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编程问答

最优化——单纯形法，单纯形表的求取

發布時間：2024/10/14 编程问答 303 豆豆

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最優化——單純形法

一般性線性規劃標準型為對象總結其基本步驟
$max?zs.t.?P1x1+P2x2+?+Pnxn=b????(1)c1x1+c2x2+?+cnxn=z???(2)xj≥0,?1≤j≤n\begin{array}{ll} \max & z \\ \text { s.t. } & P_{1} x_{1}+P_{2} x_{2}+\cdots+P_{n} x_{n}=\vec{b}---(1) \\ & c_{1} x_{1}+c_{2} x_{2}+\cdots+c_{n} x_{n}=z ---(2)\\ & x_{j} \geq 0, \forall 1 \leq j \leq n \end{array}$

步驟一：求廣義基本可行解

已知一個可逆方陣 $B=(Pj(1),Pj(2),?,Pj(m))B=\left(P_{j(1)}, P_{j(2)}, \cdots, P_{j(m)}\right)$ 滿足
$B?1b?≥0B^{-1} \vec{b} \geq 0$
其中 $\leq j(i) \leq n, \forall 1 \leq i \leq m,$ 即 $B$ 是線性規劃標準型的可行基陣

由 $B$ 可以把線性約束(1) $P1x1+P2x2+?+Pnxn=b?P_{1} x_{1}+P_{2} x_{2}+\cdots+P_{n} x_{n}=\vec{b}$ 改寫為
$?(Pj(1),?,Pj(m))(xj(1)?xj(m))+Pj(m+1)xj(m+1)+?+Pj(n)xj(n)=b??(xj(1)?xj(m))+(B?1Pj(m+1))xj(m+1)+?+(B?1Pj(n))xj(n)=B?1b?\begin{array}{l} \Leftrightarrow\left(P_{j(1)}, \cdots, P_{j(m)}\right)\left(\begin{array}{c} x_{j(1)} \\ \vdots \\ x_{j(m)} \end{array}\right)+P_{j(m+1)} x_{j(m+1)}+\cdots+P_{j(n)} x_{j(n)}=\vec{b} \\ \Leftrightarrow \quad\left(\begin{array}{c} x_{j(1)} \\ \vdots \\ x_{j(m)} \end{array}\right)+\left(B^{-1} P_{j(m+1)}\right) x_{j(m+1)}+\cdots+\left(B^{-1} P_{j(n)}\right) x_{j(n)}=B^{-1} \vec{b} \end{array}$
可以得到一個基本可行解 $X=(x_1...x_n)^T$ 的表達式：

$XB=(xj(1)?xj(m)),(xj(m+1)...xj(n))=0X_{B}=\left(\begin{array}{c}x_{j(1)} \\ \vdots \\ x_{j(m)}\end{array}\right),(x_{j(m+1)}...x_{j(n)})=0$

對應線性約束的表達式變為如下:
$XB+P^j(m+1)xj(m+1)+?+P^j(n)xj(n)=P^n+1???（3）X_{B}+\hat{P}_{j(m+1)} x_{j(m+1)}+\cdots+\hat{P}_{j(n)} x_{j(n)}=\hat{P}_{n+1}---（3）$
其中 $P^j=B?1Pj=(p^1j?p^mj),?1≤j≤n,P^n+1=B?1b?\hat P_j=B^{-1}P_j=\left(\begin{array}{c}\hat{p}_{1 j} \\ \vdots \\ \hat{p}_{m j}\end{array}\right), \forall 1 \leq j \leq n,\hat{P}_{n+1}=B^{-1} \vec{b}$

步驟二：求檢驗數

記 $CB=(cj(1),?,cj(m))T,C_{B}=\left(c_{j(1)}, \cdots, c_{j(m)}\right)^{T},$

用 $C_{B}$ 左乘(3) 得 $CBTXB+CBTP^j(m+1)xj(m+1)+?+CBTP^j(n)xj(n)=CBTP^n+1???(4)C_{B}^{T} X_{B}+C_{B}^{T} \hat{P}_{j(m+1)} x_{j(m+1)}+\cdots+C_{B}^{T} \hat{P}_{j(n)} x_{j(n)}=C_{B}^{T} \hat{P}_{n+1}---(4)$

目標函數(2)用 $C_{B}$ 可以寫成： $CBTXB+cj(m+1)xj(m+1)+?+cj(n)xj(n)=z???(5)C_{B}^{T} X_{B}+c_{j(m+1)} x_{j(m+1)}+\cdots+c_{j(n)} x_{j(n)}=z---(5)$

用(5)-(4)得：
$z?CBTP^n+1=(cj(m+1)?CBTP^j(m+1))xj(m+1)+?+(cj(n)?CBTP^j(n))xj(n)???(6)z?z^=σj(m+1)xj(m+1)+?+σj(n)xj(n)???(7)\begin{array}{c} z-C_{B}^{T} \hat{P}_{n+1}=\left(c_{j(m+1)}-C_{B}^{T} \hat{P}_{j(m+1)}\right) x_{j(m+1)}+\cdots+\left(c_{j(n)}-C_{B}^{T} \hat{P}_{j(n)}\right) x_{j(n)}---(6) \\ z-\hat{z}=\sigma_{j(m+1)} x_{j(m+1)}+\cdots+\sigma_{j(n)} x_{j(n)}---(7) \end{array}$
$CBTP^n+1C_{B}^{T} \hat{P}_{n+1}$ 就是第一步中 $X$ 所求得的一個可行基本解的目標函數值 $z^\hat{z}$ ，這個可以把 $XB=(xj(1)?xj(m)),(xj(m+1)...xj(n))=0X_{B}=\left(\begin{array}{c}x_{j(1)} \\ \vdots \\ x_{j(m)}\end{array}\right),(x_{j(m+1)}...x_{j(n)})=0$ 帶入(4)和(5)就可以看出來。

步驟三：得到單純形表

其中 $(P^j(1),?,P^j(m))=Im,z^=CBTP^n+1=CBTB?1b?\left(\hat{P}_{j(1)}, \cdots, \hat{P}_{j(m)}\right)=I_{m}, \hat{z}=C_{B}^{T} \hat{P}_{n+1}=C_{B}^{T} B^{-1} \vec{b}$

$σj=cj?CBTP^j=cj?CBTB?1Pj,?1≤j≤n\sigma_{j}=c_{j}-C_{B}^{T} \hat{P}_{j}=c_{j}-C_{B}^{T} B^{-1} P_{j}, \quad \forall 1 \leq j \leq n$

稱 $σ1,?,σn\sigma_{1}, \cdots, \sigma_{n}$ 為檢驗數，可看出基變量檢驗數等于0

總結

以上是生活随笔為你收集整理的最优化——单纯形法，单纯形表的求取的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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