線性空間中的商空間(Quotient Space)

定義一個等價關系

假設M是線性空間X的線性子空間：對于所以x，y屬于X，我們定義：
$$x\equiv y(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}M)?x?y\in M$$
上面這個是X上定義的一個等價關系：$x～y$ if and only if $(x?y)\in Z$

定義商空間

對于x，我們定義一個記號：[x],表示的是一個集合。
$$[x]:=\{y\in X:x\equiv y(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}M)\}=\{y\in X:x?y\in M\}=x+M$$
將線性空間X中的每一個x都對應一個這樣的集合，則所有的這樣的集合加起來就是商空間X/M。

幾何上的例子

下面舉一個例子，假設X為$R^2$線性空間，M為其中一條直線y=x(綠色)上的所有點組成的X的子線性空間，那么對于x=A=（-1，2），來說，[x]:=橙色的那條線上的所有點，可以計算一下
(-1,2)+(2,2)=(1,4)
(-1,2)+(1,1)=(0,3)
(-1,2)+(0,0)=(-1,2)
(-1,2)+(-1,-1)=(-2,1)
把點(1,4)，(0,3)，(-1,2)，(-2,1)擬合就得到橙色線

總結

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