現實生活中，我們只要掌握圓的周長和面積公式，了解球的表面積和體積公式就夠用了，沒有什么可以深究的。本篇將帶你走進高維度球的表面積和體積公式^[1]。
　　我們生活在三維空間，對更高維度的空間難以構想。笛卡爾說：我思故我在。借助一點點想象力，我們來推導一下n維球的體積公式。

　　以下都假設球的半徑為r，表面積為S，體積為V。球心為坐標原點O，具有n個維度的點X坐標為

，球內任意一點X，都滿足距離條件 。

　　對于向量空間，距離測度分多種：
１范式　曼哈頓距離（Ｍanhattan distance）　　

，
２范式　歐幾里德距離（Euclidean distance）　 ，

n范式　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

范式　切比雪夫距離（ Chebyshev distance）　 。

超立方體

　　無窮大范式最簡單，我們先作討論。所有維度上的坐標的絕對值不超過r，這樣的形狀是一個邊長為2r的超立方體。超（hyper，不是super）是一個泛化的概念，用以延伸到所有的維度上。

　　超立方體的各個軸都是正交的，所以體積

上的積分等于在各個軸上的長度的乘積，即 。

　　每個軸都有左右兩個超平面限定，于是n維體有2n個面。在向高維擴展時，n維球的“體”就會淪落為n+1維球的“面”。我們有

，然后連同上面的式子，我們得到 。可以對著正方形和正方體檢查一下，是符合的。對于一維情況，“體”就是線長 無疑。但是根據公式，“面” ，與半徑無關，沒有量綱。有點奇怪，相當于零維空間點的左右兩個面？

超錐體

　　在曼哈頓距離下，

構成什么形狀呢？可以從低維度入手。一維情況下是一條直線，二維情況下是一個圍住 的正四邊形，或者傾斜的正方體。三維情況下是正八面體，與各軸的交點是 。同理，n維情況下的交點是構成超多面體，每個軸上有左右兩個交點，每個軸上選一個交點，張成一個超平面。僅考慮正半軸，則形狀分別是三角形，三角錐，四角錐，……超角錐。超角錐的體積公式是 ^[2]，注意超角錐的體積對二維（三角形）而言是面積，對三維（三角錐）而言是體積。再忘掉正半軸，一維有二儀，二維有四象，三維有八卦，超多面體則有 個超角錐，每個超角錐的體積為 ，于是體積公式就是 。

超球體

　　最后，我們來看一下常用的歐幾里德距離——平方和后再開方。
先回憶一下公式：
圓的周長、面積公式　

球的表面積、體積公式
　　根據上面的結論，一維球的“體”是二維球的“面”，對于一維球而言，其體積就是直線長度（類比二維球，即圓的周長）， 。
　　關于圓的公式都涉及到 ，結合上面超體的結論，再從量綱上分析，我們可以先大膽地推測 ，其中 C, K為待求的常數。

　　我們可以選取笛卡爾坐標系或極坐標系，笛卡爾坐標系下的式子比較繁瑣。

轉化成極坐標系，就是

從一個空間映射到另一個空間，或者從一個坐標系變換到另一個坐標系，需要乘以雅可比矩陣（ Jacobi matrix ）。
　　球是中心對稱的，由n維球

移項得 ，如果固定 （切片操作），就得到n-1維半徑為 的球，我們根據這個思想n維球的任意切片都是n-1維球，在 軸上平行切片，體積累加起來。對于3維球，每個切片薄得可以看成一個個半徑為 圓柱體， ，換成積分得到體積遞推公式：

這個結論可以通過數學歸納法來證明。

基于被積函數是偶函數，縮小積分范圍為

然后令

，則 ，換元得

整理一下　

積分是Beta函數形式，Beta函數的定義為

于是，

Beta函數與Gamma函數存在關系

Gamma函數的定義

，性質

到這里就是常見的一類積分了，同濟大學高等數學教材有講過高斯分布。平方后轉換成平面直角坐標系二重積分，然后轉換成極坐標系求解，用這樣巧妙的方法得到
帶入常數 得

通過一系列的迭代，Gamma函數分子分母相消，

帶入

和 得

。

很顯然有

。

三角函數積分

由于 是相對x而言是常量，可以移到積分式子外面去。加上被積的函數是偶函數，我們有 。
換元，設 ，則 ；
你也可以 ，則 。
好了，這一節的主角登場了。求積分 或者 。
n取1或2時容易求解，這引導著我們用分部積分法（integration by parts ） 達到降次的效果。

帶入 ，然后化簡

得到遞推公式

。

接著，限定下上限分別為0和

，在邊界，因為 和 總有一個為0，導致第一項的結果總是為0，于是得到更簡單的遞推形式 ，然后分奇數、偶數迭代求解。

如何體面

　　球可以由半徑逐漸遞增的殼來填充，類似俄羅斯套娃。當填充的殼的厚度趨近于0時，我們就得到球的體積。由于球、球面的各向同性，球面上任何一個微元（facet）都可以近似看成平面，其體積為

，球面的體積為 ，積分得 ，反之 。對n維球的體積求導得n維球的表面積，這樣也解釋了對圓面積 求導得圓周長 ，對球體積 求導得球表面積 。

通過求導，我們很體面地從“體”計算出“面”。（no pun intended）
其實，體積與面積之間還存在這樣一個比例關系

。

公式細究

Γ函數有很多的性質，是符合整數點階乘運算的最佳連續函數。
當

為偶數時，令 ，則 ；
當 為奇數時，令 ，則 。

當

時， ，這個系數很是熟悉， 根據 Taylor 級數展開式 湊一下，有 。看！我們就這樣構造到了一個神奇的數字 。半徑取1的所有偶數維度球的體積之和為。是個超越數（Transcendental Number）。

　　有了公式之后，任意維度的體積^[3]就可以輕松計算了。

　　對于n維單位球，我們用matplotlib畫一下體積V關于維度n的函數圖。

#!/usr/bin/env python3 import matplotlib import numpy as np import scipyimport matplotlib.pyplot as pltfrom scipy.special import gamma# For unit sphere of dimension n, the volume is # V_n = frac {pi^{frac n 2}} {Gamma(frac n 2 + 1)} t0 = -5.0 t1 = 20.0 t = np.arange(t0, t1, 0.1) V = np.pi ** (t / 2.0) / gamma(t / 2.0 + 1.0)n = np.arange(t0, t1, 1.0) V_n = np.pi ** (n / 2.0) / gamma(n / 2.0 + 1.0)figure, ax = plt.subplots() ax.plot(t, V) ax.plot(n, V_n, color='green', marker='o', linestyle='')ax.set_xlabel('n (dimensionality)') ax.set_ylabel('C_n m^n') ax.set_title('volume of n dimensional unit sphere') ax.grid()figure.savefig("volume.png") plt.show()

　　需要安裝numpy, scipy, matplotlib這三個Python庫，沒安裝的可以安裝一下，以后科學計算和作圖用得到的。控制臺下輸入命令 pip3 install numpy, scipy, matplotlib。代碼運行無誤后，得到圖：

　　上面順帶也畫出了負維空間的情況。從正整數維度到分數維度，再到負數維度，一直擴充到了實數范圍。從圖中看到，對于單位球，五維空間的體積最大。五維空間是什么概念？不清楚。克里斯托弗·諾蘭是一個商業和藝術結合最好的導演，他在電影《星際穿越》中向我們描述了一個五維空間的存在。
　　固定半徑r，我們可以看到，隨著n的增長，分母以越來越大的正整數增加，分子以系數

穩定增長，不敵增長的最終結果是，體積趨近于0。分析是沒錯，但這是一個反直覺（counter-intuitive）的結論。下面的圖可以幫忙糾正錯覺。

　　維度越高，越靠近坐標軸。很形象的一個比喻就是海膽，核越來越小，刺突越來越長，也越來越尖。想看動畫效果？可以觀察

在平面直角坐標新中，p從無窮大到０，圖形的變化。順便，維度災難^[4]也了解一下。

參考

^Volume of an n-ball?https://en.wikipedia.org/wiki/Volume_of_an_n-ball

^The Volume of a Hyperpyramid?http://physicsinsights.org/pyramids-1.html

^Gamma Function and the Volumes of High Dimensional Spheres?http://www.cs.nthu.edu.tw/~cchen/ISA5230/2017/sphere.pdf

^curse of dimensionality?http://en.wikipedia.org/wiki/Curse_of_dimensionality

總結

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