數(shù)組中元素的個數(shù)，i的最大值；
- SUM：數(shù)組中所有元素的和，sum的最大值。
f(i,sum)肯定可以裝在上面兩個參數(shù)形成的二維表中。
8.4 轉(zhuǎn)換
8.4.1 找出最終需要的狀態(tài)
8.4.2 找出基本狀態(tài)
if(i==arr.length)//最后一行return sum==aim;aim>SUM直接返回false；
aim<SUM，則在最后一列SUM對應(yīng)的位置為T（True）
0~SUM之間是以1為單位遞增的。
8.4.3 分析普遍狀態(tài)
return isHaveSum(arr,i+1,sum,aim)||isHaveSum(arr,i+1,sum+arr[i],aim);狀態(tài)(i,sum)，依賴的狀態(tài)有：
- (i+1,sum)：下一行正下面的狀態(tài)；
- (i+1,sum+arr[i])：假設(shè)arr[i]=a，則指的是下一行正下方往右推a個單位的狀態(tài)。
8.5 若給定數(shù)組中有負(fù)值
SUM的范圍：負(fù)值之和~正值之和
注意下標(biāo)的對應(yīng)。
比如：3，-2，5
則SUM的范圍：-2~8
下標(biāo)的范圍：0~10
總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的算法练习day15——190403（简介、求n!、汉诺塔、打印字符串的子序列、打印字符串的全排列、母牛生小牛、最小路径和、累加和是否达到给定值）的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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