事先說明：筆者初三，如在敘述中有不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)牡胤?#xff0c;還請(qǐng)諸位指出，自當(dāng)感激不盡。

一.什么是斜坐標(biāo)系

眾所周知，我們目前平面中使用相當(dāng)廣的坐標(biāo)系是笛卡爾發(fā)明的平面直角坐標(biāo)系。然而，笛卡爾真的只使用了這一種坐標(biāo)系嗎？顯然不是的。事實(shí)上，笛卡爾最先使用的是一種斜坐標(biāo)系，即x軸與y軸夾角不為π/2的坐標(biāo)系，這種坐標(biāo)系更為一般化，也更自然。

如圖，斜坐標(biāo)系相比直角坐標(biāo)系多的一個(gè)要素就是x軸與y軸夾角（以后在本文中統(tǒng)稱θ角）與直角坐標(biāo)系相同，坐標(biāo)系同樣擁有4個(gè)象限，象限內(nèi)點(diǎn)性質(zhì)也與直角坐標(biāo)系中相同。將向量op表示為a倍的x軸方向的單位向量和b倍的y軸方向上單位向量，即p點(diǎn)坐標(biāo)（a，b）斜坐標(biāo)系中定比分點(diǎn)，直線表示等依然成立

與平面直角坐標(biāo)系相同，當(dāng)直線op是第一象限角平分線時(shí)，易知將向量op分解后的平行四邊形是菱形，因此p的橫縱坐標(biāo)相同，那么l op：y＝x。同理，2，4象限角平分線為y＝-x

由此，對(duì)于一類題目如下：

△ABC平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)p滿足向量Ap＝λ（向量AB/|向量AB|＋向量AC/|向量AC），我們根據(jù)斜坐標(biāo)系可以直接看出它在∠BAC的角平分線上運(yùn)動(dòng)。

另附一些斜坐標(biāo)系的小內(nèi)容，感興趣的不妨自己推理一下：

1.與x軸垂直的直線，k＝-1/cosθ 2.與y軸垂直的直線，k＝-cosθ

3.若以三角形abc的a為原點(diǎn)，以兩邊方向?yàn)樽鴺?biāo)軸方向建立平面斜角坐標(biāo)系，（ab對(duì)應(yīng)x軸，ac對(duì)應(yīng)y軸）設(shè)Xb＝A，Yc＝B，則有：三角形垂心H（cosθ（B－Acosθ）/sin2θ，cosθ（A－Bcosθ）/sin2θ）外心Q（A-Bcosθ/2sin2θ，B－Acosθ/2sin2θ）于是有向量QH＝向量Qa＋向量Qb＋向量Qc（我才不會(huì)告訴你這是我證這個(gè)結(jié)論時(shí)作死不用垂心伴隨外接圓模型得到的）

4.規(guī)定同3，重心G（?a，?b）

5.設(shè)直線的傾斜角為α，則k＝sinα/sin（θ－α）

6.在斜坐標(biāo)系內(nèi)，若兩直線垂直且斜率存在，則滿足k1k2＋cosθ（k1+k2）=-1

二.斜坐標(biāo)系內(nèi)一些運(yùn)算公式

1.兩點(diǎn)之間距離公式

首先，設(shè)向量AB＝（a，b）將向量AB坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)，則變成（a＋bcosθ，bsinθ）對(duì)此應(yīng)用直角坐標(biāo)系中向量模長公式，則有|AB|=√a2＋2abcosθ＋b2(sin2θ＋cos2θ）=√a2＋b2＋2abcosθ，這就是最終得到的距離公式了。

2.向量內(nèi)積公式

同樣的套路，只要將向量AB變換成（a＋bcosθ，bsinθ），向量CD變換成（c＋dcosθ，dsinθ）那么向量AB·向量CD=ac＋bdcos2θ＋ad cosθ＋bc cosθ＋bdsin2θ＝（ac＋bd）＋cosθ（ad＋bc），即為所求

3.點(diǎn)到直線距離公式

這個(gè)我不能無腦搞了，那樣要算死人QAQ，請(qǐng)看圖：

我們?cè)O(shè)點(diǎn)P（Xo，Yo），直線lo：Ax＋By＋C=0，過p做lo的平行線l1，那么點(diǎn)p到lo的距離轉(zhuǎn)化為l1與lo的距離。在l1與y軸交點(diǎn)處做lo的垂線。設(shè)角α，β，θ如圖。

先求l1，lo與y軸交點(diǎn)間長度：將x＝0代入，則有：

By1＋C＝0 ，y1＝-C/B

By2＋D＝0 ，y2＝-D/B

考慮到未知p的方位（可能在lo上方或下方），故線段l長度表示為|（C-D）/-B|，又因?yàn)橛?/p>

AXo＋BYo＋D=0，則D＝-AXo-BYo，所以l長度為|（Ax0＋By0＋C）/-B|

觀察到我們所求的h＝|l|·sinβ＝|l|·sin（θ－α）＝|l|·（sinθcosα-sinαcosθ）

我們單獨(dú)研究α如圖：

取lo上一點(diǎn)c，設(shè)它與x軸交點(diǎn)為a，并作cd⊥x軸，cb∥y軸，并且令向量ab=（-B，0），向量bc=（0，A），于是向量bd=（cosθ·A，0）向量dc＝（0，sinθ·A）那么在三角形acd中，可以解得ac＝√（cos2θ＋sin2θ）A2＋B2－2ABcosθ＝√A2＋B2－2ABcosθ，

故：sinα＝Asinθ/√A2＋B2－2ABcosθ

cosα=Acosθ-B/√A2＋B2－2ABcosθ

（正負(fù)性問題在此不做贅述了）

將得到的結(jié)果代入上式：

h=|（Ax0＋By0＋C）/-B|·[（Acosθ-B）sinθ－Asinθcosθ]/√A2＋B2－2ABcosθ

=|（Ax0＋By0＋C）/-B|·（-Bsinθ）/√A2＋B2－2ABcosθ，我們大膽地化簡，消去-B

得到h=|（Ax0＋By0＋C）|·sinθ/√A2＋B2－2ABcosθ，此時(shí)發(fā)現(xiàn)：

1.sinθ∈（0,1），即分式上方部分＞0

2.A2＋B2－2ABcosθ＞0，即分式下方部分＞0

這證明化簡正確。

綜上可得點(diǎn)到直線距離公式為：h=|（Ax0＋By0＋C）|·sinθ/√A2＋B2－2ABcosθ

4.等和線

設(shè)|AB|=a，|AC|=b，P（ma，nb）

可解得lBC：y=-b/a·x＋b，變形為x/a＋y/b=1

∴ma/a＋nb/b=1，即m＋n＝1，得證。同樣易構(gòu)“等差線”。

5.奔馳定理

設(shè)B（a，0）C（0，b）P（x,y）S△ABC=S，則：

SB=x/a ·S，向量BP=（x-a，y）

Sc=y/b ·S，向量CP=（x，y-b）

SA=（1－x/a-y/b）S，向量AP=（x，y）

∴向量AP·SA+向量BP·SB+向量CP·SC=（（x-x2/a-xy/b＋x2/a-x＋xy/b）·S，（y-xy/a-y2/b＋xy/a+y2/b-y）·S）=0向量，得證。

利用斜坐標(biāo)系，我們也可以得到p在△ABC外的情況，過程類似不再贅述，結(jié)論是：在△ABP、△ACP、△BCP中，圖形除了與AB邊（或BC邊、AC邊）有交點(diǎn)外與三角形ABC再無交集的，在前面加上負(fù)號(hào)，則等式依然成立。

下面附一道例題：

解：以AB為x軸，AD為y軸建立斜坐標(biāo)系

則有C（2，4）B（5，0）D（0，4）lCB：y=-4/3x+20/3，即4x+3y-20=0

∴（2，4）·（-5，4）=0

∴-10+16-12cosθ=0，得θ＝π/3

由極化恒等式，取AD中點(diǎn)F，則向量AE·向量DE=EF2-AF2

由點(diǎn)到直線距離公式得：EF2min=（7·根號(hào)3）2/（16+9-12）=147/13

∴（向量AE·向量DE）min=147/13 -4=95/13

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的c++直角坐标系与极坐标系的转换_平面向量的奇技淫巧——斜坐标系的一系列低级研究...的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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