數據結構與算法（C++）– 圖（Graph）

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1、圖的基礎概念

定義：一個圖G=（V, E）由頂點（vertex）的集V和邊（edge）的集E組成。

• 邊(edge)：一對點即為一條邊(v, w)，其中v, w ∈ V
• 有向圖(directed)：點對是有序的
• 無向圖(undirected)：點對是無序的
• 鄰接(adjacent)：w 鄰接到 v，當且僅當(v, w )∈ E
• 權(weight)/值(cost)：邊上的值
• 路徑(path)：連通兩點間的邊
• 長(lengh)：路徑上的邊數
• 簡單路徑(simple path)：路徑上的頂點都是互異的
• 環(cycle)：有向圖中，首尾相連長度至少為1的簡單路徑。
• 無環(acyclic)：有向圖中中沒有環
• 連通的(connected)：無向圖中每一個頂點到其它頂點都存在一條路徑
• 強連通的(strongly connected)：有向圖具有連通的性質
• 基礎圖(underlying graph)：無向圖去掉邊的方向
• 弱連通的(connected)：有向圖的基礎圖是連通的
• 完全圖(complete graph)：每一對頂點都存在一條邊

幾個關系：

• n 個頂點的無向連通圖，至少有 n-1 條邊
• n 個頂點的有向強連通圖，至少有 n 條邊
• n 個頂點的無向完全圖，有 n(n-1)/2 條邊
• n 個頂點的有向完全圖，有 n(n-1) 條邊

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2、圖的表示

圖有兩種表示方法：鄰接矩陣，鄰接表

鄰接矩陣： 稠密(dense)，復雜度為O(|V|^2)

鄰接表： 稀疏(sparse)，復雜度為O(|E| + |V|)

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3、廣度優先搜索（Breadth-first search，BFS）

定義： 按照由近到遠的層進行搜索

實現： 使用隊列(queue)結構實現。首先起點入隊，隊列出隊一個元素，把鄰接于該元素的所有頂點入隊，循環直到隊列為空即所有頂點都被訪問過。

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4、深度優先搜索（Depth-first search，DFS）

定義： 按照由深到淺的遞歸進行搜索

實現： 使用棧(stack)結構實現。首先起點入棧，出棧一個元素，把鄰接于該元素的所有頂點入棧，循環直到棧為空即所有頂點都被訪問過。

5、有向無權圖的最短路徑

實現： 使用廣度優先搜索，復雜度為O(|E| + |V|)。

首先把起點的長(dv)設為0其它點的長設為∞

使用廣度優先搜索算法更新點的dv值（鄰接點+1），并記錄更新點的父點(pv)

直到所有的點都被更新過，停止搜索

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的数据结构与算法（C++）– 图（Graph）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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