遞歸概念

任何可以用計算機求解的問題所需的計算時間都與其規模有關，問題的規模越小，解題所需的計算時間往往也越短，從而比較容易處理。直接或者間接調用自身的算法稱為遞歸算法，用函數自身給出定義的函數稱為遞歸函數。使用遞歸技術往往使函數的定義和算法的描述簡捷且易于理解，有些數據結構，如二叉樹等，由于其本身固有的遞歸特性，特別適合用遞歸的形式來描述。

當我們設計遞歸算法時，應滿足三點：①符合遞歸的描述：需要解決的問題可以化為子問題求解，而子問題求解的方法與原問題相同，只是數量增大或減少；②遞歸調用的次數是有限的；③必須有遞歸結束的條件

其中第③點是我們在編寫遞歸函數時必須要注意的，一定要有遞歸結束條件，即每個遞歸函數都必須有非遞歸定義的初始值，在函數遞歸結束條件下，沒有再調用遞歸函數。

if (滿足遞歸結束條件):這個程序塊中沒有調用遞歸函數的語句

函數遞歸的調用機制

遞歸函數調用同樣遵守函數調用機制，當函數調用自己時也要將函數狀態、返回地址、函數參數、局部變量壓入棧中進行保存。

實際上函數被調用時執行的代碼是函數的一個副本，與調用函數的代碼無關。當一個函數被調用兩次，則函數就會有兩個副本在內存中運行，每個副本都有自己的棧空間且與調用函數的棧空間不同，因此不會相互影響。這種調用機制決定了函數是可以遞歸調用的。

當有多個算法構成嵌套調用的時候，按照后調用先返回的原則進行，算法之間的信息傳遞和控制轉移必須通過棧來實現，即系統將整個程序運行時所需的數據空間安排在一個棧中，每調用一個算法，就為它在棧頂分配一個存儲區，每退出一個算法，就釋放它在棧頂的存儲區，當前運行算法的數據一定是在棧頂的。

遞歸算法的優缺點

遞歸算法結構清晰，可讀性強，并且容易用數學歸納證明算法的正確性，為設計算法和調試程序帶來很大的方便。但是遞歸調用運行效率比較低，無論是計算時間還是占用的存儲空間都比非遞歸算法要多。

有時希望在遞歸算法中消除遞歸調用，使其轉化為一個非遞歸算法。通常采用的方法是，用一個用戶的棧來模擬系統的遞歸調用工作棧，從而達到將遞歸算法改為非遞歸算法的目的。

算法實例

階乘函數

我們首先通過階乘函數來了解遞歸，我們可以很容易的將階乘函數的遞歸公式寫出來：

我們通過這個遞歸公式，可以很容易的寫出計算階乘的遞歸函數

#階乘問題 def factorial(n:int): '''n為輸入，為n！''' if n == 0: return 1 else: return n*factorial(n-1)#時間復雜度為O(n)

可以發現，我們在寫遞歸函數的時候，很大程度上依賴于我們根據階乘這個具體問題總結出來的遞歸公式，根據遞歸公式可以很容易的寫出對應的遞歸函數。

Fabonacci數列

學過數學的人應該都知道Fabonacci數列，1，1，2，3，5，8，13…，我們可以很容易的寫出這個數列的遞歸公式表示

同樣的，根據這個遞歸公式我們就可以方便的寫出遞歸函數

#Fabonacci數列 def fabonacci(n:int): '''n為輸出fabonacci數列的第多少個''' if n <= 1: return 1 else: return fabonacci(n-1)+fabonacci(n-2)#時間復雜度為O(2^n)??調用過程類比二叉樹

全排列問題

求解一個無重復元素數組的全排列，即list中所有元素需要考慮順序問題的全部可能的排列。比如[1,2,3]，它的全排列是 123，132，213，231，312，321，它的個數為len(list)!

我們根據上面的兩個問題的思路，我們這里也要根據全排列問題，總結出來一個遞歸公式。我們記數組R[r_1,r_2,r_3,…]的長度為n，記P(R)為數組R的全排列，記R_i=R-[r_i]，記r_iP(R_i)表示在全排列P(R_i)的每一個排列前加上前綴r_i得到的排列組合。

當n=1時，我們可以得到P(R) = R = [r] ，數組R中只有r一個元素，自然也就只有一種排列。

當n>1時，我們可以寫出P(R) = r_1P(r_1)+r_2P(r_2)+…+r_nP(r_n)

上面的關系實際上給出了計算P(R)的遞歸公式如下：

既然總結出了全排列問題的遞歸公式，我們接下來就可以寫出具體的遞歸函數

#組合全排列問題 def swap(s:list,m:int,k:int): '''交換數組s中指定位置m,k處的兩個字符'''s_ = s.copy() #切記不可以直接使用 s_ = s，否則修改s_會直接影響到s，因為使用s_ = s時，是將s_指向s所指向的數組首地址，這樣其實s_和s指向的是同一個數組。temp = s_[m]s_[m] = s_[k]s_[k] = temp return s_def perm(s:str): '''s為輸入的list'''result = [''] #每次函數調用完返回的中間數組result_ = [] #臨時輔助數組string = '' #臨時輔助空字符串if len(s) < 1: return [''] elif len(s) == 1: return s else: for i in range(len(s)):str_ = swap(s,0,i) for j in perm(str_[1:]): #獲得riP(ri),其中perm(str_[1:])獲得的是P(ri)string = s[i]+j for w in result:result_.append(w+string) #更新listresult = result_ #這里可以直接使用 = ，是因為下面result_指向了【】，而result并沒有改變result_ = [] return result

整數劃分問題

正整數可以表示為一系列的正整數之和，例如：
n = n_1 + n_2 + n_3 + … + n_k ?(其中n_1>=n_2>=…>=n_k>=1)

我們目的是對于一個正整數n，到底有多少條符合條件的劃分

我們考慮能不能把問題分解，使問題的規模變小，這里我們引入一個中間變量m，對于正整數n，將可能的劃分中最大加數n_1不大于m的劃分個數記為q(n,m)。

那么我們很容易就能得到，當 m = 1 ?或者 n = 1 的時候，q(n,m) = 1， m=1時即n_i全為1，自然也就只有一種情況。

當 n=m 的時候，劃分可以由 n_1 = n 的劃分 和 n_1<=n-1 的劃分組成 ，即q(n,m)=q(n,n)=1+q(n,n-1)

當 n < m 的時候，n_1 <= n < m ,則q(n,m) = q(n,n)

當 n > m 的時候，劃分可以由n_1 = m的劃分 和n_1<=m-1的劃分組成，這個時候q(n,m) = q(n-m,m) + q(n,m-1)

根據上面的關系得到q(n,m)的遞歸公式如下

所以整數劃分的遞歸函數可以寫成下面這個樣子

#整數劃分問題 def q(n:int,m:int): if n < 1 or m < 1: return 0 if n == 1 or m == 1: return 1 if n == m: return 1 + q(n,n-1) if n > m : return q(n,m-1) + q(n-m,m) if n < m:return?q(n,n)

hanoi問題

下面是遞歸算法中最著名的漢諾塔問題，想必大家在最初學習遞歸算法的時候肯定被折磨過很多次，這里我們試著能不能像上面的問題一樣，總結出一個遞歸公式，或者得到一個遞歸流程。

比如要將a上面的盤子轉移到b上面，當a上面只有一個盤子的時候，直接a->b，如果a上面有兩個盤子，步驟是a->c,a->b,c->b，那當我們變成三個盤子的時候，我們還像這樣寫出我們的步驟：a->b,a->c,b->c,a->b,c->a,c->b,a->b。

從上面我們的步驟中可以發現，我們要將a上面的n個盤子放到b上面，我們應該首先將n-1個盤子放到c上面，然后a->b，再將c上面的n-1個盤子，轉移到b上。那么n-1個盤子放到c上面，首先應該將n-2個盤子放到b上面，然后a->c，再將b上面的n-2個盤子放到c上，接下來循環往復… 我們可以驚人的發現，這不就是遞歸的思想了嗎，那整個hanoi的問題就可以簡單的描述為：

可以很快的寫出來hanoi的遞歸函數了：

#漢諾塔問題 def hanoi(n:int,a:str,b:str,c:str): if n < 1:print('input error!') if n == 1:print(a+'-->'+b) else:hanoi(n-1,a,c,b)print(a+'-->'+b)hanoi(n-1,c,b,a)

個人博客：https://blog.csdn.net/Pual_wang/article/details/100604688

參考內容

計算機算法設計與分析（第四版） 王曉東著

https://www.cnblogs.com/king-lps/p/10748535.html

https://www.cnblogs.com/xiaoyunoo/p/3519577.html

人生不易，且行且珍惜

機器學習初學者

黃海廣博士創建的公眾號，黃海廣博士個人知乎粉絲21000+，github排名全球前120名（30000+）。本公眾號致力于人工智能方向的科普性文章，為初學者提供學習路線和基礎資料。原創作品有：吳恩達機器學習個人筆記、吳恩達深度學習筆記等。

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的Python实现递归算法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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