最优化——单纯形法学习心得
單純形法
基本可行解的表示式（教材中稱為典式） ：基變量只出現(xiàn)在一個(gè)等式的等式約束
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在選擇保留進(jìn)基變量所在行的過程中不用考慮進(jìn)基變量的系數(shù)不是正數(shù)的行 ,選擇進(jìn)基變量系數(shù)非負(fù)的行保留進(jìn)基變量
思路：①假設(shè)已知一個(gè)基本可行解??②選擇能夠使目標(biāo)函數(shù)改進(jìn)的進(jìn)基變量??③判斷目前的基本可行解是否最優(yōu)
對(duì)于最優(yōu)規(guī)劃
max?zs.t.?P1x1+P2x2+?+Pnxn=b?c1x1+c2x2+?+cnxn=zxj≥0,?1≤j≤n\begin{aligned} &\max z\\ &\begin{array}{ll} \text { s.t. } & P_{1} x_{1}+P_{2} x_{2}+\cdots+P_{n} x_{n}=\vec{b} \\ & c_{1} x_{1}+c_{2} x_{2}+\cdots+c_{n} x_{n}=z \\ & x_{j} \geq 0, \forall 1 \leq j \leq n \end{array} \end{aligned} ?maxz?s.t.??P1?x1?+P2?x2?+?+Pn?xn?=bc1?x1?+c2?x2?+?+cn?xn?=zxj?≥0,?1≤j≤n??
變換成單純形表（即變換出基變量）：
BV?x1?xk?xnRHS?xj(1)p^11?p^1k?p^1np^1n+1???????xj(m)p^m1?p^mk?p^mnp^mn+1σ1?σk?σnz?z^其中?(P^j(1),?,P^j(m))=Im,z^=CBTP^n+1=CBTB?1b?σj=cj?CBTP^j=cj?CBTB?1Pj,?1≤j≤n稱?σ1,?,σn為檢驗(yàn)數(shù)，可看出基變量檢驗(yàn)數(shù)等于0?\begin{aligned} &\begin{array}{c|ccccc|c} \hline \text { BV } & x_{1} & \cdots & x_{k} & \cdots & x_{n} & \text { RHS } \\ \hline x_{j(1)} & \hat{p}_{11} & \cdots & \hat{p}_{1 k} & \cdots & \hat{p}_{1 n} & \hat{p}_{1 n+1} \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots & \cdots & \vdots & \vdots \\ x_{j(m)} & \hat{p}_{m 1} & \cdots & \hat{p}_{m k} & \cdots & \hat{p}_{m n} & \hat{p}_{m n+1} \\ \hline & \sigma_{1} & \cdots & \sigma_{k} & \cdots & \sigma_{n} & z-\hat{z} \\ \hline \end{array}\\ &\text { 其中 }\left(\hat{P}_{j(1)}, \cdots, \hat{P}_{j(m)}\right)=I_{m}, \hat{z}=C_{B}^{T} \hat{P}_{n+1}=C_{B}^{T} B^{-1} \vec{b}\\ &\sigma_{j}=c_{j}-C_{B}^{T} \hat{P}_{j}=c_{j}-C_{B}^{T} B^{-1} P_{j}, \quad \forall 1 \leq j \leq n\\ &\large\text { 稱 } \sigma_{1}, \cdots, \sigma_{n} \text { 為檢驗(yàn)數(shù)，可看出基變量檢驗(yàn)數(shù)等于0 } \end{aligned} ??BV?xj(1)??xj(m)??x1?p^?11??p^?m1?σ1????????xk?p^?1k??p^?mk?σk????????xn?p^?1n??p^?mn?σn???RHS?p^?1n+1??p^?mn+1?z?z^???其中?(P^j(1)?,?,P^j(m)?)=Im?,z^=CBT?P^n+1?=CBT?B?1bσj?=cj??CBT?P^j?=cj??CBT?B?1Pj?,?1≤j≤n?稱?σ1?,?,σn??為檢驗(yàn)數(shù)，可看出基變量檢驗(yàn)數(shù)等于0??
②選擇對(duì)應(yīng)單純形表中檢驗(yàn)數(shù)大于0的變量進(jìn)基，可使得目標(biāo)函數(shù)改進(jìn)。
③如果單純形表中檢驗(yàn)數(shù)全都不大于0，那么對(duì)應(yīng)的基本可行解就是最優(yōu)解。
退化問題：
? 退化問題：基本可行解對(duì)應(yīng)的基變量中存在0元素。本質(zhì)是多個(gè)可行基陣對(duì)應(yīng)于一個(gè)基本可行解
? 退化問題的解決：只要設(shè)法避免回到已經(jīng)搜索過的基陣，就可以保證單純形法在有限步內(nèi)停止。
檢驗(yàn)數(shù)與退化問題：
? 1. 對(duì)于求max的線性規(guī)劃問題 ，如果所有檢驗(yàn)數(shù)均滿足小于等于0, 而且某非基變量的檢驗(yàn)數(shù)也等于0，則說明優(yōu)化問題有無窮多最優(yōu)解。
?
總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的最优化——单纯形法学习心得的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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