1、前言? ? ??

回顧前面幾期的內(nèi)容，在第一期中介紹了機器人的正/逆運動學建模，正運動學解決的問題是如何從關(guān)節(jié)空間的關(guān)節(jié)變量描述操作空間的位姿，反之則是逆運動學的內(nèi)容。將操作空間和關(guān)節(jié)的空間的關(guān)系用以下關(guān)系式進行表達。

機器人正/逆運動學始終在解決上面這個公式，已知末端的位姿，求解關(guān)節(jié)變量，或者已知關(guān)節(jié)變量，確定末端的位姿，這些描述的是靜態(tài)位置之間的關(guān)系，屬于靜態(tài)運動學問題。

??? 在第二、三期介紹了機器人動力學建模，使用是拉格朗日法，由于需要計算的每個連桿的動能，因此在第三期介紹了角速度和線速度的傳遞公式，即在已知每個關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)動/平動速度情況下，從第一個運動關(guān)節(jié)出發(fā)，遞推末端關(guān)節(jié)的速度(v,w)。在本期中將介紹如在已知末端的速度的情況下，求得每個關(guān)節(jié)需要的運動速度。在機器人的控制方案，一般先規(guī)劃末端的軌跡，而不是規(guī)劃每個關(guān)節(jié)的運動速度，因此通過末端的運動狀態(tài)求解關(guān)節(jié)的運動更具現(xiàn)實意義。

2、雅克比矩陣

2.1概念補充

關(guān)節(jié)空間：n個自由度的機械臂的末端位姿由n個關(guān)節(jié)變量決定，這n個關(guān)節(jié)變量統(tǒng)稱為n維關(guān)節(jié)矢量，所有關(guān)節(jié)矢量構(gòu)成的空間稱為關(guān)節(jié)空間。即關(guān)節(jié)空間是由關(guān)節(jié)變量組成的空間。

式中指右邊部分

操作空間：也稱任務空間，一般來講是笛卡爾空間，簡單來講就是空間直角坐標系。末端的位姿在這個空間描述，上式指左邊部分。關(guān)于末端空間姿態(tài)的表示的方法后續(xù)補充。

矩陣的求導：這里直接給出矩陣的求導的計算公式。

2.2雅克比矩陣意義

在前面我們知道正/逆運動學所要做的內(nèi)容，可以用上式進行表述，那么是否存在這個的表達式能夠?qū)⒉僮骺臻g的速度和關(guān)節(jié)空間的速度聯(lián)系起來。首先對上式關(guān)于時間t進行求導

通過鏈式法則得到了操作空間的速度與關(guān)節(jié)空間的速度關(guān)系，將以上關(guān)系簡記成如下形式：

其中J即為本期需要介紹的雅克比矩陣，它建立從關(guān)節(jié)變量速度到末端速度的映射，且它們之間的關(guān)系為線性的。

2.3雅克比矩陣計算

方法一：根據(jù)變換矩陣

在笛卡爾坐標系下，末端的位姿和速度表示如下：

那么雅克比矩陣相應的可以表示成：

線速度部分

可以根據(jù)變換矩陣，其中第四列代表的含義為末端的位置。將第四列的前三個提取出來關(guān)于關(guān)節(jié)變量進行求導即可。

角速度部分

末端角速度是由每個不同的旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)進行線性疊加而成，在三維空間中，角速度的表示為指向旋轉(zhuǎn)軸的向量，其方向可借助右手定則進行判斷。在以自身旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)和關(guān)節(jié)自身的坐標系下考慮角速度對末端的影響，關(guān)節(jié)的旋轉(zhuǎn)軸在自身坐標系下通常定義為z軸([0,0,1])，角速度定義為[0,0,w],那么對于末端的角速度的貢獻為[0,0,w]([0,0,1].*w)。而Jw是基于基坐標系下的表述形式。因此只需要將每個旋轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)換成基坐標系中表示即可。

方法二：微元法

假設(shè)其它關(guān)節(jié)不動，只有第二關(guān)節(jié)繞其軸旋轉(zhuǎn)微小角度。由此產(chǎn)生的第N個連桿的微小位移和微小轉(zhuǎn)動。

寫成矩陣的形式：

其中：

方法三：根據(jù)速度傳遞公式

速度的傳遞公式可回顧第三期的內(nèi)容。這里直接寫出速度的傳遞公式：

以上均針對轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)而言，將雅克比矩陣寫成以下形式：

對于末端的線速度記，末端角速度記為we,末端的速度是由每個關(guān)節(jié)運動對末端疊加，

寫出如下疊加公式：

其中：

同上寫出：

【下期預告】

實例講解雅克比矩陣(下)-----雅克比應用

創(chuàng)作挑戰(zhàn)賽新人創(chuàng)作獎勵來咯，堅持創(chuàng)作打卡瓜分現(xiàn)金大獎

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的机械臂中的四元素转为旋转矩阵_雅克比矩阵（上）雅克比推导的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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