文章目錄

• 前言
• 重要坐標系
• 剛體運動
• • 預備知識
  • 移動
  • 旋轉
  • • 慣性矩（通常平面剛片且是均質的，則也稱為轉動慣量）
• 列寫動力學方程

前言

為什么要考慮運動學？因為運動學的速度是一個理想化的一個量，讓它為0，立馬就能為0，然鵝現實中它不可能瞬間就變成0，他還需要制動。另外就是加速度的限制：使得車能在車輪不打滑或者車不會翻過來的情況下在一定時間內達到最大速度。
動力學 隱式表達：
$$g_i(\ddot{q},\dot{q},q)=0$$
動力學 顯示表達：
$$\ddot{q}=f(\dot{q},q,u)$$
由于高階導數計算比較困難，這里引入相空間來對其進行簡化，類似于非線性規劃中的相平面。

重要坐標系

Inertial frame：固定的全局坐標系

Translating frame：固定在運動體上的坐標系，原點在質心，但軸平行于Inertial frame

Body frame：固定在運動體上的坐標系，質點在質心，軸隨著質點運動會改變方向

剛體運動

預備知識

角動量:L=r X p(p為O點的動量，r是質點相對O點的位矢)
力矩：N=F X r（F為O點的力，r是質點相對O點的位矢），還等于dL/dt(L為角動量，角動量定理)

$A?{\mathbb{R}}^3$代表一個剛體. $\sigma (r)$ 代表在 $r\in A$的一點的剛體密度，$m$ $A$的總質量:
$$m={\int }_A\sigma (r)dr$$

$dr=d{r}_{1}d{r}_{2}d{r}_3$ 代表一個柱狀的體積，$p\in {\mathbb{R}}^3$ 表示 $A$的質心, $p=(p_1,p_2,p_3)$：

由于剛體的內部力相互抵消，外部邊界的力的集合可以合成一個力F和力矩N作用在質點p：

移動

剛體不旋轉值只移動：動量

由牛二定理：

可以得到六個狀態轉移方程：

旋轉

旋轉可以同移動進行解耦，所以現在只在 translating frame中考慮純粹的旋轉運動。E為角動量，則力矩為：
參考角動量定理


參考上面圖13.11，旋轉角速度：v是單位向量，表示旋轉方向，$\theta$表示旋轉角度

將此角速度轉化成，yaw-pitch-roll形式表示的旋轉角速度：

慣性矩（通常平面剛片且是均質的，則也稱為轉動慣量）

E是整個剛體的角動量

經過以下一系列操作，主要是點乘和叉乘之間的轉換：

慣性矩陣3 X 3對稱矩陣：

則剛體的角動量：

剛體所受到的力矩：

注意上面求得的慣性矩陣是在translating frame中考慮的，它會隨著旋轉q的變化而變化：

這里我們將慣性矩陣定義在body frame中，表示成I，則I與I（q）的關系（其中R是body frame到 translational frame的旋轉矩陣。）：

則剛體所受到的力矩簡化為：

如果選擇的body frame等于慣性主軸，那么慣性矩陣就簡化為：

列寫動力學方程

這里假設選擇的body frame等于慣性主軸，求得角加速度方程：

結合移動那一節的三個方程，以及角速度和四元數（表示旋轉角度）的關系，我們就得到了12個動力學方程：

總結

以上是生活随笔為你收集整理的机器人动力学（Basic Newton-Euler Mechanics）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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