本章主要介紹幾種較為常見的運動模型以及處理思路

一、拋物運動

拋物運動是一種較為簡單的運動模型，在現(xiàn)實生活中非常常見，比如向空中拋球、向河里丟石子，等等。根據(jù)拋出方向的不同，拋物運動可以分為豎拋運動、平拋運動和斜拋運動。

這類運動有兩個共同點：

一是物體具有初速度，這個初速度是通過“拋”這個動作得到的，比如炮彈發(fā)射、運動員跳躍、彈簧彈出等，“拋”的動作在使物體具有初速度后瞬間消失，也可以說“拋”等同于初速度。二是物體受到恒定不變的外力作用，最常見的是重力，以及后面將會學(xué)到的電磁力。

拋物運動有通用的處理方式：根據(jù)牛頓第二定律把恒定不變的外力轉(zhuǎn)變?yōu)楹愣ú蛔兊募铀俣?#xff0c;結(jié)合運動的合成與分解進行數(shù)學(xué)處理。主要的難點在于數(shù)學(xué)處理。

1.1 豎拋運動

豎拋運動是最為簡單的拋物運動，其實就是勻變速直線運動。

豎拋運動可以分為兩種：豎直上拋和豎直下拋，從字面上很容易理解。

豎直上拋是把物體豎直向上拋出，使其具有豎直向上的初速度。物體在重力的作用下，上升的速度逐漸減小，直至為0，此時到達最高點。然后開始做自由落體運動。

豎直下拋是把物體豎直向下拋出，使其具有豎直向下的加速度，物體在重力的作用下速度不斷增加。

豎直上拋的上升階段就是勻減速直線運動，下降階段就是勻加速直線運動。豎直下拋運動就是勻加速直線運動。

處理豎拋運動的關(guān)鍵一步在于根據(jù)牛頓第二定律，把重力的作用轉(zhuǎn)化為物體的加速度——即重力加速度。剩下的只是二次函數(shù)的數(shù)學(xué)問題。勻變速直線運動在《機械運動（一）直線運動》中有詳細(xì)的介紹。

1.2 平拋運動

平拋運動是把物體水平拋出的運動，物體的運動軌跡為拋物線。

在“拋”的作用下物體具有水平方向的初速度，由于物體在水平方向不受外力作用，因此在水平方向的速度不變。同時，物體在豎直方向受到重力的作用，做勻加速運動。物體實際的運動軌跡是拋物線，下面用具體例子詳細(xì)介紹。

例1.2：在高為20米的山坡頂，有顆重為20g的石子被水平方向的風(fēng)吹落，落下的一瞬間具有沿水平方向15m/s的速度，重力加速度取g=10N/kg（

）。現(xiàn)在來研究這顆石子的運動。

首先建立平面直角坐標(biāo)系，以起始位置的為原點，水平和豎直方向分別為x軸和y軸，分別以前進的方向和向上為正。

水平方向：石子做勻速直線運動。速度隨時間變化的關(guān)系式為

（下圖左），在任何時間水平方向的速度都為15 (m/s)；位移隨時間變化的關(guān)系式為 （下圖右），簡單的勻速直線運動。

豎直方向：石子做勻加速直線運動。速度隨時間變化的關(guān)系式為

（下圖左），方向向下，符號取負(fù)號；位移隨時間的變化關(guān)系式為 （下圖右），相關(guān)推導(dǎo)在《機械運動（一）直線運動》。

現(xiàn)在根據(jù)上面的兩組關(guān)系，把同一時刻下，石子在水平方向的位移作為橫坐標(biāo)，在豎直方向的位移作為豎坐標(biāo)，做圖，得到的即為石子的實際運動軌跡，方法如下：

第一步：分別列出石子在水平、豎直方向的位移-時間關(guān)系式

現(xiàn)在要做的是把

和 放到一個等式里來揭示它們之間的關(guān)系。可以發(fā)現(xiàn)，兩個式子里都有共同的變量t（時間），這個共同的變量也叫作參數(shù)，可以利用這個參數(shù)把 和 聯(lián)系到一起，這就是第二步要做的。

第二步：消去參數(shù)

根據(jù)

，可得 ，

根據(jù)

，可得

（注：因為

，因此根號下是非負(fù)數(shù)，時間t總是非負(fù)的）

聯(lián)立上面連個等式可得：

上面這個式子表明任意時刻下，石子水平方向位移與豎直方向位移的關(guān)系

第三步：化簡

由于上面的等式里已經(jīng)沒有時間t，只有兩個方向上的位移，因此可以簡單地用 y代替

，用x代替 ，即：

化為y關(guān)于x的函數(shù)為：

這就是該平拋運動的軌跡，是二次函數(shù)，如下圖所示，因此二次函數(shù)的圖像也叫拋物線

利用上述所得到的條件，可以求出許多其他的數(shù)據(jù)。

比如：山坡高為20m，意味著當(dāng)y=-20時，石子就落地了。根據(jù)

，代入y=-20： ， 求得x=30（水平方向位移始終為正），可知石子落地的位置距離山坡的水平距離為30m，根據(jù)勾股定理可以求出直線距離為 （m）

此外，知道了石子落地時豎直方向的位移，根據(jù)

可求得石子落地時已經(jīng)運動的時間，進而求出此時在水平、豎直兩個方向分別的速度，根據(jù)向量的加減求出實際速度的大小和方向。請自己獨立完成。

1.3 斜拋運動

斜拋運動是沿著傾斜角把物體拋出的運動，生活中常見的拋體運動大都是斜拋，完全水平或豎直的拋物在實際生活中不如斜拋常見。

斜拋運動的特點是物體具有傾斜的初速度，同時在豎直方向時刻受到重力的作用。處理斜拋運動與處理平拋運動比較類似，只是需要先把初速度分解為水平和豎直兩個方向，物體在水平方向做勻速直線運動，在豎直方向上做勻變速直線運動。還是用具體的例子詳細(xì)介紹。

例1.3 某人在海邊向大海里扔貝殼，沿著與水平線成30°角斜向上的方向?qū)⒇悮ひ?0m/s的速度扔出，重力加速度取10N/kg，假設(shè)從水平面高度扔出。現(xiàn)在來研究這顆貝殼的運動。

首先依然建立平面之間坐標(biāo)系：以水平向前和豎直向上分別為x軸、y軸正方向，扔出貝殼的起始位置為原點建立平面直角坐標(biāo)系。

將貝殼的初速度沿著水平和豎直兩個方向進行分解：

豎直方向還受到重力加速度作用:

仿照平拋運動分別分析兩個方向上的運動

水平方向：貝殼做勻速直線運動。速度隨時間變化的關(guān)系式為

（下圖左） ，位移隨時間變化的關(guān)系式為 （下圖右）。

豎直方向：貝殼做豎直上拋運動，速度隨時間變化的關(guān)系式為

（下圖左）；位移隨時間的變化關(guān)系式為 （下圖右）。

關(guān)于貝殼的實際運動軌跡，因為

化成t關(guān)于 的函數(shù)是非常繁瑣的，因此不要死板地化成 再去求解。可以利用簡單的，得倒，然后直接代入可得：

即

圖像如下：

小結(jié)

以上就是拋物運動的主要模型，很多運動都可以參照拋物運動的方式來處理。

比如行駛中突然緊急剎車的汽車，如果受到來自地面的摩擦力不變，那么汽車從開始剎車到靜止的過程類似于豎直上拋運動，都是勻變速直線運動。比如從一條船，始終保持船頭正對著對岸（與河流方向垂直），在該方向上以勻速前進過河，這條船過河的過程類似于平拋運動。比如一條船的船頭沿著傾斜的角度保持恒定動力前行，它的軌跡就類似于斜拋運動。只要物體的運動符合“具有初速度且受到的外力作用恒定不變”，就可以如此處理。

更加一般的，只要根據(jù)牛頓第二定律把力函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)榧铀俣鹊暮瘮?shù)，再進行數(shù)學(xué)處理就可以了，主要的難點集中在數(shù)學(xué)處理上。

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二、勻速圓周運動

拋物運動雖然軌跡是曲線，但在實際處理時可以通過分解為兩個方向上的直線運動來簡化。勻速圓周運動和拋物運動有非常明顯的區(qū)別。

這里只是先簡單學(xué)習(xí)圓周運動的基本情況，深入的推導(dǎo)和延伸會在后面的章節(jié)中詳細(xì)給出。

2.1 勻速圓周運動

速度大小不變，方向始終改變，運動軌跡為圓的運動叫做勻速圓周運動。在現(xiàn)實中做勻速圓周運動的例子很多，比如勻速旋轉(zhuǎn)的摩天輪、旋轉(zhuǎn)木馬，用繩子一端系著鑰匙勻速甩起來，等等。

在勻速圓周運動中，速度的大小不變，方向是時刻改變的，嚴(yán)格來講速度是時刻變化的。這與直線運動中速度方向不變或只有正負(fù)兩個方向有所不同。

2.2 方向：逆時針與順時針

在圓周運動中，通常把逆時針旋轉(zhuǎn)的運動方向規(guī)定為正，順時針方向為負(fù)，也就是常見的鐘表指針是沿著“負(fù)”方向旋轉(zhuǎn)的。

2.3 大小：線速度與角速度

做勻速圓周運動的物體實際運動速度的大小叫做線速度，表示該物體在單位時間內(nèi)通過圓周上的路程，單位為m/s。除了線速度，做勻速圓周運動的物體還具有角速度。接下來詳細(xì)介紹線速度與角速度的區(qū)別與聯(lián)系。

2.3.0 弧度

在講角速度之前，要專門講下弧度，本章以后的角度都用弧度單位。

在幾何中學(xué)過，角度是把圓周分為360份，單位為度，每份就是1度，圓周是360度。這個單位“度”有些來歷不明，毫無理由地使用了“360”這個數(shù)字，沒有任何數(shù)學(xué)或科學(xué)上的依據(jù)。弧度直接揭示了角度與長度的關(guān)系。弧度就是角度，不過比角度更好用。

定義弧度：弧長等于半徑的弧，其所對的圓心角為1弧度，單位為rad，即1rad。即從圓周上截取一段長度等于半徑的弧，這段弧對應(yīng)的角度為1弧度。如下圖所示

如上圖所示，在該單位圓的圓周上，截取一段長度等于半徑的弧（紅色），這段弧所對應(yīng)的圓心角大小為一弧度：1 rad

單位：弧度單位rad，它與基本物理單位沒有關(guān)系。硬要說的話，rad的單位為“1”（數(shù)字“一”）因為弧度表示的是弧長與半徑的比值，弧長的標(biāo)準(zhǔn)單位為m，半徑的標(biāo)準(zhǔn)單位也為m，二者相比，m/m=1。

根據(jù)圓周率可知，對于任意的圓，它的周長與直徑的比值為定值，約為3.1415926......，叫做圓周率，用 π 表示。這個數(shù)量關(guān)系表示為C=πd 或C=2πr。C為周長，d為直徑，r為半徑。

由于整個圓周長為C=2πr，因此它可以看作是2π份長度為r的弧首尾相連，每段對應(yīng)的角度就是1rad，因此整個圓周角為 2π rad。對于半徑為r的圓，每個大小為a rad 的角對應(yīng)的弧長為 ar 。

如上圖所示，6段彩色的弧每段長度都為r，黑色的弧長為（2π-6），共同圍成了圓周。

角度與弧度的關(guān)系：

360°=2π rad，即大小為a°的角換算為弧為：a°/360°=(x rad)/(2π rad)，x=πa/180。反之類似。

弧度在使用中比角度最大的方便就在于用它可以直接看出長度與角所對應(yīng)的長度關(guān)系。但是由于角度用得比較久學(xué)得比較早，所以剛開始使用弧度會不太習(xí)慣。盡量多用弧度，熟悉之后會很明顯地感受到它的優(yōu)勢。

2.3.1 回到角速度

角度度表示物體在單位時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的弧度，單位為rad/s，與線速度類似，不過把距離（m）換成了弧度（rad）。

2.3.2 線速度與角速度的關(guān)系

根據(jù)弧度的定義（弧長與半徑的對應(yīng)關(guān)系）可得：對于沿著半徑為r的圓做勻速圓周運動的物體，它的角速度 ω rad/s 與線速度 v m/s 具有數(shù)量關(guān)系 ω=v/r

很容易理解：在單位時間內(nèi)，該物體沿著圓周通過的路程為a m，即這段弧長為a m。而長度為a m的弧對應(yīng)的弧度為a/r rad。在單位時間內(nèi)，該物體轉(zhuǎn)過的弧度為ω，因此ω=a/r。 物理量的單位也是相符合的。

2.3.3 角速度相同線速度不同的例子

對于共用轉(zhuǎn)動軸，圓心相同、半徑不同的兩個物體，比如下圖中的一大一小兩個齒輪，它們具有共同的角速度，即轉(zhuǎn)完一圈的時間是相同的。但是線速度不同，根據(jù)數(shù)量關(guān)系 a=ωr 可知，半徑越大線速度越大。它們用相同的時間轉(zhuǎn)完一圈，但是大圈的總路程長，小圈的總路程短。

舉生活中的例子，在跑步時，如果一個同學(xué)跑內(nèi)圈，另一個同學(xué)跑外圈，兩個同學(xué)一起舉著一根桿子的兩頭固定角速度，跑外圈的同學(xué)要比跑內(nèi)圈的同學(xué)跑得更快才行。

如上圖，在共用轉(zhuǎn)動軸的情況下，紅色的小滾輪和藍色的大滾輪具有相同的角速度，在相同時間內(nèi)它們轉(zhuǎn)過共同的角度α。由于大滾輪半徑大，小滾輪半徑小，單位時間內(nèi)大齒輪轉(zhuǎn)過了αR的距離，小滾輪轉(zhuǎn)過了αr的距離，二者線速度跟半徑大小有關(guān)。

2.3.4 線速度相同角速度不同的例子

對于用皮帶、咬合的齒輪等將圓周上某點固定連接起來或固定一個位置作為接觸點的兩個轉(zhuǎn)動物體，比如下圖里傳動帶兩端的一大一小兩個滾輪，由于傳動帶的固定作用，傳動帶上任意位置的線速度都是相同的，這就導(dǎo)致了兩端的兩個滾輪也具有相同的線速度。但是由于兩個滾輪的半徑不同，根據(jù)ω=a/r，可知大的滾輪角速度小于小于小的滾輪。

還用跑步距離，對于速度相同的同學(xué)來說，跑完一圈為200m的操場，用時比跑完一圈為400m的操場用時要短。

如上圖，一大一小兩個滾輪，由于被黑色的被固定的傳送帶綁住連接起來，傳送帶上處處速度大小相同，因此兩個滾輪的線速度也是相同的。

2.3.5 自行車是個非常好的二者兼具的例子

腳踏板和里面的滾輪共用一根軸，它們具有相同的角速度，即腳套版蹬過一圈，里面的滾輪就轉(zhuǎn)一圈。滾輪和和自行車的后輪被鏈條固定起來，二者具有相同的線速度。自行車的前輪和后輪都在地面上行駛，也具有相同的線速度，二者滾過的路程必須相同，不然自行車前后快慢不一致就散架了。對于前后輪大小相差很大的自行車看起來會更加明顯，小的輪胎轉(zhuǎn)過好幾圈了，大的輪胎連一圈都沒轉(zhuǎn)完。

2.4 向心力

物體做圓周運動需要在受到向心力的作用下來實現(xiàn)。向心力是根據(jù)力的作用效果來命名的，它可以是萬有引力，比如地球繞著太陽轉(zhuǎn)（近似為圓周運動）。也可以是繩子的拉力，比如用繩子系著小球甩。

對于做勻速圓周運動的物體，向心力大小不變，方向時刻變化，與速度方向垂直且沿著物體指向圓心。

向心力的大小計算公式為：

，m為運動物體的質(zhì)量，單位為kg；v為運動的線速度，單位為m/s；r為運動半徑，單位為m。

向心力也可以用角速度來表示，根據(jù) ω= v/r可得：

，ω為角速度，單位為rad/s。

在現(xiàn)實生活中常見的勻速圓周運動，比如勻速甩繩子時，手對繩子的拉力就是這樣變化的，但其實這是在手的操縱下，刻意讓繩子做勻速圓周運動，有種“為了制造勻速圓周運動而特意制造向心力”的感覺。這與汽車剎車、自由落體等運動中，“客觀存在的力迫使物體做勻加/減速運動”的感覺不同。那么是否存在客觀存在的某種力，迫使物體做勻速圓周運動，而非為了維持勻速圓周運動而刻意制造向心力呢？

是有的，但是與現(xiàn)實生活有一定距離。比如地球繞著太陽轉(zhuǎn)、月球繞著地球轉(zhuǎn)、人造衛(wèi)星繞著地球轉(zhuǎn)，都可以近似地看作是萬有引力使得地球、月球、衛(wèi)星做勻速圓周運動。此外，后面將會學(xué)到的電磁學(xué)，在某些常見的情形中，電磁力也會迫使帶電荷的物體做勻速圓周運動。

2.5 向心加速度

在向心力的作用下，物體具有向心加速度。利用牛頓第二定律很容易求出向心加速度的大小：

或

向心加速度雖然叫作“加速度”，但它的效果并不是使物體的速度增大，而是改變物體的運動方向，不要被名稱給誤導(dǎo)了。

2.6 向心力的變化

高中物理主要考察的是勻速圓周運動，向心力的大小是恒定的，對于向心力大小突然變化通常只需要定量考慮即可。

根據(jù)具體情況，當(dāng)做勻速圓周運動物體受向心力突然變化時。要分解考慮新力的作用：分解為沿運動方向和指向圓心方向：沿運動方向是否有力改變物理速度的大小？沿指向圓心方向的力是比維持勻速圓周運動所需要的力大了還是小了？大的話物體會更偏向圓心，小的話會更遠離圓心。

向心力和向心加速度的推導(dǎo)會在后續(xù)章節(jié)里詳細(xì)講解。

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三、單擺

單擺后續(xù)會在機械振動再詳細(xì)講解，這里先簡單點一下基本情況。

把一根沒有重量的繩子（或直桿）的一端固定住，繩子可以沿這個固定點自由地來回擺動。繩子的另一端系上有質(zhì)量的重物，保持繩子自然伸長的情況下，把重物推到某個不太高的高度靜止，然后突然松手，這個系著重物的繩子開始來回擺動，這個模型叫做單擺。現(xiàn)實中的蕩秋千很接近單擺。如下圖所示

單擺模型有幾個關(guān)鍵：繩子或桿沒有質(zhì)量，末端的物體有重量，繩子或桿可以沿著固定點（沿著某個方向）自由來回擺動，抬起的角度不大（θ通常不大于10°），整個系統(tǒng)沒有摩擦力和阻力，擺動的幅度不太大。

單擺做得是周期運動，它具有一個固定的周期T。每經(jīng)過整數(shù)個周期T的時間，它將回到原來的運動狀態(tài)。也可以說是時間間隔為整數(shù)個周期的時刻下，單擺的運動狀態(tài)相同。周期的時間就是從一個運動狀態(tài)到再次出現(xiàn)該運動狀態(tài)的最小間隔。比如從一個最高點擺到另一個最高點再回來。或者從最低點擺到一個最高點，再擺到另一個最高點，再回到最低點。

單擺在高中不是重要內(nèi)容，只需要牢記它的周期公式，這個公式的推導(dǎo)是大學(xué)里的內(nèi)容，不需要掌握。單擺的周期公式為：

從公式中可以看出，單擺的周期之于它的長度有關(guān)，與擺動物體的質(zhì)量無關(guān)，與抬起的最大高度也無關(guān)（在角度很小的范圍內(nèi)）。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的向量表示 运动抛物线_初学讲义之高中物理（四）常见运动类型的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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